高数—11寒—07—二面角—杨威-教师版

1、专业 引领 共成长高二数学寒假班（教师版）高二数学寒假课程面角（教师版）1/ 21教师日期学生课程编号课型预习课题二面角教学目标掌握求二面角平面角的方法：定义法，三垂线定理法和垂面法教学重点体会求二面角的过程就是将空间的角转化为平面上的角的“化归”思想教学安排版块时长1知识梳理102例题解析603巩固训练304师生总结205课后练习30专业 引领 共成长空间中的平面与平面 21、二面角定义：当两个平面相交时，它们的交线 AB 将各平面分割成两个半平面，由两个半平面 , 及交线AB 所组成的空间图形叫做二面角， 记作 AB 。交线 AB 叫做二面角的棱， 两个半平面叫做二面角的面（如图）2、二面

2、角的平面角：在二面角的棱 AB上任取一点 O，过O分别在面 和 内作棱 AB 的垂线 OM和ON所成的角叫做二面角 AB 的平面角（如图） 用平面角的大小来表示二面角的大小（ 1） 范围：二面角的大小的范围 0, （ 2） 平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直（ 3） 作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性，取点时要注意和已知条件的沟通；三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：过二面角内一点作棱的垂面，则

3、垂面与 两个半平面的交线所成的角即为平面角（ 4） 二面角的求法： 转化为求平面角； 面积射影法： 利用面积射影公式 S射 S原 cos ，其中 为平面角的大小对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相高二数学寒假课程 二面角（教师版）2/ 21专业 引领 共成长交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）例 1】二面角l 的平面角的三种作法：定义法 三垂线定理法 垂面法【难度】【答案】略【例 2】二面角指（ ）A 两平面组成的角B经过同一直线的两个平面组成的图形C从 1 条直线出发的两个半平面组成的图形D 两个平面所夹的不大于 90 的角【难度】【答案】 C【例 3】一个

4、二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角（ ）A 相等B互补C相等或互补D 无法确定【难度】【答案】 C【例 4】空间三条射线 PA 、PB 、PC 满足 APC APB 60 ， BPC 90 ，则二面角 B PA C 的大小 （ ）A 等于 90B 是小于 120 的钝角面角（教师版）C是大于等于 120 小于等于 135 的钝角D是大于 135 小于等于 150 的钝角高二数学寒假课程3 / 21专业 引领 共成长答案】 B例 5】在正方体 ABCD则下列二面角的大小是：1）二面角D12）二面角A13）二面角A1BCB1D1B1D1答案】 , ， arctan 24

5、2C1例 6】如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB 6, ADAA1 2 ，则二面角 A1 B1D1A 的大小为CD例 8】已知二面角AB的平面角为锐角内一点 C 到的距离为 3，到棱 AB 的距离答案】 30例 7】如图，边长为2的两个等边三角形 ABC , DBC ，若点 A到平面 BCD 的距离为 1 ，则二面角 A BC D 的大小为难度】3答案】 arcsin 33为 4，则 tan 等于难度】答案】 3 77例 9】设 P 是 60 的二面角l 内一点， PA平面，PB 平面 ，A 、B为垂足， PA 4，面角（教师版）PB 2 ，则 AB的长为高二数学寒假课程4 /

6、21专业 引领 共成长难度】答案】 2 7例 10】如图， 山坡的倾斜度 （坡面与水平面所成二面角的度数） 是 60d ，山坡上有一条直道 CD ， 它和坡脚的水平线 AB的夹角是 30d ，沿这条路上山，行走 100米后升高多少米？【难度】【答案】过 D作 DH 面ABH 为 H，作 DG AB 于 G，连接 GH， 23设升高的距离 DH h，则 DGH 60 ，DG 2 3 h，3在 Rt CDG 中， CD 2DG232 h 100 h 25 3 米3【例 11】如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，求平面 A1BD和平面C1BD 相交所组成的二面角 A1 BD C1 的余弦值

7、【难度】 【答案】用二面角平面角的定义求二面角。 Q 正方体的面对角线长相等 ,A1BD与 C1BD是全等的三角形 . 设BD的中点为 O,连结 A1O,C1O, 则 A1O BD,C1O BD.A1OC 1是二面角 A1 BD C1的平面角 . 设正方体的棱长为单位 1,连结 A1C1. 在 A1OC 1中 :A1C1 2, A1O C1O,21由余弦定理 ,得 cos A1OC1 1.31 平面A1BD和平面 C1BD所成的二面角的余弦值 .1 1 3高二数学寒假课程 二面角（教师版）5 / 21专业 引领 共成长例 12】已知 S是正方形 ABCD所在平面外一点， SA 平面ABCD ，

8、 AB 3，SC 5 （ 1）求二面角 B SC D 的大小；（ 2）求 SA与平面 SBD 所成的角难度】答案】（1）由已知， SD SB 4,SA 7,BD 3 2，过 B作 BE于 E，连结 DE ， Rt SBC Rt SDC， BE DE12 , BD 3 2 , BED59 arccos162） 连结 AC 交 BD于 O，则 BD AC ,又 DBSA 在 平 面 SBD 上 的 射 影 是 SO ，SA, DB 平面SAC ， 平面SAC 平面SBD ，ASO 就 是 SA 与 平 面 SBD 所 成 的 角 ，ASOarctan3 1414 BE SC， BED为二面角 B

9、SC D 的平面角，【例 13】如图所示， 已知二面角l内有一点 P到二面角 , 的距离分别为 5和 8，点 P在面 , 上 的射影间的距离为 7，求二面角l的大小【难度】【答案】从P出发引 , 的垂线 PA, PB ，显然棱 l垂直于 PA,PB 所确定的平面，这个平面与 , 的交线所组成的角即为所求的二面角。 解 作PA ,PB ,垂足分别为 A,B,平面PAB 交 于AC,交 于BC.Q PA,l 在 内, l PA.同理 ,l PB, l 平面 PAB,而 AC,BC 在平面 PAB 内l AC,l BC,即 ACB 为二面角l 的平面角1在 PAB中, PA 5,PB 8,AB 7,

10、由余弦定理得 cos APB , APB 60o,在四边形2面角（教师版）APBC中, ACB 180oAPB ,所以二面角 l的大小 为120.o高二数学寒假课程6/ 21专业 引领 共成长【例 14】已知正方体 AC，M、N 分别是 BB，DD的中点， 求截面 AMCN 与面 ABCD，CCDD 所成的角【难度】答案】 arccos 66arccos3，6CC例 15】如图，平面 ABEF 平面 ABCD ，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，11BAD FAB 900,BC / AD ， BE / AF 22（ 1）证明： C,D,F,E 四点共面；（2）设 AB BC BE

11、，求二面角 A ED B 的大小 难度】 答案】 ）延长 DC交 AB的延长线于点 G，由 BC / 1 AD 得2GB GC BC 1GA GD AD 2延长 FE 交 AB 的延长线于 G同理可得GE GB BE 1GF GA AF 2GB GB 故 ，即 G与 G 重合GA GA因此直线 CD、EF 相交于点 G，即 C,D,F,E四点共面。（）设 AB 1 ，则 BC BE 1， AD 2取 AE 中点 M ，则 BM AE ，又由已知得， AD 平面 ABEF 故 AD BM ， BM 与平面 ADE 内两相交直线 AD、AE 都垂直。高二数学寒假课程面角（教师版）7/ 21专业 引

12、领 共成长所以 BM 平面 ADE ，作 MN DE ，垂足为 N ，连结 BN 由三垂线定理知 BN ED， BMN 为二面角 A ED B 的平面角。2 1 AD AE 3BM， MN2 2 DE 3故 tan BMNBM 6MN 2所以二面角 AED B 的大小 arctan 62例 16】如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA1 2AB 4，点 E在CC1上且 C1E 3EC（ 1）证明：A1C平面BED ；（ 2）求二面角 A1DEB 的大小难度】答案】依题设知AB2，CE 1 （）连结 AC交BD于点F ，则 BD AC 由三垂线定理知， BD A1C 在平面 A1C

13、A 内，连结 EF 交 A1C 于点 G ，由于 AA1 AC 2 2 ，FC CE故RtA1ACRtFCE ， AA1CCFE，CFE 与 FCA1 互余于是 A1C EF A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD， EF 都垂直，所以 A1C 平面 BED 面角（教师版）（）作 GH DE ，垂足为 H ，连结 A1H 由三垂线定理知 A1H DE ，高二数学寒假课程8/ 21专业 引领 共成长故 A1HG 是二面角 A1 DE B 的平面角EFCF 2CGCE CFEFEG1， GHCE2 3 ，223，EGCE 2 CG21 EF FD 215DE又 A1CAA12 AC2 2 6

14、， A1G A1C CG563tan A1HG HA1GG 5 5 所以二面角 A1 DE B 的大小为 arctan 5 5 例 17】如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD为等腰梯形， AB/ DC,AC BD,AC与 BD相交于点 O，且顶点 P在底面上的射影恰为 O点，又1）求异面直接 PD与 BC所成角的余弦值；BO 2, PO 2, PB PD （ 2）求二面角 P AB C 的大小；（3）设点 M 在棱 PC 上，且 PM,问 为何值时， PC 平面 BMD MC【难度】【答案】解法一： QPO 平面 ABCD ， PO BD又 PB PD,BO 2,PO 2 ，由平面几

15、何知识得： OD 1,PD 3,PB 6（）过D做DE/BC交于 AB于E ，连结 PE，则 PDE或其补角为异面直线 PD与BC所 成的角，Q四边形 ABCD 是等腰梯形，高二数学寒假课程 二面角（教师版）9/ 21专业 引领 共成长OC OD 1,OB OA 2,OA OBBC 5, AB 2 2,CD 2ED BC 5, BE CD 2又 AB/ DC 四边形 EBCD 是平行四边形。E是 AB的中点，且 AE 2又 PA PB 6 ，PEA 为直角三角形，PE PA2 AE26 2 2在 PED 中，由余弦定理得：3 5 4 2 152 3 5 15cos PDEPD2 DE 2 PE

16、22PD DE故异面直线 PD与 BC所成的角的余弦值为2 1515（）连结 OE ，由（）及三垂线定理知，PEO为二面角 P AB C 的平面角PO 20sin PEO PO 2 ， PEO 450PE 2面角 P AB C 的大小为 450）连结 MD , MB,MO ，QPC平面 BMD ,OM平面 BMD ，Q PC OM又在 RtPOC 中， PCPD 3,OC1,PO2 ， PM2 3,MC33PMMC故2 时， PC 平面 BMD面角（教师版）高二数学寒假课程10 / 21且 P 在平面 BCD 内的射影O在 DC上（1）求证：PD PC；（2）求二面角 P-BD-C 平面角的余

17、弦值难度】1答案】 13【例 19】如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面是直角梯形，AB BC PB PC 2CD ，侧面 PBC 底面 ABCD（1） PA与 BD是否相互垂直，请证明你的结论；（ 2）求二面角 P BD C 的大小；（ 3）求证：平面 PAD 平面 PAB【难度】【答案】（1）PA与 BD相互垂直 .证明如下：取 BC的中点 O，连结 AO，交 BD 于点 E ；连结 POABC PB PC ， PO BC 又平面 PBC 平面 ABCD ，平面 PBC 平面 ABCD BC， PO平面 ABCD 在梯形 ABCD中，可得 Rt ABO Rt BCD ，BEO OAB D

18、BA DBC DBA 90o ，即 AO BD ， PA BD2）连结 PE ，由 PO 平面 ABCD ， AO BD ，可得 PE BD ， PEO 为二面角 P BD C 的平面角，设 AB BC PB PC 2CD 2a ，则在 Rt PEO中， POtan PEO PO15 . 二面角 P BD C 为 arctan 15 EO（3）取 PB的中点 N ，连结 CN ，由题意知：平面 PBC 平面（ 1）”可得 CN 平面 PAB 则同3a,OE 55 a,PAB，取 PA 的中点 M ，连结 DM ,MN ，则由 MN / AB/CD ，专业 引领 共成长例 18】在矩形 ABCD

19、 中，AB=6 ，BC= 2 3 ，沿对角线 BD 将 ABD 向上折起， 使点 A 移到点 P，面角（教师版）MN 1AB CD ，得四边形 MNCD为平行四边形 . CN/DM ， 2高二数学寒假课程11 / 21专业 引领 共成长 DM 平面 PAB平面 PAD 平面 PAB巩固训练】B 大小为 50 ，则二面角1如图，若二面角 A EF 【难度】【答案】 1302对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题这个命题的真假性是 【难度】答案】如果两个二面角的半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补，假命题3一间

20、民房的屋顶有如图三种不同的盖法：（1）单向倾斜，（ 2）双向倾斜，（3）四面倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为 P1，P2， P3,，若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则 （ ）A P3P2P1B P3P2=P 1C P3=P2P1DP3=P2=P1（1）（2）（3）【难度】【答案】 D4在棱长为1 的正方体 AC1 中，求二面角A B1D1 C 的大小 1难度】答案】 arccos35以正方形 ABCD的对角线 BD为棱折成直二面角， 连结 AC，则二面角 ACDB的大小为 【难度】高二数学寒假课程面角（教师版）12 / 21专业 引领 共成长答案】 arcsin 636在 60 二面角的一个面内

21、有一个点，它到另一个面的距离是10，求它到棱的距离难度】答案】20 337已知正方形 ABCD， AC,BD 交于点 O ，若将正方形沿 BD折成 60 的二面角，并给出四个结 3论：（1） AC BD；（2） AD CO ；（ 3） AOC为正三角形； （4） cos ADC ，则其中正 4确命题的序号为 【难度】【答案】（1）（3）（4）8一张边 长为a的正三角形纸片 ABC ，以它的高 AD为折痕，将其折成一个 60d 的二面角，求此 时 B、 C 两点间的距离【难度】【答案】 a2P，使 PA9如图，已知边长为 a 的等边三角形 ABC所在平面外有一点 角 A PB C 的大小【难度】

22、1【答案】 arccos面角（教师版）3高二数学寒假课程13 / 21专业 引领 共成长10已知正方体 ABCD ABCD，求二面角 B AC B的大小【难度】【答案】 arctan 211若二面角l 的大小为 30d ，P 在平面 上，点 P 到 的距离为 h，求点 P 到棱 l 的距离【难度】【答案】 2h12把边长为 a的正方形 ABCD以 BD为轴折叠，使二面角 A BD C成60 的二面角，求 A、C 两点的距离答案】 2 a213过正方形 ABCD的顶点 A，引 PA平面 ABCD ，若 PA AB ，则平面 ABP和平面 CDP 所 成的二面角的大小是（ ）A 30oB45oC

23、60oD 90o难度】答案】 B高二数学寒假课程面角（教师版）14 / 2114边长为 a 的正三角形ABC 沿高 AD 折成 60 的二面角，则A 到 BC 的距离（）A 15aB 15aC15a15a D248【难度】【答案】 C专业 引领 共成长15已知 E,F 分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱 BC, CC1 的中点，则截面 AEFD1与底面 ABCD所成二面角的正弦值是(A)23(B) 32(C) 3522(D) 232答案】 C16过 60 的二面角的棱 l 上一点 O，分别在内 O 的同侧引两条射线 OP, OQ，使 OP,OQ与 l 都成 45 角，则POQ 的余弦值

24、 =难度】3 答案】 3417已知直二面角 -l-，A，B,线段 AB=2a, AB与 成45角，与 成 30角，过 A、B二点答案】C、 D, 求平面 ABD 与平面 ABC 所成二面角的大小6 arcsin318在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求：（1）平面 A1ABB1与平面 ABCD 所成角的大小；（2）平面 C1BD 与平面 BCD所成的角的大小；（ 3）二面角 A B1D1 C 的大小【难度】高二数学寒假课程 二面角（教师版）15 / 21专业 引领 共成长1 答案】（ 1） ；（2） arctan 2 ；（3） arccos 2319线段 SA, SB,

25、SC 两两垂直，且 SA SB a,SC 2a， 求：（ 1）二面角 S AB C 的大小；（2）二面角 S BC A 的大小；（3）点 S 到平面 ABC 的距离【难度】122【答案】（ 1） arccos （2） arccos （3） a33320如图，P 是二面角AB的棱 AB 上的点，分别在,内引射线PM ,PN 如 果BPMBPN45 ,MPN60 , 求 二 面 角AB 的大小难度】 答案】 定义法。解在AB上取点Q,在平面 , 内过Q分别作AB的垂线 QM,QN,交PM于M,交PN于N,连结MN,则 MQN为二面角AB 的平面角.面角（教师版）设PQ 1,则由条件 PM PN 2

26、,QM QN PQ 1.由 MPN 60 ,PM PN2,得MPN为正三角形 .从而 MN2.在 MQN中,由 QMQN 1,MN2,得MN 222QM 2 QN 2MQN90 .二面角AB的大小是 90高二数学寒假课程16 / 21专业 引领 共成长反思总结二面角： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出 发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角 的面 若棱为 l ，两个面分别为 , 的二面角记为 l ；二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点 O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB ，则 AOB 叫做

27、二面角 l 的平面角 .（ 2）一个平面垂直于二面角l的棱 l ，且与两半平面交线分别为 OA,OB,O 为垂足，则AOB 也是 l 的平面角 .说明】1）二面角的平面角范围是 0o,180o ；2）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直； 3）二面角的求法： 几何法； 向量法 .课后练习1下列命题中正确的命题有 个（ 1）二面角的面是半平面； （ 2）二面角的平面角就是二面角；（ 3）过二面角棱上一点作与棱垂直的两条射线，这两条射线所组成的角就是二面角的平面角【难度】面角（教师版）【答案】 1高二数学寒假课程17 / 21专业引领共成长2设 P是 ABC 所在平

28、面外一点，若 面PAB, PBC, PAC与底面 ABC所成的二面角相等，则 P 点 在底面三角形 ABC内的射影是 ABC的 心【难度】【答案】内3已知二面角 l 为 75 ，二面角内一点 P到l 和到 的距离分别为 42 和 21，则 P到平面的距离为 【难度】【答案】 21 24二面角 AB 的平面角是锐角， C是平面 内的一点（不在棱上） ，D是C 在平面 内的射影，点E是棱 AB 上满足CEB为锐角的一点，那么（）ACEB DEBB CEBDEBCCEB DEBD不能确定【难度】【答案】A5二面角-L-是直二面角，A,B,A、B L, 设直线AB 与、所成的角分别是 1、 2，则（）

29、A1+2=90 B1+2 90 C1+2 90 D1+290难度】 答案】 C6以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高为折痕，将 ABD 折起，使折起后的 ABC 成等边三角形，则二面角 C-AD-B 等于（D2）AB64【难度】【答案】 DC3高二数学寒假课程二面角（教师版）18 / 21专业 引领 共成长7从 P 出发三条射线APA， PB，BPC 每两条夹角成 60，则二面角1C 333B-PA-C 的余弦值为（难度】答案】 B8正方体 ABCD -A1B1C1D1的棱长为 1，P是 AD 中点，求二面角 A -BD 1-P的大小难度】答案】69已知正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、F为 A1D 1、 C1D1的中点，求平面 EFCA 与底面 ABCD 所 成的二面角【难度】【