你中有我-动静相映

1、你中有我-动静相映你中有我动静相映谈函数与方程思想”专题复习舒晓懿（湖北宜昌兴山一中）摘要：函数与方程思想是高中重要思想方法之一，针对学 生理解障碍的分析，探讨帮助学生理解函数与方程思想方法的 途径，使得学生能够把握这一思想方法的本质并能熟练应用这 一思想方法求解数学试题。关键词：函数思想；方程思想；理解障碍；专题复习。1997年开始将数学思想方法正式列入高考考试说明之 中，函数与方程的思想是中学数学的基本思想方法之一，也是 历年高考考查的考查重点，以 2012年湖北数学高考考试题为 例：思想 方法科别客观题（序号）解答题（序号）函数 思想文科1、 6、 14、 1718 22理 科3、9、1

2、3、1417、19、22方程 思想文科1、 3、 5、 7、 1220、21、22理 科I、5、 6、 7、 9、 10、II、14、 1618 21函数与方程思想的内涵及基本应用屡见报刊， 文1有很好 的讨论，本文不再赘述，本文主要从学生一些常见错误根源入 手，来谈谈笔者的看法，愿与同行商榷。一、多元表征，把握实质一一准确把握函数与方程思想应用的 基础在函数应用中，很多学生狭隘的将x定义为自变量，y定义 为变量；在方程应用中，学生片面的认为就是解方程、求零点 等。关注所研究对象的非数学特征，对函数概念狭隘的理解， 不能用联系和变化的观点抽象其数学本质，是学生不能很好理 解函数与方程思想的根源

3、。例1 :(经典试题)设不等式mx2 2x m 1 0对于满足2 m 2的一切 m的值都成立，求x的取值范围。解法一：(变换主兀法)设f(m) (x2 1)m 2x 1( 2 m 2),则f (m) 0恒成立等价于:f(2)0且 f( 2)0 所以 12 3 x 1 27解法二：(分离变量法)将不等式转化为x g(m)或x g(m)，再求解。变式1：设不等式mx2 2x m 1 0对于满足2 x 2的一切x的值都成立，求m的取值范围。例题解析及教学建议：对于解法1,众说纷纭：“此解法学生只 停留在欣赏层面”、“此解法不具备通性，可以用分离变量法”(文2等)。等等不一而足，但文2指出这些评论都没

4、有 回答一个事实：学生为何不能掌握这种解法？文 3进一步指 出：把第一种方法抽象为原象集：【2,2，象集：负实数集；对 应法则为：m (x2 1)m 2x 1。那么变式1和例题不仅形似，实质也一样了；解法2的实质也就是求解函数y g(m)的值域了。文3 从如何解释解法一、二进行了深入的讨论，笔者对例2进行讨论，笔者力图寻找学生思维障碍形成的根源。例2：( 2012年浙江文科T21)已知a R,函数f(x) 4x3 2ax a.(1)略；(2)证明：当 0 X 1 时，f(x) 2 a 0。解析：原式有两个变量a R，x 0,1，解题时学生习惯性将x作为主 元，a作为参数进行讨论，此高考参考解法

5、在此不再展开。那么, 选择3作为主元，x作为参数呢？就得到如下解法 2：解2(文4):要证明当，00,不妨设2 xa ax 2, a 2g2x3 a 12 a 4=1 x)a 4x3 眈 2因为x 0,1 , g(a)在a ( ,2上是减函数，在a (2,)上是增函 数，因为 g(a)min 4x3 4x 2,再设 h(x) 4x3 4x 2,x 0,1求导求得函数h(x)在0,严是减函数，在(弓，)是增函数33所以h(X)min皿手)2 893 0，则命题得证。39变式2： (2012年浙江理科T22)已知a 0,b R,函数f(x) 4ax3 2bx a b (1)证明:0 X 1,f(x

6、) |2a b a 0 ； ( 2)略。例题解析及教学建议：第一轮复习已经完成，学生初步具备了 理解数学的素材。在专题复习中，教师要将这些素材有机的结 合在一起，进一步从数学试题中抽象出数学概念(如例1 )的本质，帮助学生建立知识与思想的网络。数学是由符号语言、 文字语言、图形语言构成，长期以来，教材、教师教学中多用 x表示自变量，y表示变量，使学生形成了思维定势，对变式 1 学生可以自然的选取“讨论单调性法”、“分离变量法”来求解 试题，而对例1却一筹莫展或者只是记忆性的求解，认为字母 a,b,c等只能是参数，函数就是关于“字母 x”的表达式，这 是学生理解函数与方程思想障碍的根源之一，进而

7、妨碍了学生 自觉应用函数思想分析、求解试题。例2实测难度值为0.18，变式2的得分更低，这就是一个很好的例证。函数与方程都是 分析和研究数量关系的一种数学模型，例2有2个未知量，变 式 2 有三个未知量，其实质都是变量之间的对应关系，因此， 在专题复习中，帮助学生建立量与量的对应思想，合理的选择 变量之间的对应关系有利于学生建立函数与方程思想。在例题 教学中，要引导学生思考：哪些是变量？那些不是变量？能否 把变量b a看成变量t的函数等？只有不唯X是自变量，对变式2 才能展开深入分析，才能创造出新解法。二、目标引领，构建函数深入理解函数与方程思想求解的 思路在求解诸如单调性、对称性、方程、求根

8、等试题时学生可 以自觉应用函数与方程的思想与方法，学生思维往往只停留在 试题的表面形态上，如下例 3（1）解题困难在于学生思维只停 留在数列方法中， 对于（2）学生高度一致的选择均值不等式来 求解， 求解（3）时想不起构建函数， 学生多将此题的难点归结 为向量知识理解不透所致。例 3、（1）（2010 年浙江高考理科）设 a1、d 为实数，首项为 a1， 公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6 15 0，则d的取值范围为4x2 y2 xy 1,，则 2x y（2）（ 2011年浙江高考理科）设x,y实数，若的最大值是解析：（1）学生应用等差数列的基本公式将条件度为1 如图所 若S

9、5S615 0转化为（3）（ 2009年安徽高考理科）给定两个长 的平面向量OA和OB，它们的夹角为120。 示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. OC xOA yOB，其中x，y R，贝X+V的最大值 是2a12 9a1d 10d210而言构造关于d的函数 f（d）不失为一种对应关系，从而应该考虑判别式不小于面对表达式多数学生束手无策，从题目“ d的取值范围” 应该是解题方法之一，求根公式0,既有:（9d）2 8 （10d2 1） 0解得d 2.2或d 2.2，等号成立条件略。 此题得分率为0.06,据该试卷22道题中倒数第二位，与学 生函数与方程思想的缺失不无关系。（2）文5采用“降元”

10、、“升幂”、“换元”、“引入辅助向量” 四个策略共17种方法进行求解，但从学生课堂解答的情况来看，值得思考的是学生高度一致的应用均值不等式来求解，如“ 2012年高考（浙江文）若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是”的求解也强化了学生这种习惯。为何会这样呢？学生认知缺陷是什么呢？究其原因，学生缺乏“变量 的认识”一一如把2x和y作为两个变量，可以把2x与y理解 为方程的两个实根，见解法 2;如把“ 2x+y”作为一个变量， 就可以构建这一变量的函数，见解法1 ；缺乏目标意识”一求“最大值”构造关于目标的函数是基本方法之一。现摘录 其中两种解法：解法1：令z 2x y得y z

11、 2x，代入已知条件得z2 3xz 6x210，所以 9z2 24（z2 1） 0解得3 z辽55当且仅当z 4x即y 2x济时右边等号成立；同理 y 2x1时左边等号成立。解法 2:由 z2 1 3xy 得 2xy |(z2 1),2x y z所以2x和y是方程t2 zt -(z2 1) 0 的两个实根3所以z21) 0,即z2 5，后同解法1。(3)向量是高中数学的重要知识点，包含了代数(坐标运算)和 几何(平行四边形法则、三角形法则)两方面知识，众多报刊对 此进行了讨论。从学生反馈的情况来看，主要是在考虑几何意 义求解时陷入困境的，下面仅展示其中三种代数解法：法1 :由条件OC xOA

12、yOB两边平方得1 x2 xy y2后解略。法2：以O为原点，直线OA为x轴建立直角坐标系转化为函数求 解。法3：设AOCUUUT UUV UUU UUU UUU UUU1 cos x y UUUr UUu uUU uUU 7 uUu uUU，即2OC?OB xOA?OB yOB?OB,cos(1200)所以x y 2cos cos(120 ) cos 73 si n 2si n( ) 26变式3、( 1) (08年天津理科)设a 1，若仅有一个常数c使得 对于任意的X a,2a，都有y a,a2满足方程log ax log a y c，这时，a的 取值的集合为(2)已知a 3,b 2, A

13、45，判断三角形解的个数。例题解析及教学建议：“数学的发现的本质就在于做出正确的选 择”(彭加勒语)。学生思维定势的形成与教师在教学中只注重 试题解法的一招一式是分不开的，在数列教学中只选择数列方 法，向量教学中反复训练几何意义，对于不同的解法只注重“呈 现”，不讲明“为何这样思考”、“不同解法之间内在联系或者差 异，不能站在整个高中数学体系上对试题进行分拆、重组、构 建，这是不利于学生思想方法形成。函数是分析和研究数量关 系的一种数学模型，探索变量之间的数量关系和最值问题是高 考常见的题型之一，解决这类问题的基本策略就是运用函数与 方程思想。例 3 的载体虽然分别为数列、二元二次式、向量，

14、但本质是函数与方程之间的互相转化，那么在解法中出现、 、这些同样的表达式就不是偶然的了。 在二轮复习中, 选择“形同质异”、“形异质同” 变式题组帮助学生理解数学思 想方法是可行的。可见,在二轮复习中教师要强化目标意识, 在指导学生解题时,要引导学生思考：只能用试题本身体现的 知识点求解吗？是否可以转化为其它方法如函数与方程思想方 法求解？只有具备了目标意识,主动分析量之间对应关系,变 式3（ 1）就可以构造关于a的函数求解，变3（ 2）就可以构造 关于c的函数求解！看透实质才是解法的根源！ 三、图形为线，具体入微准确把握函数与方程思想的互相 转化y心）是函数，y f（x）0是方程，这种相互转

15、化关系是函数与 方程思想具体体现，这种转化几乎渗透到高中数学的每一个章 节，在每一年高考试题中都有大量的体现。0)例4(20i2年高考山东理科)设函数 f (X) -, g(x) ax2 bx(a,b R,aX若y f(x)的图象与y g(x)图象有且仅有两个不同的公共点 )(B)当a 0时，(D)当 a 0 时,Xi X2yA(Xi,yJ,B(x2,y2),则下列判断正确的是(A)当a 0时，(C)当a 0时, Xi X2 0, yi y2 0 解法 i ：由 f(x) g(x)，得-ax2 bxXXi X20, yi y20ax3 bx2 i 0 o0, yiy20, yiy由题意，Xi,

16、 X2是方程ax3 bx2 的二重根。由三次方程根与系数的关系，得(也可以由待定系数法得)XiXi X-|X2 X2Xi 01 0的两个根，不妨设Xi是方程由于Xi,X2均不为式得x2与a同号。(1)当a 0时，且 XiXiX2 -a0,故由式可得x2x2,XiX2*Xi2 0 ；由X20,Xi X2 X20, yiyi iXiX20XiX2XiX2(2)当 a 0 时，x2 0,xi X2X20, yiy2XiX2X1X2解法2： F(x) X3 bX2 1,则方程F(x) 0与f(x) g(x)同解,故其有且仅有两 个不同零点X,X2。由 F (x) 0 得 x 0 或 x 2b。3结合三

17、次函数图像得 F(0) 0 或 F(|b) 0 , 因为F(0) 1，所以F(|b) 0解得b弓莊.32不妨设X1 x2,则X2 -b返，故F(x) (x x)(x 3迈)2 ,比较系数得X折3 故 X1132。2所以X1 X2 1逅0,由此知y1 y2丄丄X2 0 021X1 X2X1X2当a 0时如右图,1x2此时 X1X2 ,即 X1 X2 0 ,此时Xi X2 0y2X2Xiyi,即yiy20；同理可由图形经过推理可得当a 0时xi X2 0,yi y2 0. 答案选B.变式4: (i) (20i2年高考浙江理科)设 a R,若x0时均有 (a-i)x-i( x2-ax-i) 0,则

18、a=。(2) (2006年高考湖北理科)关于x的方程(x2 i)2 |x2 i k 0, 给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是(A) 0(B) i (C) 2(D)3例题解析及教学建议：例4是山东卷理科选择题的压轴题，以 反比例函数与二次函数为素材，考察两个函数图像有且仅有两个交点的问题，入手较宽（文6）。部分文章认为解法1、2计 算量大，“属于下策”，这说明部份教师对解法的选取多倾向技 巧性，对于计算量较大的往往不加分析利弊就舍

19、弃。将函数图 像交点问题转化为方程根的问题是解决此类问题的通法，解法 1利用根与系数的关系求解（实质就是一种函数关系），抓住了 问题的本质，深刻展示了函数与方程的思想方法；解法2借助于“导数”这个强大的工具，将图像的交点转化为方程的根， 再一次将方程的根又转化为图像的交点，深刻体现了“思想搭 台、图形为线”的函数与方程思想！特别是函数问题借助“导数”这一重要工具，更增添了函数与方程思想的活力；g（x） ax2 bx 中含有两个参数，使得函数图像变化丰富，难于有效的利用数 形结合求解，解法3巧妙的将方程f（x） g（x）转化为方程4 ax b，x再转化为相应图像的交点，调整结构，重新构造函数求解

20、方程， 很好的体现了函数与方程思想。试题的“巧解”、“妙解”、“美 解”，只有建立在通法分析的基础上得出才具有生命力，故变式 4（ 1）可以将解含参数的不等式问题转化为比较两个函数图像 的位置，变式 4（2）通过换元将方程的根转化为图像的交点。 在“等”与“不等”的转化中，在函数图像交点与方程根的个 数的转化中， 以图形为“媒”，不正是函数与方程思想完美的体 现吗？！ 四、动静相映，你中有我融会贯通函数与方程思想的本质 联系在高考试题中解析几何、 函数与不等式等已成为压轴题的首 选。对解析几何的考察，主要是直线与圆锥曲线的位置关系， 往往借助一元二次方程的韦达定理化简求解，涉及到圆锥曲线 上的

21、动点在某个条件下的变化过程中相互联系、相互制约的关 系，则可构成函数关系，然后应用函数方程思想方法求解。学 生对解析几何有畏惧情绪，除了计算能力差以外，不能准确将 条件转化为方程和函数关系仍然是主要根源。例5： （2012年高考湖北理科）设A是单位圆x2 y2 1上的任意一 点,l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与X轴的交点，点M在 直线l上，且满足|DM | m|DA|（m 0,且m 1）.当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.(I )求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点 坐标；(H )过原点且斜率为k的直线交曲线C于P, Q两点,其中P在第一 象限,它在y轴上的射影

22、为点N,直线QN交曲线C于另一点H.是 否存在m ,使得对任意的k 0 ,都有PQ PH ?若存在,求m的值；若不 存在,请说明理由。1),解(I )如图1,设M(x,y), A(xo, yo), 则由 | DM | m|DA|(m 0,且m 可得x xo, Iyim|yo1,所以対 x, Iyoi myi-2马 1 (m 0,且m 1).m因为A点在单位圆上运动，所以打需1.将式代入式即得所求曲线c的方程为x2因为m (0,1)U(1,),所以当0 m 1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(1 m2, 0) , (1 m2,0);当m 1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,两焦点坐

23、标分别为(0,后_ ), (0, Jm2 1)(n )解法 1：如图 2、3, k 0,设 P(g), H(X22), 贝y Q( Xi, kXi) , N(0, kXi), 直线QN的方程为y 2kx kxi,将其代入椭圆C的方程并整理可得/ 2 2、 2 2 .2 2 2(m 4k )x 4k xix k Xi m 0依题意可知此方程的两根为xi, X2,于是由韦达定理可得 ,即X2因为点4k2片 日仃mXXl X222, 即卩 X222 .m 4k 1m 4kH在直线QN上,所以uuir(2Xi, 2kXi) , PH (X2 为，y2 kxi)而 PQ PH 等价于 PUQ PHr 4

24、(2 2m2)k：Xi2 m 4k0 ,又 m 0,得 m .2 ,2,使得在其对应的椭圆于是PQ2 km Xi y2 kX1 2kX2m 4k2 2,4k Xi2km Xi .(2 TT2 ,m4k4k2)0,即2 m2 故存在m1上,对任意的k 0,都有尹y1yy-y dO/XO丿X2y_22 X贝V Q( X1, yj , N(0, yj ,2 2 22 m2X12 y12 m2,两式相减可得 m x2y2m ,解法 2：如图 2、3, xi (0,1),设 Pg%), H(x2,y2), 因为P, H两点在椭圆C 上 ,所以，点H也在第一象限,且P, H2/ 2 2 2 2、m (人X

25、2 ) (yiy2 ) 0.依题意，由点p在第一象限可知(yi丫2)(%y?)2m .(Xi X2)(XiX2)不重合,故(Xi X2)(Xi X2) 0.于是由式可得yiy2xX2又Q, N, H三点共线,所以kQNkQH,即空X1于是由式可得kpQ kpH2 匕 %y21 (%y2)(%y?)mXi Xix22 (X|x2)(X|x2)22m 022 yx2而PQ PH等价于kpQ kpH 1,即m i ,又m 0,得m 2,故存在m 2,使得在其对应的椭圆x2专1 上,对任意的k 0,都 有 PQ PH 。变式5：( 1)(2012年高考湖南文科)已知函数f(x)=e X-ax,其 中 a0.若对一切x R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合；在函数f(x)的图像上去定点 A(Xi, f(x i),B(x 2,f(x 2)(x i1恒成立，求a的取值集合. 在函数f(x)的图像上取定两点 A(x,f(xJ), B(X2, f(X2) % X2), i 己直 线AB的斜率为K,问