第四章微分中值定理与导数的应用

1、第四章微分中值定理与导数的应用第一节中值定理(2课时)要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理 重点：理解中值定理及简单的应用。难点：中值定理证明的应用。、罗尔(Rolle)定理罗尔定理如果函数f(x)满足条件(1)在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；(3) f(a)=f(b).则在开区间(a,b)内至少有一点(a ：: b)，使得函数f (x)在该点的导数等于零，即f)=0 .几何解释设曲线AB的方程为y = f (x)(a乞x乞b)，罗尔定理的条件的几何表示，AB是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线

2、弧 AB上至少有一点C,使该点处曲线的切 线是水平的从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这 就启发了我们证明这个定理的思路，应在函数取最值点处找.证明 因为函数f (x) = x2 - 4x 3 = (x - 1)(x - 3)在闭区间1,3上连续,可导.f (x) =2x -4 =2(x -2)f (1) = f (3) =0函数f(x)在区间1,3上满足罗尔定理条件，所以在区间(1,3)内存在 使得f ( )=2C -2) =0,于是=2(1,3).故确实在区间(1,3)内至少存在一点=2使得f (2) = 0 ,结论成立.二、拉格朗日中值定理(微分中值定理)几何分析拉格朗

3、日中值定理设函数f (x)满足条件(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导.则在区间(a,b)内至少存在一点a ：: b)，使得等式f (b) - f (a) = f ( )(b - a)成立.推论1如果函数f (x)在区间I上的导数恒为零，那么函数f(x)在区间I上是一个常数(它的逆命题也成立).例 2 .试证 arctan x arc cot x (：x ：).证明构造函数 f (x) = arctan x arc cot x , 因为函数f (x)在上可导，且由推论得f (x)二 arctan x arc cot x 二 C， x ( y；：)，教学内容(含时间安排

4、)板书或旁注当 x = 0时，f (0) = C ，从而2arctan x+ arc cotx =.2推论2.如果函数f(x),g(x)在区间1上连续、可导，且f f(x) = gf(x),则在1上有f (x) = g(x) +C .(如何证明？)例 3.证明不等式ln(1+x)cx (xa0).1 +x证明 设函数f(x) =ln(1+x),因为函数f(x)在0,x上满足拉氏定理条件，则有f(x) f(0)= f )(x0)(0w x),1由于f(0) =0 , f (x，因此上式成为1 +xxIn(1 +x),1 + :又由于0 x,有x x x,1+x 1十从而 In(1+x)x ( x

5、aO).1 +x说明 利用拉格朗日中值公式证明不等式关键是选择函数及对应的区间，步骤如下，(1)选择适当函数f(x)及相应区间a,b，使其满足定理的条件，有f(b叽皿)(aF.b X说明(1) 公式 f(bUf(aU.f()中的是同一值，即(“ .(x)；F(b)-F(a) FF&Fx)-(2) 当 F(x)二 x时，F(b) -F(a)二b-a, F (x) =1，正是拉氏中值公式；推广、三个定理联系，罗尔定理f(a)=f(b) 特例拉氏定理特例X柯西定理.作业R29习题4.1教学内容(含时间安排)板书或旁注第二节洛必达法则(2课时)要求：知道洛必达法则成立的条件，能熟练的用洛必达法则求求各

6、种不定式 的极限。重点：利用罗比塔法则求未定式的极限。 难点：利用罗比塔法则求幕指函数的极限。一、不定式依照极限运算法则求某些函数的极限时，常会遇到几种奇怪的现象 -， 0，0乂，閃一,00，旳0，这些都称为不定式或未定式，究竟这种cO极限是否存在？如何计算这些极限呢？下面介绍的洛必达法则就是求基本不疋式 -,一 极限的一个间单方法.匕的理论依据是柯西中值疋理.0旳二、基本不定式1.“ 0 ”型不定式0定理1若函数f (X), F(x)满足下列条件(1) lim f(x)=0,lim F(x) =0 ；(2) 在点a的某空心邻域内f(x)、F x)存在，且F &)式0 ;(3) lim=卑存在

7、(或为无穷大)； F (x)则lim f(x)訥 5).XT F (x) T F (x)(利用柯西中值定理f(x) f(a)，将函数与其导数联系起来.)F(x)-F(a) F 徉)、，、八注意(1)使用洛必达法则时，要注意条件，首先必是-型的不定式，再极限0lim ()存在或无穷大，若极限lim / )不存在或非无穷大，则不可以使 F (x) F (x)用洛必达法则；(2)如果极限lim )仍为-型不定式，且满足定理条件，可继续使用洛 TF (x)0必达法则.教学内容（含时间安排）板书或旁注例 1 求极限 lim X2X+2心 XXX +10 0解 lim f 一3心 0lim A 0lim

8、6x =3 .Ix-x-x+1J13x-2x-1J6x-2 2注意 上式中的极限lim 6x已不是不定式，不能对它再使用洛必达T 6x - 2法则.x_x Q例2.求极限lim e _e - x .J0 x _sin x0 0 0x-xkx-xtx-x*x,_x的 . e -e -2x e -e -2 e -e e + e解 lim = lim = lim= limxt xsi nx0 1 -cosxT si nxcosxx_x(或=lim ee ).xxsin x例3.求极限lim x弓.0肋xsinx 1cosx 1.1 -cosx 1解 lim3= lim2= lim2= .Tx3T 3

9、x23TX261例4 .求极限lim (1U)-e .xTx解1 1 1八、x沖切0(1+x)x 2ln(xlim，=lim=limxXTxT101 .丄、二.x(1 十x)ln(1+x) 011ln(1+x)1= lim(1+ x)Xlim2= elimlimxttx (1+x)i2xi1 + xe-l n(1 +x)e=lim-.2 tx2、，、八注意(3) 应用洛必达法则求极限，常与以前讲过的方法结合起来使用会更方 便；(4) 应用洛必达法则求极限过程中，极限存在且不为零的因子可分离出 来，以便化简后面求解过程.定理2若函数f(x), F(x)满足下列条件(1) limf(x)=0，Xm

10、F(x)=0 ；教学内容(含时间安排)板书或旁注(2) 当 |xX 时，fF x)都存在，且 F(x)O ；(3) lim丄血存在(或为无穷大)；F (x)则lim f(x)=lim(X).F(x) TT (x)1(证明时令X=*，则XT co时，tT 0，应用定理1即可证).arcta nx例5.求极限lim .乂1x兀01-arctanx o22解 lim = lim = lim x 2 =111+ x2_2xx2.型不定式QO定理3若函数f(x), F(x)满足下列条件(1) lim f (x)=吆，lim F(x)=血;xJPC(2) 当 |xX 时，厂(x), F(x)都存在，且 F

11、(x)H0 ;(3) lim丄卑存在(或为无穷大);x-F (x)则! f(X)f(x)贝 Ulim= lim ”.yf(x) xtf (x)说明疋理3对xt a时仍成立.求两个基本极限.ln x例6.求基本极限Jim沪nx( a o).O01ln x 处1解象了 = x聪廿x協衣=0 .n例7.求基本极限lim(n为自然数，aA1,h0 ).x庐c a巧n 旳nnJ厶力xnxn.x解xm抠=厂抠=厂丿整总x-产 ax-m 扎 ln aa扎 ln a x-“ a教学内容(含时间安排)板书或旁注=n lim (n1)x： = n n! n lim l=o. Xl naJ和 扎 In aa 止丸(

12、Ina) J和 a-利用上面的结果易知lim X： =0, lim 叮=0 .ce3xJx4当xt + 比时，函数In x,xn,aX的速度一个比一个大.分f d . sin xsin a cx acIntan7x练习：1. lim; 2. lim n n ； 3. lim;x-x-at x-aTlntan2x例8.求极限lim xsinx +sin x解 这是一个工型不定式，但如果使用洛必达法则，会得到QOlim xsinx=lim -cosx(不存在)的结果.+sin x i舛 +cosx sin x 1 而头际上lim= lim =1.xt乂x +sin x 乂“ 丄 sin x1 +x

13、XA例9.求lim ex .x*ex _eQOQOx丄 一x三x_x三X丄 _x加e +e处e e处e +e解 lim x=lim x_=lim x亠xde -e疑e +exde -e这将会陷入无休止的循环中去，所以该题不能使用洛必达法则，可以如下做 法，x 丄 =/丄 -2xe +e1+elim x =limo-1 .xTex _ei呂 _e、，、八注意od0(5)虽然有些极限是一或0型，但不能用洛必达法则，为什么？旳0二、其它五种不定式其它五种不定式为0 ,，旳一旳，00，000，1*”(1) 若 lim f(x) g(x)为0 8型不定式，则lim f(x) q(x) - lim g()

14、()或 lim -();1血10f(x)g(x)例 10.求极限 lim xn ln x ( n = 0).xT0教学内容（含时间安排）板书或旁注01悶In x閃一解 lim xn In xlim nlim jpjoxj书nx11n=lim =lim xn =0 .x_nxn这种是将xn下放，注意一般对数函数、反三角函数不下放.(2) 若 lim f (x) g(x)为辺旳型不定式，则一般把f(x) g(x)合并成一个分式，这分式就是 三或型不定式；旳0例11.求极限lim (丄 1 ).J ln x x -1解1_丄11、x -1 -ln x 0x|.x-1lim () = lim= lim

15、= lim7lnx x17 ln x(x1)丄 x1 I xl nx + x1lnx +x0 1 1 =lim= 一 .i 1 nx +1 +12(3) 若lim f(x)g(x)是00，或0 ,严三种不定式，则lim f(x)g(x) =lim eg(x)lnf(xehmg(x)lnf(x)为 0心型不定式.例 12.求极限 xlixx ( 00型).QO丄csIn x 二x“xlim xlnx0也linn_玄解lim xx=e_+=如一 =lim -xn=e =e0=1.例 13.求极限 xldQ( )sinx ( 000 型).11.lim sin xln -lim lnxlim x解l

16、im (-!_)Sinx=eT*x = e x-0如scx = e xT-cscxGotx sin x sin x =ex_0 xcosx = e。=11例14 .求极限(1”型).1limlim x解 lim x1 = exTr = exT4 = e* .xT教学内容(含时间安排)板书或旁注特别强调洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用，如能化简时应尽量化简，能用等价无穷小代换或重要极限应尽可能应用，这样可使运算简捷.例15.求极限lim怡丁 -x .J0 x sin xn0肋tan x -xtan x-x 0sec2x-1解hm = lim 3一lim2

17、一x sinx T xT 3x1tan2 x 1= lim 2=.3 0 x23、，、八注意(7)对于数列极限，若用洛必达法则必须化为相应函数后，再用该法则求极限.1 1tlim .1 nxlim .门例 16. lim 勺n = lim yx = ex=e =1 .nTx_yc作业p129习题4.2第三节函数的极值及其求法(2课时)要求：熟练掌握用导数研究函数的极值。重点：用导数求函数的极值。难点：解决实际问题的极值。一、极值的概念定义 设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，X。是(a,b)内的一个点.如果存在着点x0的一个去心邻域，对该邻域内的任何x，均有f(x)vf(x0)成立，就称f

18、(x)是函数f (x)的一个极大值；如果存在着点X0的一个去心邻域，对该领域内的任何X，均有f(X)Af(X0)均成立，就称f(x)是函数f (x)的一个极小值.说明(1 )极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点 X0称为极值点.女口函数f (x) = 2x3-9x2 +12x-3，由上节知道，教学内容(含时间安排)板书或旁注极大值f(1)=2，极小值f(2) =1,极值点为x=1,x=2 ；(2)极大值、极小值是局部性的，极大值不一定比极小值大；(3)从图中可看到，在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的.二、函数取得极值的必要和充分条件定理1 (必要条件).设函数f(x)在点X。处可导

19、，且在点X。处取得极值，那么函数f(x)在点X。处的导数为零，即f(x) = o .说明(1)导数为零的点(即方程(Xo) = o的实根)称为函数f(x)的驻点由定理1可知，可导函数的极值点就是驻点；反之，驻点不一定是极值点如函数y =x3在X =0怎样？(2)定理1虽没有提供判别极值的方法，但却把求可导函数的极值点的路径给出，即从f(x)=0中找，找出的这些点后，还需加以判别是否为极值点，是极大值还是极小值.下面疋理 2和疋理3是关于极值的两个判别法.定理2 (第一充分条件).设函数f (x)在点xo的某个邻域内可导，且f(X。)=0 .(1)如果当X取Xo左侧邻近的值时，导数 厂(X)恒为

20、正；当X取Xo右侧邻近的值时，导数f (x)恒为负，那么函数f(x)在点Xo处取得极大值；(2)如果当X取Xo左侧邻近的值时，导数f(xo)恒为负；当X取Xo右侧邻近的值时，导数 厂(Xo)恒为正，那么函数f(x)在点Xo处取得极小值；(3)如果当X取Xo左右两侧邻近的值时，导数 f xo)恒为正或恒为负，那么函数f (X)在点xo处没有极值.例1 .求函数f (x) = x3-3x2-9x+5的极值.解 (1)函数f (x)的定义域是(-0,邑)，导数为f (x) =3x2 -6x-9=3(x+1)(x-3)，(2)令 f (x) = o ,得 x = 1,x=3，(3)列表如下x(r-1)

21、-1(-1,3)3(3,咼)(X)符号+O0+f(x)/极大值10极小值-22/应用定理2判别极值的步骤如下，(1)求出函数f(x)的定义域，及导数f (x)；(2) 求出函数f (x)的全部驻点(即求出方程f(x)=O在所讨论的区间内 的全部实根)；(3) 用这些点将函数f (x)的定义域分成若干小区间，考查在各点两侧导 数的符号，根据定理2判别该点是否有极值点，是极大值点还是极小值点；(4) 求出各极值点的函数值，就得 f(x)的全部极值.(3)列表如下x(-呛,0)0(0,2)525(2严)5y+不存在0+y/极大值0极小值/注意：完整地说，若点Xo是函数f (x)的极值点，那么点Xo不

22、是驻点就是导数不存在的点.教学内容(含时间安排)如果函数f(x)存在二阶导数，那末函数的极值可以用二阶导数符号判 别.定理3 (第二充分条件).设函数f(x)在点X0处具有二阶导数，且f(x)=O, f (X0)=O,那么(1) 当 f (Xo) 0时，函数f(x)在点Xo处取得极大值；(2) 当f”(Xo) .0时，函数f (x)在点Xo处取得极小值；(1) 当f (Xo) =0，不能用此判别点Xo是否为极值点；(2) 用该判别法判别时，不要遗漏 f (Xo )= o的点Xo，须用定理2判别. 例3.求函数f (x) =(x2 -1)3 1的极值.解函数的定义域为，导数为2 2 2 2 f(

23、x)=6x(x -1) ， f (x) =6(x -1)(5x -1),令 f (x) = o 得，驻点 x - -1, x = o, x = 1，因为f”(o)=6 o,所以函数f(x)在点x=0处有极小值f(o)=o，由因为 f (-1H f (1) =0 ,定理3失效，所以用定理2判别这两点不是极值点.最 后检查函数f (x)无导数不存在的点.作业 p29 习题4.3第四节函数的最值(1课时)要求：明确函数极值与最值区别，会求简单实际问题的最大值与最小值。 重点：解决实际问题的最值。难点：求实际问题最值中建立模型。问题提出 在一定条件下，怎样使产品最多、用料最省、成本最低、效 率最高等问

24、题，这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数(通常称为目标 函数)的最大值或最小值问题.一.求最值的一般方法把函数f(x)的驻点及导数不存在的点连同端点的函数值求出来，即f(xj、f(X2)、f(Xn)、f(a)、f (b)进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值.例1.求函数f(x) =(x-1)3 X2在闭区间-1,1上的最值.22解由 5知当x 时，y=0 ; x=0时y不存在，5所以 f(2)33 4 , f(0) =0, f(-1)=-2, fj) 1 32 .55 12524经过比较得到最大值为 M =f(0)=：0，最小值为m=：f(-1)=：-2 .例2.设函数y = x2 -2

25、x -1，问x等于多少时，y的值最小，并求最小 值.解由导数 y = 2x _ 2 = 2(x _ 1) = 0，得 x = 1 .因为y、20，所以x=1为函数的极小值点，即有极小值丫咕=-2 .又因为函数在开区间(：，=)内只有一个极小值，故为最小值 ylx吕=-2 .最优化问题建立模型：建立拉格朗日函数y = f(x)及相应的区间；利用求最值的方 法求出函数的最值.例3.铁路线上AB段的距离为100km，工厂距离A处为20km，AC垂 直于AB，为了运输需要，要在 AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路，3:5，为使货物从已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里的运费之比为D点应选在何处?供

26、应站B运到工厂C的运费最省，问 解1)建立模型设AD =x，总费用y与x有关,总费用与D的选择有关，因为BD =100 x,CD =丿202 +x2，教学内容（含时间安排）板书或旁注由于铁路运费与公路运费之比为 3，因此不妨设铁路运费为3k，公路运5费为5k（ k为某整数），则从点B到点C需总运费y =5k CD +3k DB = 5kJ400+3k(100x) ( 0 兰 xElOO)，2）现在问题归结为x在闭区间0,100上取何值时目标函数y的值最小，因为5xy =k( -3)，J400 + x令 八0，解方程得x=15（km）.J1又由于 y|x_0 = 400k， y|x45 = 38

27、0k， y |x_40 = 500k |1+ -5经过比较可得，y |x = 380k为最小值，因此当AD=x = 15（km）时，总费用最省.说明在实际问题中，根据实际问题性质可以判定可导函数f（x）确有最值，而且一定在区间内部取得，若f（x）=0只有一个根，那么不必讨论f（x。）是否为极值，就可判定f（x。）为最值.作业R29习题4.4第五节 曲线的凹凸性与拐点(1课时)要求：会用导数研究函数图形的凹凸性和拐点。会求函数图形的水平与垂直 渐近线，会利用导数作函数的图形。重点：曲线的凹凸性与拐点，函数的作图。 难点：复杂函数的作图。问题提出 前面已经研究了函数的单调性与极值， 这对于描绘函数

28、的图 形有很大的作用，但仅仅知道这些还不能比较准确地描绘函数的图形，例如 见图中有两条曲线弧，虽然它们都是单调递增的，但图形却有显著的不同.曲线ACB是向上凸的曲线，曲线ADB是向下凸的曲线，它们的凹凸性不同，下面来研究曲线凹凸性及判别法.一、凹凸性的概念及判别法 定义设函数f(x)在区间I上连续,(1)如果对区间I上任意两点x,x2，恒有f(X1 X2)f(Xi) f(X2)2成立，则称函数f(x)在区间I上的图形是凹的(或凹弧)；(2)如果对区间I上任意两点Xi,X2，恒有f(X1 X2)f(Xi)f(X2)2成立，则称函数f(x)在区间I上的图形是凸的(或凸弧)L LLJJ _如 正弦函数ysinx在区间0,兀上为凸的，在区间兀,2兀上为凹的,问题：如何判别函数的凹凸性？如果用定义判别太繁琐，由图形判别，一般用描点法不能准确的画出函 数的图形，所以用函数二阶导数的符号判别，由图中容易看出：当导数f (x)单调增加时，曲线是凹的；当导数f(x)单调减少时，曲线 是凸的，那么这种情况是否具有一般性？下面给出判别定理.教学内