正弦定理余弦定理

1、第一课时1.1.1正弦定理（一）教学目标1. 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方 法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2. 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发 ，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关 系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用 的实践操作。（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。a b csin A sin B sin C，接着就一般斜（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角

2、关系: 三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导, 让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学用具：直尺、计算器（四）教学设想创设情景A如图1 . 1-1，固定.:ABC的边CB及.B,使边AC绕着顶点C转动。 思考：.C的大小与它的对边 AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角.C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB探索研究（在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1-2，在 Rt.：ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义

3、，有a =sin A, bccb=sin B，又 sinsin A sin B sin C=ca从而在直角三角形ABC中,市sin B sin C（图 1. 1-2）思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立?（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图1 . 1-3，当.：ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB 二 bsin A,则a _ bsin A sin B同理可得csin Cbsin B从而asin Ab csin B sin C(思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题, 这个问题。图 1. 1

4、-3)从而可以考虑用向量来研究(证法二)：过点A作j _AC，C由向量的加法可得鼠 AC CB=j (AC Ce)AB jAC jCBj1 AB cos 90 A=0 jCBcos 90Ccsin A =asin C，即a csin A _sinC同理，过点C作j_BC，可得岛二佥从而a _ b _ csin A sin B sin C类似可推出，当 ：ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b csin A sin B sin C理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其

5、对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 a =ks in A, b =ks in B , c = ksi nC ;(2)旦=旦=丄等价于丄=丄，亠=丄 sin A sin B sin Csin A sin B sin C sin B从而知正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a；sin B 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作a c sin A sin Csin A sin B。 b解三角形。例题分析例 1在 ABC 中，已知 A=32.0, B=81.8 , a

6、=42.9 cm,解三角形。解：根据三角形内角和定理，C =180 -(A B)=180 -(32.0 81.80) =66.2 ；根据正弦定理，吩常彎鸚8侦伽)；根据正弦定理,74.1(cm)._asinC _42.9sin66.20 sinAsi n32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在 ABC中，已知a=20cm, b=28cm, A=40，解三角形(角度精确到 1，边 长精确到1cm)。解：根据正弦定理，sinB =bsin A28si n40=20.8999.因为 0 v B v 180，所以 B 64，或 B： 116 当B 64时，C =180 _(A B)

7、 ： 180 -(4 64) =76 ,asinC 2si n76 si nA 一 si n40：3(cm).当B：116时，C =180 (A B) ：180 (40 116)=24 ,as inCsi nA2sin24sin40：13(cm).评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 随堂练习第5页练习第1 (1 )、2 (1)题。例3 .已知:ABC中,.A=60,sin A sin B sin C分析：可通过设一参数k(k)使_?-sin A sin B sin=k ,证明出sin A_ bsin Bcsin Csin A sin B sin C解：设sin

8、A sin B sin C 二k(k)则有 a =ksin A, b =ksin B , c =ksin Ca b ck si nA ksin B k s in C .从而=ksin A+sin B +sin C sin A+sin B +sin C=2Bsin C又一a孝=2=k，所以sin A si n6 si nA sin评述：在”BC中，等式眾bsin Bcsin Csin A sin B sin C(答案：1 : 2： 3)，求 a: b: cC =1:2:3B:sin恒成立。补充练习已知.：ABC中, sin A:sin课堂小结(由学生归纳总结)(1)定理的表示形式：abca bJ

9、k k ；sin A sin B sin C sin A sin B sin C或 a =ksi nA, b =ks in B , c=ksi nC(k )(2 )正弦定理的应用范围： 已知两角和任一边，求其它两边及一角； 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。(五)评价设计课后思考题：(见例3 )在_ ABC中，a bCk( k o)，这个k与匚ABC有sin A sin B sin C什么关系?课时作业：第 10页习题1.1A组第1 （1）、2 （1）题。（六）教学反思第二课时1.1.2余弦定理（一）教学目标1. 知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余

10、弦定 理解决两类基本的解三角形问题。2. 过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定 理解决两类基本的解三角形问题，（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。（三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：直尺、计算器（四）教学设想创设情景如图 1 . 1-4，在.：AB

11、C中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和.C,求边cb a(图 1. 1-4)探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A B均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A如图 1. 1-5，设 cB = a , CA=b , AB =c，那么 c=a-b，贝Ub.c2从而2 2 2c =a b -2abcosC(图 1. 1-5)同理可证a2 =b2 c22bccosAb2 二a2 c2 _2accos B于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余

12、弦的积的两倍。即a2 =b2 c2-2bccosAb 134.6 161.7 二a2 c2 _2accosB2 2 2c a b _2abcosC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量， 能否由 三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论:cosA =b2c2 a2bccosB =a2 c2 b2accosC =b2a2 c2ba理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为: 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; 已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平

13、方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若.：ABC中，C=900，贝y cosC =0 ,这时ca2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析例1在厶ABC中，已知a=23 , c= 6 2 , B =60，求b及A解：t b2 二a2 c22accosB=(2 3)2 ( .62)2 -2 2.3 (、6 、2) cos 45=12 ( .62)2 -4. 3( .3 1) = 8/. b=2.2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法2 2 2cosAc -a2bc_(2 2)2( .6 .2)2-(2、3)2 j _2 疋 2后

14、(76+722 A =60解法sin A誉前22前忒又 .6.2 2.4 1.4 =3.8, 2 3 v 2 1.8=3.6,/. a v c,即 00 v Av 900, A=600评述：解法二应注意确定A的取值范围。例 2.在ABC中，已知 a =134.6 cm , b=87.8cm , c =161.7 cm，解三角形（见课本第8页例4,可由学生通过阅读进行理解） 解：由余弦定理的推论得：2 2 2 -b +c -a cos A2bc2ca=87.82 161.72-134.622X87.8F61.7134.62 161.72 -87.820.5543, A： 56020 ；0.839

15、8, B ： 32053 ；C 800 -(A B) ： 1800 -(56020 32053)=90047.随堂练习第8页练习第1 (1 )、2 (1)题。补充练习在ABC中,若a2 =b2 c2 bc ,求角A （答案：A=1200 ）课堂小结(1) 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2) 余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。(五) 评价设计课时作业：第10页习题1.1A组第3 ( 1) , 4 ( 1)题。(六) 教学反思第三课时1. 1. 3解三角形的进一步讨论(一) 教学目标1. 知识与技能：掌握在已知三角形的两边

16、及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无 解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。2. 过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、 余弦定理, 三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3. 情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。(二) 教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。难点：正、余弦定理与三角形的有关性

17、质的综合运用。(三) 学法学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。(四) 教学设想创设情景思考：在：ABC中，已知a=22sm, b=25cm, A=d33，解三角形。(由学生阅读课本第 9页解答过程)从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。探索研究例1.在厶ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况b sin A分析：先由sin B=A可进一步求出 B；a则 C =180 -(A B)asin C从而c = A1. 当A为钝角或直角时，必须 a b才能有且只有一解；

18、否则无解。2. 当A为锐角时，如果a b，那么只有一解；如果a b，那么可以分下面三种情况来讨论：(1 )若a bsin A,则有两解；(2) 若a =bsin A,则只有一解；（3）若 a : bsin A，则无解。（以上解答过程详见课本第9 10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsin A :：a :： b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1（1 ）在：ABC中，已知a =80，b =100，A =45，试判断此三角形的解的情况。（2） 在也ABC中，若a =1，C =丄，乂C =40，则符合题意的b的值有个。2（3） 在:ABC中

19、，a=xcm，b =2cm, . B =450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1 ）有两解；（2）0；（ 3）2 : x ： 2 2）例2.在厶ABC中，已知a =7，b =5，C=3，判断：ABC的类型。分析：由余弦定理可知a11分析：可利用三角形面积定理S =-absin C =-acsin B = bcsin A以及正弦定理 22a _b _c_ a b csin A sin B sin C sin A sin B sin C解：由S =1bcsin人二扌 得c =2，则 a2 二b2 c2 -2bccosA=3，即 a 二 3， =b2 92二A是直角u .

20、 ：ABC是直角三角形 2 2 2a bc A是钝角u . ：ABC是钝角三角形 a2 :：: b2c2二A是锐角u . AB（是锐角三角形（注意： A是锐角/ABC是锐角三角形）解：72 . 52 3 2，即 a2 b2 c2，/ AB（是钝角三角形。随堂练习2（1 ）在：ABC中，已知 sin Asin B:sin C=d:2:3，判断厶 ABC的类型。（2）已知AABC满足条件acosA二bcosB，判断厶ABC的类型。（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）：ABC是等腰或直角三角形）例3 .在厶ABC中，A=600，b=1，面积为亠，求a b 的值从而a +b +csin A sin

21、 B sin Casin A=22 sin A+sin B +sin C随堂练习3（1 ）在：ABC中，若a=55，b =16，且此三角形的面积 S=220-3，求角C(2)在.:ABC中，其三边分别为a、b、c,且三角形的面积S声，求角(答案:(1) 60 或 1200 ; ( 2) 45)课堂小结(1 )在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形;(2 )三角形各种类型的判定方法；(3) 三角形面积定理的应用。(五) 评价设计 (课时作业)(1 )在：ABC中，已知b=4，c =10，B=30，试判断此三角形的解的情况。(2) 设x、x+1、x+2是钝角三角形的

22、三边长，求实数 x的取值范围。(3) 在：ABC中，A=600，a =1，b 9 = 2，判断厶 ABC的形状。(4) 三角形的两边分别为 3cm 5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x2-7x-6=0的根,求这个三角形的面积。(六) 教学反思第四课时 解三角形应用举例(1 )教学目标(a) 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际 问题，了解常用的测量相关术语(b) 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其 次结合学生的实际情况，采用“提出问题一一引发思考一一探索猜想一一总结规律一一反馈 训练”的教学过程，根据大纲要求以

23、及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同 时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点 和矫正(c) 情感与价值：激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值； 同时培养学生运用图形、 数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力(2 )教学重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形， 得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图(3 )学法与教学用具让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试

24、绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路， 引导学生寻求实际问题的本质 和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。直角板(4 )教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可

25、供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借 助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间， 不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。3、新课讲授（1 ）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的 条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在

26、所在的河岸边选定一点 C,测出AC的距离是55m / BAC=51 , ACB=75。求A B两点 的距离（精确到0.1m）图 L2-1启发提问1:厶ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算 出AC的对角，应用正弦定理算出 AB边。解：根据正弦定理，得AB-ACAB =ACsi nZACB =sin ACB55s in 一ACB =sin ABC55sin75=5

27、5sin7565 7(m)答:A、sin ZABCB两点间的距离为sin 乙ABC65.7 米sin(180 -51 -75 )sin54变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站 C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30 ，灯塔B在观察站C南偏东60，则A B之间的距离为多少?老师指导学生画图，建立数学模型。解略：一 2 a km例2、如图，A B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A、B两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定 C D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可 求出另两边

28、的方法，分别求出 AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C D,测得CD=a并且在C D两点分别测得N BCA衣， ACD=1 ,乙 CDB=，/ BDA =、，在厶ADC和厶BDC中，应用正弦定理得AC=asinO ?)=asin(l 皆)sin180- )sin(R+Y +)BC=a sin=asinsin180 _(.： ： .)sin( +P + 3计算出AC和 BC后，再在.ABC中，应用余弦定理计算出 AB两点间的距离AB= .一 AC 2 BC 22 AC BC cos :-分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变

29、式训练：若在河岸选取相距 40米的C、D两点，测得.BCA=60，ACD=30， CDB=45，BDA =60略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得 AB=20、. 6评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法， 最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。4、学生阅读课本，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。5、课堂练习课本第15页练习第1、2题6、归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤：（1 ）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量

30、集中在有关的三角形中，建 立一个解斜三角形的数学模型（3 ）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4 ）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解(5 )评价设计课本第19页第1、1、2、3 题2、思考题：某人在M汽车站的北偏西 20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是 M站的北偏东40。开始时，汽车到 A的距离为31千米,汽车前进20千米后，到A的距离缩短了 10千米。 车站？问汽车还需行驶多远，才能到达M汽C解：AB=21，由余弦定理得c AC2 +BC2 AB223cosC=-314322 ,3122ACBC则

31、sin 2 C =1- cos2C =由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在厶ABC中，AC=31, BC=2QsinC =空31: : : 35 3 所以 sin Z MAC = sin (120 -C) = sin 120 cosC - cos120sinC =-62在.: MAC中，由正弦定理得MC = ACsin MAC = 31 沖=35 si n NAMCV362从而有 MB= MC-BC=15答：汽车还需要行驶 15千米才能到达 M汽车站。(六)教学反思第五课时解三角形应用举例(1 )教学目标(a) 知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三

32、角形的问题 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用(b) 过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索， 使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦 定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思 维，有利地进一步突破难点，。（c）情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验（2 ）教学重点、教学难点教学重点：推导三角形的面

33、积公式并解决简单的相关题目教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题（3 ）学法与教学用具正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向， 并进一步推出新的三角形面积公式。 同时解有关三角形的题目还要注 意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。直角板（4 ）教学设想1、设置情境师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在“ABC中，边BC CA AB上的高分别记为ha、h c ,那么它们如何用已知边和角表示？生: ha =bsin C=csin B h b =csin A=asin

34、 C h c=asin B=bsina A师：根据以前学过的三角形面积公式S=lah,应用以上求出的高的公式如ha=bsin C代入，2可以推导出下面的三角形面积公式，S=1 absin C,大家能推出其它的几个公式吗？211生：同理可得， S=bcsin A S= acsinB22师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解2、新课讲授例1、在二ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm2）（1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;(2) 已知 B=62.

35、7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。1解：（1）应用 S= acsinB，得21 2S= 14.823.5 sin148.590.9（cm 2）2（2）根据正弦定理,=bsi nCsin Bsin Csin BS = 1 bcsin A =1 b 2 2(2) a +b + c =2( bccosA+cacosB+abcosC)分析：这是一道关

36、于三角形边角关系恒等式的证明问题, 用正弦定理来证明 sinCsinA22 sin BA = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.51 2 sin 65.8 sin51.52S =3.16 4.0(cm)2 sin 62.7(3)根据余弦定理的推论，得cosB : c2 +a2 -b22ca2 2 2_ 38.7241.42 -27.32=2 38.7 41.40.7697sinB = J - cos2 B 、1 - 0.76972 0.63841 应用 S=-acsinB，得21 2S 41.438.70.6384 511.4(cm)2例2、如图，在某市进行城市

37、环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？(精确到 0.1cm 2)？师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗?生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。由学解:生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。设a_68m,b_88m,c_127m,根据余弦定理的推论，2 2 2 2 2 2c C2+a2_b21272+682_882门cosB_ 0.75322ca2X127 汉 68sinB_ J-0.753220.6578应用 S_acsinB21 2S68 127 0.6578 2840.38(m)2答：这个区域的面积是2840.38m2例3、在.：ABC中，求证:(1)观察式子左右两边的特点，联想到a2 b2 _sin2 A sin2 B c2一 sin2 C证明：（1）根据正弦定理，可设左边=2 .2a b2ca = b = sin A sin