向量组的线性相关性线性代数习题集

1、线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 号第一节 向量组及其线性组合性相关性一选择题1n 维向量 1, 2, , s ( 1 0) 线性相关 D ( A)对于任何一组不全为零的数组都有 k1 1 k2 2(B) 1, 2, , s中任何 j (j s)个向量线性相关(C)设 A ( 1, 2, , s) ，非齐次线性方程组 AX姓名 学第二节 向量组的线的充分必要条件是ks s 0B有唯一解D)设 A ( 1, 2s) ，A的行秩 s.2若向量组线性无关，向量组线性相关，则 C （A）必可由 , 线性表示（B）必不可由示（C）必可由 , 线性表示（D）比不可由示二填空题：1设1

2、 (1,1,0)T ,2 (0,1,1)T , 3(3,4,0)T则12 (1,0,1)T3 12 2 3(0,1,2)T线性表线性表2设 3( 1) 2( 2) 5( 3 )，其中 1 (2,5,1,3)T ， 2(10,1,5,10)T(4,1, 1,1)T ，则(1,2,3,4)T3已知(1,1,2,1) T , 2(1,0,0,2)T , 3( 1, 4, 8,k)T 线性相关，则 k24设向量组系式 三计算题： 1设向量试问当1 (a,0,c), 2 (b,c,0), 3 (0,a,b)线性无关，则 a,b,c满足关abc 01,1,1T ， 2 (1, 1,1)T ， 3 (1,1

3、, 1)T， (1, , 2)T，为何值时 (1) 可由 1, 2, 3线性表示， 且表示式是唯一？2) 可由 1, 2, 3 线性表示，且表示式不唯一？3) 不能由 1, 2, 3 线性表示？线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关系 专业 班 姓名 学第三节 向 量 组 的 秩选择题：1已知向量组1, 2, 3, 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是A)22B)C)222233D)2设向量 可由向量组12线性表示，但不能由向量组()1, 2 , m1线性表示， 记向量组（）： 1, 2,m1, ， 则 B（A）m不能由（）线性表示，也不能由（）线性表示（B）m不能由（）线性表示，但可由

4、（）线性表示（C）m可由（）线性表示，也可由（）线性表示（D）m可由（）线性表示，但不可由（）线性表示3设n 维 向 量 组 1, 2 , s 的 秩 为3，则 C（A）1, 2 , s 中任意 3 个向量线性无关（ B） 1, 2, s 中无零向量（C）1, 2 , s 中任意 4 个向量线性相关（ D） 1, 2, s 中任意两个向量线性无关4设n维向 量 组 1, 2, ,s 的 秩 为 r ， 则C （ A）若 rs，则任何n 维向量都可用 1, 2 , s 线性表示（ B）若 sn ，则任何n维向量都可用 1, 2 , s 线性表示（C）若rn ，则任何 n维向量都可用 1, 2,

5、,s线性表示（D）若 s n ，则 r n二填空题：1已知向量组 1 (1,2, 1,1), 2 (2,0,t,0), 3 (0, 4,5, 2)的秩为 2，则t =32已知向量组 1 (1,2,3,4)， 2 (2,3,4,5) ， 3 (3,4,5,6) ， 4 (4,5,6,7) ，则该向量组的秩为 22向量组 1 (a,3,1)T ， 2 (2,b,3)T， 3 (1,2,1)T ， 4 (2,3,1)T的秩为 2，则 a = 2 b = 5三计算题：1 设 1 (3,1,1,5)T ， 2 (2,1,1,4)T ， 3 (1,2,1,3)T ， 4 (5,2,2,9)T ，(2,6,

6、2,d)T1)试求 1, 2, 3, 4 的极大无关组(2)d 为何值时， 可由 1, 2, 3, 4的极大无关组线性表示， 并写出表达式3已知 3阶矩阵 A ，3维向量 x满足 A3x 3Ax A2x ，且向量组 x,Ax,A2x线性无关。(1)记P (x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使AP PB; (2) 求 |A|00解：Q Ax ( x, Ax, A2 x) 1 , A2x (x,Ax,A2x) 0 010且A3x 3Ax A2x (x,Ax, A2x) 31又因向量组 x,Ax, A2x线性无关 , 故P (x,Ax,A2x) 可逆.0 0 00 0 0得 B P 1P 1 0 3

7、1 0 3 .0 1 1 0 1 11 1 1(2) A PBP 1, |A| |PBP 1| |P|B|P 1| |B| 0.线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班姓名 学第五节 向 量 空 间综合练习一选择题：1 设向 量组 1, 2, 3 线 性无关， 则下 列向 量 组中 ，线性无 关的是 B, C （ A） 1 2 ,2 3, 3 1（B） 12, 23, 1 2 2（C）1 2 2 ,2 2 3 3,3 31（D）1 2 3,21 3 2 22 3,3 1 5 2532设矩阵 Amn的秩 R（A） m n，Em为 m阶单位矩阵，下列结论中正确的 是 B （A）A 的任意 m个列向量必线性无关（ B）A通过初等行变换，必可以化为（ Em0）的形式C)A 的任意 m阶子式不等于零D)非齐次线性方程组 Ax b定有无穷多组解填空题：122 ，三维列向量4( a,1,1) T ，已知 A 与 线性相关，2R2 的基10，到基1 的过渡矩阵为2三计算题：1 设 1 11T2 0 6 8 T试用解：施密特正交化方法将向量组标准正交化。1111111122已知 R3 的