定义域和值域

1、(一)定义域：1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？(定义域、对应法则、值域)相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)2. 求函数的定义域有哪些常见类型？函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数(或式)大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数y tanx x R,且x k , k2反三角函数的定义域-2r2E函数y= arcsinx的定义域是1,1,值域是 -,函数y = arccosx的定义域是1,1，值域是0, n ，函数y = arctgx的定义域是R,值域是 - 函数y = arcc

2、tgx的定义域是R,值域是(0, n ).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变 量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3. 如何求复合函数的定义域？义域是。(答：a， a )复合函数定义域的求法：已知y f (x)的定义域为m, n，求y f g(x)的定义域,可由m g(x) n解出x的范围，即为y f g(x)的定义域1例若函数y f (x)的定义域为一,2，则f(log2x)的定义域为2分析：由函数y f (x)的定义域为一 ,2可知：一 x 2 ；所以y f(log2X)中2 2有 一 log 2 x 2。 21解：依题意知：log 2 x

3、22解之，得 2 x 4二 f (log 2 x)的定义域为x | . 2 x 4二函数解析式求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法例1设f(x)是一次函数，且ff(x) 4x 3，求f(x)解：设 f (x) ax b (a 0)，贝U二、配凑法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f(x)的解析式，fg(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。1 1例2已知f (x 一)x2-y (x 0)，求f (x)的解析式xx解： f(x 一) (x -)22，x -2xxx三、换元法：已知

4、复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求 f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 f(.x 1) x 2.、x，求 f (x 1)解：令 t , x 1，则 t 1，x (t 1)2四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数y x2 x与y g(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式解：设M(x,y)为y g(x)上任一点，且M (x , y )为M (x, y)关于点(2,3)的对称点x x 则 2y y2点 M (x , y )在 y g(x)上xx 4把xx 4代入得：y 6 y整理得yx2 7

5、x 6五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方 程组，通过解方程组求得函数解析式。1例 5 设 f (x)满足 f (x)2 f (-) x,求 f (x)x1解 f(x) 2f() x x显然x 0,将x换成1，得：x11f(丄)2f(x)丄xx解联立的方程组，得：例6设f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f (x) g(x),试求f (x)和g(x)的解析式x 1解 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，1又f(X)g(x)厂,用 x替换x得：f ( x) g( x)1即 f (x) g(x)x 1解联立的方程组，得f(x)g(x)六、赋值法：当题

6、中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性” 的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。不妨令x 0 ,则有f ( y)f(0) y( y 1) 1 y(y 1) y2再令y x得函数解析式为：f (x) x2 x 1七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系, 力卩、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。则可以递推得出系列关系式，然后通过迭例8设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的自然数a,b都有例7已知：f(0)1，对于任意实数x、y,等式f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求f(x)解Q对于任意实数x、y,等式f(x y)f (x

7、) y(2x y 1)恒成立,f (a) f(b) f (a b) ab，求 f(x)解 f (a)f(b)f(ab)ab, a, b N ,不妨令a x,b1 ,得：f(x)f(1) f(x 1) x ,又 f(1)1,故 f (x1)f (x)x1分别令式中的x 1,2L n 1得：将上述各式相加得：f(n) f(1) 2 3 n ,(二):函数值域的求法1直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数y=1的值域y=3+ V (2- 3x)的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y= x2 -2x+5 , x -1 , 2的值域。求函数y=

8、V( x2+x+2)的值域3、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出 原函数的值域下面，我把这一类型的详细写出来，希望你能够看懂4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值 域。例求函数y=3值域。5x 65、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容x 5I例求函数y=2log3 x 1 (2 x 10)的值域求函数y=4x Vi - 3x(x 2 ab，a+b+c33、abc (a, b, c r )，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：x22(x 0)x多种方法综合运用2 1 1 2 1 1=