高等传热学作业

1、第1-4、试写出各向异性介质在球坐标系（r、二、:）中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系 数主轴。解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：、.?1 汀一(1-1)q = IT k盲 i根据能量守恒：Ein - Eg Eout =Est予d一寻號弗対W知dd(1-2)导热速率可根据傅里叶定律计算：(1-3)q . = = dr r sin d 廿r胡将上述式子代入（1-4-3 ）可得到 (kr r2 丄)drsinM (匕sinT)dr d rd ()dr r d :汀:rrrsin 一2 2q r sin drd d二：Cp r sin 闭rd =d(15)ct各向

2、异性材料，化简整理后可得到:占726 4伽唱）宀兰T qCp(1-6)第二早2-3、一长方柱体的上下表面（x=0 , x= S ）的温度分别保持为t1和t2，两侧面（y =丄）向温度为t1的周围介质散热，表面传热系数为 h。试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度 场。解：根据题意画出示意图：（1）设二-t-tf,弓二匕-tf,l齐-tf，根据题意写出下列方程组2yV - H 20yh： - 0y(2-1)解上述方程可以把e分解成两部分m和片两部分分别求解，然后运用叠加原理v -可川勺II得出最终温度场，一下为分解的 刁和刁两部分：(2)首先求解温度场*用分离变量法假设所求的温度分布j (x,

3、y)可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积，即可(x, y) =Xi(x)Ydy)(2-2)22将上式代入m的导热微分方程中，得到 QYi Q21Xi=0,即卩圣一比二；2，上式 dx2dy2XiY等号左边是x的函数，右边是y的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为；2。由此得到一个待定常数的两个常微分方程dj - ；2X0写；2Yi =0(2-3)dxdy解得X,x)二 Ach；x) Bsh；x)(2-4)Y(y) =Cco s；y) Dsi n；y)(2-5)把边界条件y =0L =0代入(2-3-4)得到A=0，所以有把边界条件y =L,二=0代入（2-3-5）得到D

4、=0，所以有Y(y) =Cco s；y)(2-7)把边界条件y二L, 工 5“ =0联立（2-3-7）得到；Lcot；L）（2-8）hL/九设L = - ,hLr = Bi，则有cot（ J = 一： / Bi，这个方程有无穷多个解，即常数 B有无穷多个值，即 雹n =1,2,3），所以对应无穷多个:，即/n =1,2,3），所以有丫心）二 Cncosy）(2-9)联立（2-3-6）可得R (x, y)八 Kn co s；(y)sh( ；nX)n=1(2-10)解得其中oO可(x,y)八n =1(3)-代入上式可得LL20 lcos( ；ny)dy =0 KnSh(厲)cos ( ；ny)dy

5、2 si n)Sh(脑 /L)sinnOCoSn)+ Pn22 Si n%)sh(/L)sinn()cos(1) 1coy)shx)(2-11)(2-12)(2-13)求解温度场比与解耳一样用分离变量法，假设所求温度分布:-| （x, y）可以表示成一个x的函数和一(2-14)2、,訝丫2个y的函数的乘积刁(x, y) =X2(x)Y2(x)将该式子代入刁的导热微分方程中得到 岭丫2 空X2 = 0，即垒dyX2此可得到两个常微分方程(2-15)d2X2dx2写Sody2(2-16) 解式（2-3-15）时根据x的边界条件可以把解的形式写为X2（x）二 Achx） Bsh ；（、x）（ 2-1

6、7）把边界条件x=0代入上式，得到A=0，所以有X2（x） =Bsh ；（ x）(2-18)其中；n L = n , COt( : n) = n / BjQO可(X,y)八 kn cos(；ny)sh ；nC -x)(2-19)n=1L0 K cos( ；ny)dy 二 2KnSh ；n(、- x)cos (；ny)dy把边界条件x = 0,片j -齐代入上式可得(2-20)Kn(2-21)2dsinRn)sh( :n、/L)si nn0cos：C)：nCOti(x, y)八n =124 sin(糅)sh( ：n、/L)si n( 1 n ) cos( :n)：ncos(fy)sh；(x)(2

7、-22)（4）最终求得稳态温度场2- 5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源 热泵等工程实际。一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。由于管子的长度远 大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。当运行的时间足够长以 后，系统可以达到基本稳定的状态。设土地是均匀的半无限大介质，线热源单位长度的发 热量为ql，地表面的温度均匀，维持为t0。使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场解：根据题意画出示意图如下:设有限长热源长度为H，单位长度热源发热量为q|，电源强度为ql dz0(w)，设地面温度维持恒定温度to, v -1 -to。(1)求解点

8、热源dz0产生的温度场有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的 叠加，因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为:(3-1)解微分方程可得(3-2)r2 dr dr=0把边界条件r户-0代入上式得到C2-0，所以有r(3-3)在球坐标系点热源dz0单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量所以得到&qLdz04臥dr4二r2 二 一4二g = qldz0Q,即(3-4)由此可得到球坐标系中点热源dz0产生的温度场为qi1 dz r(3-5)(2)分别求出两个线热源产生的温度场线热源产生的温度场可以看

9、作是点热源产生的温度场的叠加，因此有地下有限长线热源产生的温度场(3-6)对称的虚拟热源产生的温度场为h ql 1“。4h旭qL-dZo4二r(3-7)(3)虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场q 14- . rdZHqL-dZg4 二 rqi4二H-0 lJp2+(z Zo)21.(Z Zo)2(3-8)ql |nH _z+也二z)2 + p2 Jz2 + p2 七 I4欣门H +z+J(H +z)2 十 P2 Jz2 + P2 _z第三章3- 1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为1mm的圆球，其材料的密度为 8900kg/m3,比热容为390J/(Kg

10、?K)，测温记录最高和最低温度 分别为130C和124C,周期为20s。若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为 20W/(m2?K,试确定气流的真实温度变化范围。解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为(4-1)式中Af1 w2 7=-arctan(w r)按题目要求w=2T 20n10ffcv8900 390 1 106汉20二 28.925s，h = 20w/(m2 k)，根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的温度变化的 振幅如下式(4-2)Af_1 3 01 2 43.1 w2 22把w, r的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅Af =27.4，所

11、以真实气体温度变化的最大值、最小值为max-130 124227.4 =154.4 C(4-3)(4-4)tm in3。124 -27.4 =99.6C23-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度场由式子t(r,)qi4：.-r2Ei(4T)确定。若线热源的加热不是连续的而是间歇的，即从-的时刻起,线热源进行周期性的间歇加热，周期为 T,其中加热的时段为T1,其余的T-T1时间不加 热。试利用线性叠加原理确定介质中的温度响应。解：无限大介质连续恒定发热的线热源引起的温度场：t(r, )七一严丘匚于)4 观 4ai(5-1)u其中：Ej(z) = iLdu*u对于随

12、时间变化的热流可以用一系列连续的矩形脉冲热流来近似如图所示: 由叠加原理得到.时刻的温度变化为：nt _t: - xi吕14：.4a(_iJ20)(5-2)对于间歇性的脉冲，令 C二Tl/T为运行份额，如果在整个运行期间的平均热负荷为ql，则脉冲加热的强度为q /C，具体见下图:由叠加原理得到:旳 q-r2旳 qt-t3Ei - 也 Ein=4応丸 4aC nT) n=4兀丸 4a(可一nTTJ-2萄-11_4aC - nT)CO送丿 4江九C n =0n -r214a _nT _T(5-3)即温度响应为寸=4二，(丄_t：JqiC n =0_4a(i- -nT -TJ)(5-4)第四章4-

13、1、处在X0的半无限大空间内的一固体，初始温度为溶解温度tmo当时间 7时，在x=0的边界上受到一个恒定的热流qO的作用。使用积分近似解得方法确定固液界面位置随 时间变化的关系式。温度分布按次多项式近似。解：设过余温度二=t-tm，边界条件为0,q-d2dxx =x( ) 0-0（6-2）热平衡方程为旦兀叫x = X（.）0 dxd其中L是潜热，a/兀(6-3)用二次多项式近似固相区中的温度分布，设2班x,)二 A(x X) B(x-X)由边界条件(6-1)可知，x=0,d A2B(x X)，则dxq0 - -，A 2B(x -X)2 - - (A-2BX)(6-4)(6-5)由边界条件（6-

14、2）变形，打xc）, j 十，代入（6-3）式可得0；x2 L : x（6-6）将（6-4）代入上式得到. 2兀A 2aB=0(6-7)联立（6-5 ）和（6-7 ）两个式子，可解得九 :a2 4aq_a_ 丨2扎 $亍 _ PLX _ X(6-8)将（6-4）代入（6-3）得到pl WA 2B（x-X） = L dX di 其中x=X（J，所以有 !dX，代入A的值即得(6-9)变形可得到2X积分可得到a2 4aq PLXa：adXal dX X dt2X ( a2X +a)VPL)dX 一沁X：、L6aqo(a4aqo)3/2LX)化简整理可得界面随时间的变化方程为(aX 豊)2汽236a

15、 q0(a24aq、3 LX)第六章6-4、常物性流体在两无限大平板之间作稳态层流运动，下板静止不动, 下以恒定速度U运动，试推导连续性方程和动量方程。（6-11）（6-12）（6-13）上板在外力作用解：按照题意可以写出.:v:x=0（7-1）故连续性方程为.x .:y（7-2）可以简化为-:u：:x(7-3)因流体是常物性，不可压缩，NS方程为X方向上:2 2；:uFx1 ；:Pu ； uUv(22)( 7-4)x_y：: : yx_y简化为2FxPU，汰&y(7-5)Y方向上：v:vFy1 ：p：2vvuv:(22)( 7-6):xc、- -y；x；y可简化为P门 F0y：y(7-7)第

16、七章7-3、试证明：当Pr空1时流体外掠平板层流动边界层换热的局部努塞尔数为证明：适用于外掠平板的层流边界层的能量方程为(8-1)2rt;:t-tu v2:x为:y常壁温的边界条件为(8-2)(8-3)y_ ,t 二t：引入一量纲温度G，上址，则上述能量方程变为t 二：_ tw- .，-20/C 八u v2( 8-4)2x : y : y引入相似变量 二丄Re1/2，得到6(x) X 9x(8-7)9；x初；xg9y初:y.：2g）u.y2Uj()- x=s()(冷讥x-0()- X将上面的三个式子代入(8-4)可得到Pr 亦=02(8-6)(8-8)当Pr叮时，速度边界层厚度远小于温度边界层

17、厚度,可近似认为温度边界层内速度为主流速度，即f =1,f二由此可得(8-9)、 *1求解得到心（）=erf（?）P厂（0）=（二）1/2Pr、1/2Nux 二 0.564Re；/2 Pr1/2(8-10)第八章8-2、常物性不可压缩流体在两平行平板之间作层流流动, 板间距为2b，证明充分发展流动的速度分布为解：二维流体质量、动量方程为.x :y下板静止,上板以匀速U运动,(9-1 );xry(9-2 )(9-3 )在充分发展区，截面上只有沿流动方向上的速度u在断面上变化，法向速度v可以忽略不计，因此可由（9-1 ）得到v =0上=0 ex将（9-4 ）式代入（9-3）得到IE =0，表明压力

18、p只是流动方向x的函数，即流道断面上压力是 cy均匀一致的进一步由（9-2）可得相应的边界条件为对（9-5 ）积分可得到2dx -y2y = 2b , u =U(9-5 )(9-6)(9-7)；:y J dx(9-8 )代入边界条件得到C12dxdp y2 Gy C2u b dp2b,C2 =0，因此有(9-9)(9-10)U 2b 2dx b第九章9- 3、流体流过平壁作湍流边界层流动，试比较粘性底层、过渡区和湍流核心区的大小。解：流体流过平壁作湍流边界层流动时，一般将边界层分为3个区域：粘性底层：y _5缓冲层：5 _ y _ 30湍流核心：y _30*u y其中yv因此可以得出，湍流核心

19、区最大，缓冲层其次，粘性底层最小。粘性底层是靠近壁面处极薄的一层，速 度耗损大。过渡区处于粘性底层与湍流核心区之间，范围很小。第十章10- 3、一块平板，高0.5m,宽0.5m,壁温保持在30C，竖直放入120C的油池中，求冷 却热流。解：物性取膜温Tf查油的物性表得到：瑞利数为导弩0”(11-1)平均努塞尔数为因此g- (Ts -T. JL3RaL 二 Gl Prvot3310 0.7 10(120 -30) 0.5-41.7X10AX0.763X10 二= 2.475 1010NuL =0.825 +1/60.387 RaL,1 (0.492/Pr)9/16 8/27= 466.4(11-

20、2)(11-3)Nul kL466.4 138 100.5=128.7w/(m2(11-4)得到q =hA(Ts-T：) =128.7 0.5 0.5 (120-30) =2896w(11-5)第早11- 3、有一漫辐射表面，单色吸收比 如下图所示。在太空中，正面受到太阳辐射，辐射 力为1394w/tf，背面绝热。试求表面的平衡温度 解：假定太阳辐射相当于 5800K的黑体辐射全波长半球向吸收率为0 ： ()G.()d0 G()d(12-1 )利用 G =E,b(Tf) =E.,b( ,5800k)，得到0上( ，5800K)dEb(5800K),2qQ.E.,b( ,5800K)d1Eb(5800K)(12-2)(0- 1)由為Tf =1.5 汇5800口口 K 得到 F（0_）=0.88，因此(12-3):=0.9 0.88 0.1 (1 一0.88) = 0.804由于漫射性质，；-.，因此可得到假定最终平板的温度在 600K以下，F（o=0，得到3 =0入2 = 0.1（12-5 ）平板背面绝热，由平板能量平衡方程得到:G - ;；Ts4（ 12-6）代入数据后解得Ts=667K（ 12-7）第十二章13-3、两无限大平行平板，表面1温度为1500K,单色发射率在0乞乞2um波段为0.4，在2um乞9um波段为0.9，其他波段为0。表面2温度为100