定积分计算的总结论文

1、定积分计算的总结闫佳丽摘 要：本文主要考虑定积分的计算，对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结. 在定积分的计算中，常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿一莱市尼茨公 式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法.关键词：定义、牛顿一茱布尼茨公式、分部积分、换元.1前言H世纪后期，岀现了一个崭新的数学分支一数学分析它在数学领域中占据 着主导地位这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限 运算而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部 分析学的基础而定积分是微积分学中的一个重要组成部分.2正文那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定

2、义:设函数/（X）在恥 有定义，任给一个分法T和一组 = $,有积分和n不，若当Gt0时，积分和b（T,）存在有限极限，设*=1肿巴（V】曲亍（即4 =/，且数/与分法T无关,也与勺在卜切H的取法无关，即Ve0,非0,VT:/(T)v5,Vg = &有/)“ 一/k=则称函数/（工）在（可积，/是函数/（X）在的定积分，记为(Q/x = f其中,A=Ja与b分别是定积分的下限与上限；/（X）是被积函数；fMdx是被积表达式；x是积分变量若当/（T）tO时，积分 和b（7；）不存在极限，则称函数/在（/不可积.定积分的几何意义也就是表 示X轴，X = b与y = f（x）围成的曲边梯形的面积.但

3、是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的，这就涉及到定积分的三类 可积函数：1、函数/(X)在闭区间d,b连续，则函数/(X)在闭区间d,b可积.2、函数/(x)在闭区间有界，且有有限个间断点，则函数/在闭区间 力可积.3、若函数/G)在闭区间匕列单调，则函数/在闭区间亿方可积.在定积分的计算中，常用的有四种方法,在不同的情况下用的方法也是不同 的.一、按照定义计算定积分.定积分的定义法计算是运用极限的思想，简单的来说就是分割求和取极限以I = Cf(x)dx为例：任意分割，任意选取刍作积分和再取极限任意分割任意取生 J a所计算出的1值如果全部相同的话，则定积分存在如果在某种分法或者某种的

4、取法下极限值不存在或者与其他的分法或者乞的取法下计算出来的值不相同，那 么则说定积分不存在如杲在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积 分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取乞但是如果根据上述三类可 积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作匕切的 特殊分法，选取特殊的乞，计算出定积分.第一步：分割.将区间匕对分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式巾=下,那么分割点的坐标为(。,0) , (。+/?,0), ( +2/7,0).( + (-1)/2,0), (b,0),気在 弘2订上任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的豪，即左端点，右端 点或者中点经过分

5、割将曲边梯形分成n个小曲边梯形我们近似的看作是n个小 长方形.第二步：求和.计算n个小长方形的面积之和，也就是工fd .第三步：取极限那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长 方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.例1、用定义法求定积分xdx.解：因为f(x) = x在0,1连续所以f(X) = x在0,1可积n-x2/厂/?-22将0,1等分成n个小区间，分点的坐标依次为0h2h./v(x) = w(x)v(x)| - v(x)f/l(x)例3、求定积分jjn xdx.解 in xdx = x In x| - j xd In x =

6、 21n2-0-x| = 2 In 2 -1四、定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公 式计算.一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法 求原函数的过程中也相应交换积分的上下限，这样可以简化计算.公式：若函数/在区间心连续，且函数X = cp(t在久戸有连续导数， 当atp, a(p(t)b贝lj:f(x)dx = = J： f证明： f(x)clx = F(x)|： = F(b) 一 F(a)f / 卩 b 山=F 卩 a) = F 卩(0)卜 F 0(a) = F(b) - F(a) 即=f 卩 b a)/这个公式有两种用

7、法：(1)、若计算fWdx 、选取合适的变换x = 0(f),由a,b通过” = 0(/), a =(p(t)分别解出积分限0与& ； 、把 x =(plt)代入 jxdx 得到;、计算例4、计算定积分：如_皿。解：设x = asinf 有dx = acostdtx = o 时，r = o; x = a 时，t =2匸曲心K+宁）sin 2t, 2 兀=a04、计算g（，其中曲）=/滋）处） 、把g（f）凑成/刃）0的形式； 、检査x =（pt）是否连续；、根据&与0通过x = 0（f）求出左边的积分限a,b；6计算.例5、计算定积分, 5-x21解: 令 J、-4t = x ,贝!jr =

8、-_ , dt = -xdx42当/=一 1 时，x = 3;当/= 1 时，x = l所以原式=（一一人）厶=一一x 22 3上面这四种方法就是定积分计算中最常用的四种方法，本文通过举例分析定积分的几种计算方法，来体现定积分的计算定积分的计算类型很多，要熟练地 进行定积分的各种运算，就要对定积分的运算技巧不断熟悉和掌握其实，在实 际计算中，遇到的题目不一样，用的计算方法也不一样定义法一般不常用，计 算起来比较困难，所以一般不会用定义法计算常用的就是其他三种，即牛顿-莱 布尼茨公式，分部积分法和换元积分法.在这三种方法中，牛顿-莱布尼茨公式比较常用，通过连续把定积分转换成 为不定积分再迸行计算即可但是转换成为不定积分后，有的被积函数不能直接 用现成的公式计算，那么就要用不定积分的分部积分或者换元积分法求出一个原 函数再代入上下限进行计算，就复杂化T.因此，如杲被积函数连续且可以用公 式直接求出原函数，那么就用牛顿-莱布尼茨公式进行计算如果不能直接用公式, 那么为了简单化，就看被积函数是否可以用分部积分或者换元积分法，如杲可以, 那么就选择分部积分或者换元积分法直接进行计算.3参考文献1 刘玉琏.数学分析