2020年全国高考数学_第50讲二项式定理

1、2020 年全国高考数学 第 50 讲 二项式定理考纲解读1. 能用计数原理证明二项式定理 .2. 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题 命题趋势探究1. 高考对本节内容的考查常以选择题或填空题的形式出现，并且高于中等偏易试题2.主要考查内容是：利用通项求解展开式中的某指定项；利用二项式特别是 1 X n的展开式求解系数或求某些类似于二项展开式的式子的值； 二项式系数的有关问题10知识点精讲 一、二项式定理a bCn0anb0 C1nan 1bCnran rbrCnna0bn n N展开式具有以下特点：（1）项数：共 n 1项 .2）二项式系数：依次为组合数012 nCn,Cn,Cn

2、 , ,Cn .3）每一项的次数是一样的,都为n 次，展开式依 a 的降幂、 b 的升幂排列展开 . 特别地，n 12 21 X 1 CnX Cn XnnCnnXn .二、二项式展开式的通项（第r 1 项）二项式展开的通项为 Tr 1Cnanrbr r 0,1,2,3,n. 其中Cn的二项式系数.令变量（常用X ）取1,可得Tr 的系数 . 在应用通项公式注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数 时要注意以下几点： 分清Cnanrbr是第r 1项，而不是第r项;在通项公式Tr I Cnanrbr中，含Tr 1,cn,a,b, r, n这6个参数，只有

3、a, b,r, n是独立的，在未知r ,n的情况下 利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n和r.三、二项式展开式中的系数（ 1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指 C0,cn,C2, ，Cn而言，不包括字母 a,b所表示的式子中的系数.例如：2 X n的展开式中，含有Xr的项应该是Tr 1 Cnr2n rXn ,其中C；叫做该项的二项式系数，而Xr的系数应该是 q2n r （即含Xr项的系数） .0 n 1 n 1 2 nCn Cn，Cn Cn ，Cn Cn（2）二项式系数的性质 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即rn rCnCn二项展开式中间项

4、的二项式系数最大如果二项式的幕指数 n是偶数，中间项是第-1项，其二项式系数22Cnn最大；如果二项式的幕指数 n是奇数，n 1n 1中间项有两项，即为第项和第1项,2 2它们的二项式系数n 1cr7和CrF相等并且最大.（3）二项式系数和与系数和二项式系数和Cn CnnnCn （1+1）2n奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和,即 C0 C； C：Cn C3 C2n1系数和求所有项系数和，令X 1 ；求变号系数和，令 X 1 ；求常数项，令X 0。题型归纳及思路提示题型172二项式定理展开式的应用思路提示 对二项展开式的认识不仅要关注展开式中对各项的特点，更重要的是要理解等式两边的关系，

5、右边是 左边n个因式a b积的结果，而左边是右边各项和的结果，这就为此类问题的解决提供了思考的方向和解决的思 路。例12.30 用计数原理证明：n 0n 1n12n 2 2rnrrnna bCna Cna b CnabLCnabLCnbn N ,r 0,1,2, ,n 变式1在x1x2x3x4x5的展开式中，X的系数为（）A. 15B. 85C. 120D. 27425变式2在X 4x 2 的展开式中，X的系数为（用数字作答）5变式3 - 1 2的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）2 X题型173二项展开式通项的应用思路提示二项展开式的通项从微观角度反映了二项展开式的全貌，是展开式的缩影，

6、它可以用于求二项展开式的任意指定项 及其系数等。例 12.31（1）X22丄15的展开式的常数项是（）XA. 3B.2C. 2D. 312、X3 13X5展开式中X的系数为（）A. 4B.2C. 2D. 4变式11 X21 X10展开式中X5的系数为O103L 61变式213 1 展开式中的常数项为4Xnn N ,且 2 n 8，n =1变式3已知1 X X2 X冷的展开式中没有常数项,X例 12.32（1）求证：2n 2n 2 n N, n 3 .n1（2）求证：213 n 2,n Nn变式 1 a,b R， a b 0, nN .求证:bn变式2求证:n2n 1n2n2nnn 1变式3对于

7、n N ,求证：11 -11 -nn 1例 12.33-X卜展开式中X的系数为9 a = 24 X81 的展开式中常数项为（）2 .XA.35163535B.C.D.10584I 18变式1I15X的展开式中含X15的项的系数为（用数字作答）。3 ,x变式26a3设二项式 X J= （a 0）的展开式中X3的系数为A，常数项为B,若B=4A,则a的值为。变式3103773X V展开式中X3 V7与X7 V3的系数和为（用数字作答）。-20例 12.34X 3v 展开式中系数为有理数的项共有项。变式1n.X 1=的第三项和第二项系数之比为11： 2 ,求展开式中有理项有多少个？3 2 X变式21

8、-、2a b、2（a,b为有理数），则 a b=（）A. 45B. 55C. 70D. 80变式3nAXJX -展开式中存在常数项，正整数n的最小值为X题型174二项展开式的系数和问题思路提示有关系数和的问题不仅要注意二项式系数和的结果，重要的是研究二项式系数所用的方法即赋值法，这里就需 要读者根据题目结合已知条件进行赋值。例 12.35 已知 1 2x =a0 a1x a22 L a77求变式1已知二项展开式2x 、.一 3a0 a1x4 2 a4X，则aa?a4a3变式2 X - 2xX5的展开式中各项系数的和为2 ,则该展开式中常数项为（A. -40B. -20C. 20D. 40(1)

9、a1a2a7 ；(2)a1a3a5a7 ；(3)a。a2a4a6 ；(4)aa1a7例12.36若20151 2x=:a0a1x2015a2015x(XR），则a2a222弄的值为（）A.2B.0C. -1D.-2变式1已知1 X1X 2 f1 n=aa1xAX右 aa：an I 29 n ,那么自然数n的值为（）A.3B. 4C.5D.6变式2若12x1 a。a1x7ra7X ,则印2a27a7 =题型 175 二项展开式中系数或项的最大、最小问题思路提示二项式系数最大（小）问题按前述“知识点精讲”原理求解.系数或项的最大、最小问题需按该项大于（或小于）等于相邻两项，列不等式组求解。例 12

10、.37 a b n 展开式中：1）只有第 7 项的二项式系数最大，则 n =2）第 7项二项式系数取最大值， n= 10变式 1 求 1 x 10 展开式的系数最大项和最小项。11变式 2 求 1 2x 11 展开式中二项式系数最大项数和系数最大项数。最有效训练题51 （限时30分钟）1.2x2丄的二项展开式中，XX的系数为（)A.10B.-10C.40D. -402.1 3xn（其中nN且n6）展开式中，X5与A.6B. 7C.8D. 955X3的系数为10,则实数a等于（的展开式中,6X的系数相等，贝U n=（A.1B.-2C. 1D. 24.2x41-的展开式中的常数项为（XA. -24

11、B. -6C. 6D.245.若 X21 展开式中的所有二项式系数和为X512,则该展开式中的常数项为A. -84B. 84 C.-36D. 366.设 X292x 1 =a0a1 Xa2 X11a1X ,贝U aoa111的值为（7.8.9.A. 2B. -1C. -2D. 1n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的1 G20的二项展开式中,X的系数与X9的系数之差为1 0已知 X 1a1a2X10anx ,若数列 a1,a21a3, Iak (1 k 11,k是一个单调递增数列,最大值为10.若 X 1 mxa, X2a2X5a5X ，其中a26 ,则实数m的值为;a1a2 a3a4k的a5的值n1