勾股定理典型例题详解与练习

1、典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD、 EF、 GHC. AB、 CD GHB. AB、 EF、 GHD. AB、 CD EF771HD愿路分乐屮1）題意分析本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理、2）解題思器；可利用勾脸定理直接求岀各边长，再试行判断叮 解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE二2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於H尸。二Q +F二艮 同理 HE 二 2 百* QH.二 1 CD = 25计算发现炉十血尸二（侧3即血+曲二Gif ,根据 勾

2、股定理的逆宦理得到 UAAE、EF GH为辺的三角形是直毎三角形故选B. *縮題后KJ思专：*1. 勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形因此辭题时一宦妾认真分析题目所蛤条件，看是否可用勾股定理来解口 *2. 在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 就 是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就 其实，同样是 环罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，曲氏不一定就是直角三祐3. 直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的区别在于勾股定理的运用是一 个从卅形s个三角形是直角三角形）到懺y M卄沪）的过程，而直角三角形的 判定是一从鬃（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）

3、到偲个三角形是直角 三角形）的过程4在应用勾股定理解题叭 聲全而地琴虑间题注意m题中存在的多种 可能性， 遊免漏辭初例玉如圏，有一块直角三角形椀屈C,两直角迫4CM5沁丸ni现将直角边AC 沿直绘血?折蠡 便它落在斜边力方上且点C落到点尸处，则切等于（、*A. 2cmB. 3cmG -析n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎:）解龜思路；車题若直接在MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因 为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，A4仞和心迓门关于直 线的对称因而八ACLhAED进一歩则有应用加CZAED ED丄AB,设UD二E2黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得 V+八83二100,得A

4、B-10cm,DE中N C10-fl）2二驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾 股定理 求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一 个己知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股 定理求线段长时需要明确的思路。方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求 线段 的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。例3：场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。清华开口说道：“老师，

5、那棵树看起来挺高的。”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？ ”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算出来了吗？思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答设直角三角形削三边长分别为久亠

6、如图，则圧二了米,b+c = 10 米.qc b c+B 10Q又cF -a 2, 艮卩 y+EC _右io （米）.1020 （米）*事解題后的慝曲这是一道圈读理解奚试蕊这种题型特点鲜明、內容丰富、趙越常规，源于谨 本，高干课本*不彳貝考査阅谨能力，而且还综合考杳数学意识和数学嫌合应用能打 尤其着查薮字思缝能力和创新意込解题时一股是通过阅满理解槪念，拿握方法硕 悟思想、抓住本质，然后才能解答间题汀知识点二、构造直角三角形使用勾股定理例4；如图，一个长方体形的木柜談在墙角处（与墙面和地面均没有耀隙有一只 蚂蚊从柜阳丿处沿着木柜表面爬到柜角G处“（1）谜你画出蚂觀能够最快到达目的地的可能路径，Q

7、当曲，飞二4匚以时求蚂蚁爬过的震矩路径的长尹匕、求点国到餵短踣径的距篱口备用图思路分析：屮1躍分析；卞题苇查勾股定理例应用P23解题思路；解決此粪间题的关国是把立悴圈形间題转化丸平面图形 问 题从而制用勾股定理解决路径虽无数最短却唯一，要注意养洛哪一条路径是 最短的心解答过程：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩珈和蚂秋能够最快到达目的地的可自囲径有如图的/q和蚂蛾沿着木柜表面经娃段禺到G,爬过的路径的桧是押+（4 +对二坷”蚂軾沿着木柜表贡经线段刀耳到爬过的路徑的长是右二奸遍匚亨二丿 .,最短路径的长是胡毘屮恥二坐AA =5二_八作耳左丄肚吁码则够、89刁中所求4解題后的恿考转化的思想是将夏

8、朶问题特他分解次简单旳I可题，或将陌生的I可題转化为 熟悉的间題来处理的一种慝想右法。如在许多实际间题中首先将師习題转化为数 学问题，另外，当间题中没有给出直甬三甬形时，通 常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。脣一块直垢三用形的绿地，爲得两直角边长分别为创8m现在妾将绿地扩充 成等腰三角形!且扩充部分是以如为直角边的直角三角形求扩充后等腰三甬形绿地的 周长亠思翳分析：此题如戶圈形将变得很简单，搔圈形解答同网但若没有图彩，则需 藝讨论几种可能的情况这正是肚无图题前细恩考，分粪讨论保周到二心解答5过程，在Rt曲C中，ZACB - 90 AC- & BC-6 f由勾 股定理育；

9、AS二10犷充部分次RtMOD,扩充成等睡他氏应分旦卩三种情况如图L当二.45=10 时，可求得屈Q的周长酋伽1如图h 初二SD二W；可求CD=4t由勾股定理島应二4八得朋D的周长刘20+40八圈3)当個底时设二九则UD二;&由勾股走理得on猖屈D的周长3 m.卩解题后的思考：分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：( 1图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5,求中间小正

10、方形的面积。(2)现有一张长为6. 5cm.宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再 拼合成一个正方形。(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)甲乙思路分析“本题着查湘Jffl勾股定理进行圈形的拼劃剪接P11 SS滴：注肓拼接过程中面税是不变的42）解題恿路K12S：彳（1）设直第三角形的较长亘角边长为肚较短宜角边长为虬则小正方形的边长酋億一切由题青得a + b 二 5#由勾股定理，得云+沪二13卩：一2厲方二12 +J所囲-硏二屮 +F - 2ab 二 13- 12 二 1即所求的中间屮正方形的面积为u-（7）所拼成的正気形的面租为&5賦2 = 1火诃）,所以

11、可按照图甲制作。卩由得宀一 3二Id由、组成方程组解爲口匕七结合题意*每个直角三角形的较长直角边只能在妖片e5cm的畏边上 截 取，去掉四乍直角三角形后，余下的面积蓟13x3x2x4 二 13-12= lfciM3）2,恰好等于中间的十正方形的面积.于是，得封朝下分劃拼合方法：解題后09黒考二这是一道综合题，根据题目所提供的信息是不难解决间 题的，但杲，要注意章握和运用好题目所绪的各个有用信息，否则，问题就不 容易得到解决知识点四*砂应用勾股定理屮例九m以等Hf-ff i形MB审斜辺为直角辺向外作第：个等腰直箱 三角形 ABA1,再以等BS直角三角形阳衛的斜边対直角边向外作第3个等曉直角三角形

12、AiBBh*如此作下去，若0戌二0B二L SN第口个等BS直角三角形的更积禺二盟路分析1題意分祈；本题萼查利用勾股定理进行归纳推理Q1）解題患路：先在RtAABO中，由0A二0B=l求出AB二“2 :再在RtAAB龟中，由AE二A求出九?再分别求出AA00-AABAL AAiBEr的面机 从中发现规律！猜想出结论。叙在 RtAAEO 中，由 ZAOB二?C i OA二OB二 1,可求岀 AB二 V2 , S 丄 2 oB-2 1 二 2 二2i； RtAAB Ai 中，由 ZAiAB=?u% AB-AAi 二J-V2 p 可求出盘田二2, Sa二2xV2 x-JS 二 1 二2。）在 RtAA

13、iBBi 中，由 N1AiBBi二？0% AiBBBi 二 2,可求出 AiB二2 J 区 耳二32-2=24 在 RiAAjBaBi中，由艺比：直出1二死笃扎珀二如比二池,可2求出 Bi Ba=4i 4 二 2x2 八 2 x =4=22：. * 由此可 UA 猜想乙2,卅解題后的恩若；割匕归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似的对 象诳行S寸比，作出归纳制断的一种科学硏究方法在中苕數学中若查类比归纳 法，皆在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线，由红织成网. 便知识有序化、系统f匕从而使学生拿握知识內在的规律気习导学屮下一讲我（门将瞬認四辺形的应用本讲內容是中垮堇点之一，如

14、特殊四 辺形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等B縣形）的性质和判定，以圧运 肩这些知识解决买际间题.中着中常比迭择题、埴空題、解答题和 证胡题諄膨式 呈现，近年的中考中文出现了开議题、应用SL阅谨理 学科闾综台题、动点间 题、折醫问题等，这些都是热点题型，应引起同学们高度关注4同步练习（答题吋间；6o分钟）屮一、选择题21.为L A.肋C的度数为(A 50Cft. 601C. 45D 3C +J如图，每个小正育形00边长是小正方理的顶点则/2如圈所示扣&心分别耒示三个村庄，AB二10M米BC=6皿米,AC二S00米 在社会主义新农村建设中，为了车富群金生活，拟建一个文化活动中心，宴求 这三个

15、村庄到活动中心的距离相奪，则活动中心F处的位貫应在()屮A. AB中点蛀B.BC中核处屮C. AC中点处D. 4；的平分线与朋的兗点处#3. 如图，长方体的长为15,宽为10,高为2山点E到点C的距离汽5,貝蚂蚁如果要沿看长方体的表而从点百爬到点 ,需要爬行的最題距篱B. 25C. 1CM + 5 D 35二、填空题赧4. 某搂梯的侧面视图如图所示其中AB二4米，二3,ZC二沁S園某种活动要求铺设红色地毯，则在曲段楼梯所铺地毯的长JB应为 卩5. 已知应AABQ的周长是4 + 4楣，斜迦上的中线长是2, ffls加二也如匡 长方体的底而辺长分别为Mrn和3cm,高为Oum 如果用一丰艮 細豪

16、从巨月FfeSl 4 i观饪滬決一圈到丄丸需妾cm.如果从点力开始经过4个 侧面麵疑圈到达点3那么所用细趺最短+ *k厂3cm屮7圏甲是我国古代著名的”赵更弦圏的示竟图*它是由四个全等的直角三角形圉成的-在RiAABC若直角辺也C=, BC二&将四个矗麹三驚理中边长为6的直 角辺分别向夕涎长一 e,得到图乙所示数学侃车则这个风车的周按（图乙中的 实线）是屮團甲图乙Js如圏，学校有一块长肓廠囿，有极少馥人为了建开拐幫走捷径3在花圃內走出了一条潞他们仅又少走了歩路（假设2歩为1米），却足采伤了花草-#29.如圈所示的圆柱体中底面圆的半径是2高九器若一貝小虫从占点出发沿着圆柱悴的侧而爬行到C点，则小

17、主爬厅的最短路程是 （结杲保留根号）-屮三、解答题10如图！卫B是:路F仃为东西走向）两旁的两个村庄！曲村到公路前距离TlClkm,方村到公路！的距离BZ） =2km,方村在卫村的南偏东4亍肓向上，屮（1）求出儿行两村之间的距离；屮（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公些汽车站R蔓求饮 车鮎到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位苴（保留渚晰的作團痕 迹，芥简要写明作陆）4秒、你热愛生命吗那么别浪贵时间/因对时间是组成生 命的M 材輯一富苣克林试题答案卢1.（2+275）米2舁3 10, 2肘十16/ （或血）【解析】由题育碍细线从廉月 开始艷过4个 侧面靈绕一圈到达点3、其最短扶度为将按亏体的四个侧面展幵即可构戚一牛 貢第辺分别为理cm和6逊的直角三角形，所以细线的最短长度应沖lOcnii 当细线经过四个侧面镰绕口闘h封诙点B的最短长度次29 H孑（或 J36+64J ） cm*4 76【解析】如图BD= J12?十 5, = 13,加=6,匸丁夙车的外围周扶7呻3打）二7如6. 2麗卩7. 解析；(1)肓法一；设於