可逆矩阵的求法

1、可逆矩阵的求法摘要：我们在书本上学习了用初等变换法和伴随矩阵法求逆矩阵，下面我们将再介绍3种求逆矩阵的方法：（1）二阶矩阵的公式求逆法（2）利用解线性方 程组求逆矩阵（3）分块法求逆矩阵。目录：1、矩阵的引入 LLLLLLLLLLLLLLLLLLL （ 2）2、矩阵的定义 LLLLLLLLLLLLLLLLLLL （ 2）3、可逆矩阵的定义 LLLLLLLLLLLLLLLL （ 2）4、可逆矩阵的性质 LLLLLLLLLLLLLLLL （ 3）5、可逆矩阵的求法 LLLLLLLLLLLLLLLL （ 3）（1）伴随矩阵法 LLLLLLLLLLLLLLLLL （ 3）（2）二阶矩阵的公式求逆法 L

2、LLLLLLLLLL （ 4）（3）初等变换法 LLLLLLLLLLLLLLLLL （ 4）（4）利用解线性方程组求逆矩阵LLLLLLLLL （ 5）（5）分块法求逆矩阵LLLLLLLLLLLLLLL （ 5）一、矩阵的引入 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标的转轴（反时针方向转轴） 那么平面直角坐标变换的公式应为x x1 cos y1 sin ,y x1 sin y1 cos .其中 为X轴与Xi轴的夹角。显然新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的 2 2 数表cos sin sin cos2）表示出来。通常，数表（ 2）称为坐标变换（ 1）的矩阵。在空间的情形，保持原

3、点不动的仿射坐标系的变换公式有Xa11 X1a12 y1a13 z1ya21 X1a22 y1a23z1（ 3 ）za31X1a32 y1a33z1同样，数表a11a12a13a21a22a23（ 4 ）a31a32a33称为坐标变换（ 3）的矩阵、矩阵的定义由数域F上的sn个数aij （ i1,2丄,s; j 1,2,L ,n ）排成的s行（横的）na11 K列（纵的）数表 M Oas1 La1nM称为数域F上的一个s行n列矩阵，简称s n矩阵asn三、可逆矩阵的定义对于n阶矩阵A，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵 或非奇异矩阵） ，或 A 可逆。称 B 为 A 的逆矩

4、阵。四、可逆矩阵的性质1）若A可逆，则A的逆矩阵A1也可逆，并且（A1） 1=A2）若A,B均可逆，则AB也可逆，并且 AB 1 B 1A 13）若A可逆，则A也可逆，且（AT） 1 （A 1）T14）若A可逆，则A1 A o5）若 A 可逆，则（kA） 1 k 1A 1 o6）若A可逆，则（A ）AaAn KM OAn L五、可逆矩阵的求法（1）伴随矩阵的求法：印1Ka1nMOM中元素aj的代数余子式，矩阵an1Lann定义：设Aj是矩阵AA）1M称为A的伴随矩阵由行列式依行（列）展开公式可得AA A AAI若A可逆，则A1 10，于是A（囚A）（囚A）A I，所以AAA例1 设1 2 3A

5、 2 2 1，判定A是否可逆，若可逆，求 A1。3 4 3解：因为A 20,所以A可逆，又An 2,人23,人32,阳 6,他 6,2641-365 =22 2 2A232, A314, A321 15,A332，所以 A 1 PA AAn(2)二阶矩阵的公式求逆法:ad be 0,即 A 0)， 则dAe|Ab|A a A这个公式的推到思想是从A1A I这个重要结论出发，构造一个矩阵 B,去左乘A使其等于单位矩阵A，即若AB=I那么A1 B。这种方法只适用于求二阶矩阵 的逆矩阵。(3) 初等变换法:这是一种最常用的方法，为了看出如何用初等变换法求逆矩阵， 先证一个引 理:可逆矩阵的行简化阶梯

6、形矩阵一定是单位矩阵，换句话说，可逆矩阵可以经过-一系列初等变换化成单位A初等列变换IIA 1。例2012求A114的逆矩阵。2100121 00解:因为(A, I)1140 102100 0111401032(3) ,1 2(1)012100038021矩阵，即(A,I)初等行变换I ,A1140101,2-3 1( 2)012100 ()2100011021102 3(1) , 1 3(1)012100002321100211.3( 201042120 02 32 1100211010421310 0 1 122所以A1(4) 利用解线性方程组求逆矩阵若n阶矩阵A可逆，则A1A I，于是A

7、1的第j列是线性方程组的AX j的 解，j 1,2,L ,n因此我们可以去解线性方程组 AX ，其中(db丄，bn)T ,然后把所得的解的公共式中b1,b2,L ,bn分别用1，0,0; 0，1，0; 0,， 0,1代替，便可求的A 1的第1,2,n列。这种方法在某些时候可能比用初等变 换法求逆矩阵稍微简单些。(5) 分块求逆法当一个可逆矩阵的级数较大时，即使用初等变换法求它的逆矩仍然计算量较 大，如果把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵则可减少计算量，用分块求逆法解题的具体步骤为：根据所给矩阵A的特点分块为AAnA12选择适当的分块求逆公式设A, B,A,A2丄，As均可逆；则A101AOA 1A CO,10 BAA10A1CB 1A1CA 100BB 1CA 1B 101AB 1CA 1B 101A0B 1BCA 10JB0A 10AsAsAiNAsNA10A1B1 1A 1CB 15200设4阶方阵21