2014年湖南省高考数学试卷(理科)T

1、2014 年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）z+i1（ 5 分）（2014?湖南）满足z =i(i 为虚数单位 )的复数 z=（ B）A 11iB111111i2+2 iC + iD 222222解答： z+i- i=- i(1+ i)=- i+1=11z=i， z+i=zi，即 z=(1- i)(1+ i)22 i ，故选 B 1- i2点评： 本题主要考查复数的计算，比较基础2（ 5 分）（2014?湖南）对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为

2、P1，P2， P3，则（ D ）=P P3B P =P PC P =P P2D P =P =PA P1 223113123解答： 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个数被抽中的概率都是相等的，即 P1=P2=P3，故选 D 点评： 本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础3（ 5 分）（2014?湖南）已知f( x)， g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f( x)- g(x)=x3+x2+1，则 f(1)+ g(1)=（ C ）A - 3B - 1C 1D 3解答：由 f(x)- g(x)=x3+x2+1，将所有 x 替换成 -

3、x，得 f(- x) - g(- x)= x3+x2+1，根据 f(x)=f(- x)，g(- x)= - g(x)，得 f(x)+g(x)=- x3+x2+1，再令 x=1，计算得， f(1)+g(1)=1 故选 C点评： 本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下， 做题应该没有什么障碍 本题中也可以将原代数式中的 x 直接令其等于 - 1 也可以得到计算结果1x- 2y)5 的展开式中 x2 y3 的系数是（A）4（ 5 分）（2014?湖南） (2A - 20B - 5C 5D 20解答： 由二项式定理可知：r1(-1

4、x- 2y)的展开式中 x2y3 的系数，所以r=3，所求系数为：Tr+1= C ( x) 5- r2y)r，要求解 (55223123故选 A C( ) (- 2) =- 2052点评： 本题考查二项式定理的通项公式的应用，基本知识的考查5（ 5 分）（2014?湖南）已知命题p：若 x y，则 - x - y；命题 q：若 x y，则 x2 y2，在命题 pq； p q； p（ q）； （ p） q 中，真命题是（C ）A B C D 解答： 根据不等式的性质可知，若x y，则 - x - y 成立，即 p 为真命题，当x=1，y=- 1 时，满足 x y，但 x2 y2不成立，即命题q

5、为假命题，则 pq 为假命题； p q 为真命题； p（ q）为真命题； （ p） q为假命题，故选C点评： 本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p， q 的真假是解决本题的关键，比较基础6（ 5 分）（2014?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t 2， 2，则输出的S 属于（D）2014 年湖南省高考数学试卷（理科）A 6， 2B 5， 1C 4， 5D 3， 6解答： 若 0 t2，则不满足条件输出 S=t-3- 3， - 1，若 - 2 t 2，则满足条件，此时t=2t2 +1(1， 9，此时不满足条件，输出S=t 3(- 2， 6，综上： S=t- 3-

6、 3， 6，故选 D点评： 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础7（ 5 分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（B ）A 1B 2C 3D 4解答： 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则 8- r+6 - r=82+62 ， r=2故选 B点评： 本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题8（5 分）（ 2014?湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产

7、总值的年平均增长率为（）A p+qB (p+1)( q+1) - 1C pqD (p+1)( q+1)- 122解答： 设原来的生产总值为a，平均增长率为 x，则 a(1+p)(1+ q)=a(1+ x)2，解得 1+x=(p+1)( q+1) ，即 x= (p+1)( q+1)- 1，故选： D点评：本题主要考查指数幂的计算，根据条件建立条件关系是解决本题的关键，比较基础29（ 5 分）（2014?湖南）已知函数f(x)=sin( x- )，且3 f(x)dx=0，则函数 f(x)的图象的一条对称轴是（A）057A x= 6B x=12C x=3D x=622233解答： 函数 f(x)=s

8、in( x- )， 3 f(x)dx=- cos(x- )| 3cos-=- cos(-)- - cos(- )=2sin = 3cos(+ )=0 ， +6003265，kZ，即 =k+，kZ ，故可取 = ， f(x)=sin( x-)令 x-，求得x=k+ ，kZ ，则函数 f(x)=k+33=k+623325的图象的一条对称轴为x=6 ，故选 A 点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin( x+ )的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题2 / 102014 年湖南省高考数学试卷（理科）x110（ 5 分）（2014?湖南） 已知函数 f(x)=x2+e - 2( x0)

9、 与 g(x)=x2+ln( x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A (- ， 1 )B (- ， e)C (-1 ， e)D ( - e， 1 )eee解答： 由题意可得：存在x002 x0-10x0-10 2- ln( - x0(-， 0)，满足 x +e2=(- x ) +ln( - x +a)，即 e2+a)=0 有负根，x01x1 当 x 趋近于负无穷大时，e -2- ln(-x0+a)也趋近于负无穷大，且函数f(x)=e -2- ln( - x+a)为增函数，1 f(0)=2- lna 0， ln a lne， a e， a 的取值范围是 (- ， e)

10、，故选 B 点评： 本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大二、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，满分 10 分）（一）选做题（请考生在第11,12,13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11（ 5 分）（ 2014?湖南） 在平面直角坐标系中，倾斜角为x=2+cos的直线 l 与曲线 C：(为参 数 )交于 A，B 两点，4y=1+sin 则 |AB |=2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 则直线 l 的极坐标方程是(cos- sin )=1x=2+cos2)2+(y-1)2

11、=1，表示以 (2，1)解答： 设倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=x+b，曲线 C：(为参 数)，即 (x-4y=1+sin 为圆心、 半径等于1 的圆由于弦长 |AB |=2，正好等于直径， 故圆心 (2，1)在直线 l 上，故有 1=2+b，解得 b=-1，故直线 l 的方程为y=x- 1，即 x- y- 1=0 再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得cos- sin- 1=0，即(cos- sin)=1 ，故答案为(cos- sin)=1点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题12（ 5 分）（ 2014?湖南）如图3，已知 AB， BC 是 O 的

12、两条弦， AO BC， AB=3，BC =22，则 O 的半径等于1.5解答： 设垂足为D， O 的半径等于R，则 AB， BC 是 O 的两条弦， AO BC， AB=3， BC=22， AD=1， R2=2+( R 1)2， R=1.5故答案为 1.5点评： 本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题5113（ 2014?湖南）若关于x 的不等式 |ax- 2|3 的解集为 x|- 3x3 ，则 a=- 3解答： 显然， a=0 不满足条件当 a0 时，由关于 x 的不等式 |ax- 2| 3 可得 - 3 ax- 23，解得 - 1 x 5，aa3 / 102014 年湖南省

13、高考数学试卷（理科）-15再根据的解集为 x|-51a=-351， a 无解3x3 ， a=3当 a0 时，由关于x 的不等式 |ax-2| 3 可得 - 3 ax- 23，解得5 x -1，aa55再根据的解集为 x|-51a=- 3，解得 a= 3，故答案为 33x3 ， 1 1- a=3点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题（二）必做题（14-16 题）yx14（ 5 分）（ 2014?湖南）若变量，且 z=2 x+y 的最小值为 - 6，则 k= - 2 x，y 满足约束条件 x+y 4y k解答： 作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由 z=2

14、 x+y，得 y=- 2x+z，平移直线y=- 2x+z，由图象可知当直线y=- 2x+z 经过点 A 时，直线 y=- 2x+z的截距最小，此时z 最小目标函数为2x+y= 6，2x+y=- 6x=- 2由，解得，y=xy=- 2即 A(2， 2)， 点 A 也在直线y=k 上， k=- 2，故答案为 - 2点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15（ 5 分）（ 2014?湖南）如图4，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为a， b(a0)经过 C， F 两点，则b= 1+ 2aaa解答： 由题意可得 C(， - a)， F( +b， b)

15、，22a(- a)2=2p?将 C， F 两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px 中，得2a，b2=2p( +b)2 a 0， b 0，p 0，两式相比消去p 得 a2=1，化简整理得a2+2ab- b2=0 ，ba+2 b此式可看作是关于a 的一元二次方程，由求根公式得a=- 2b8b2=(- 1 2)b，2b1取 a=( 2- 1)b，从而 = 2+1 ，故答案为 2+1a2- 1点评： 本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C， F 的坐标，接下来是消参，得到了一个关于 a， b 的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算16（ 5 分）（ 2014?湖南）在平面直角坐

16、标系中，O 为原点， A(- 1，0) ，B(0，3)， C(3， 0)，动点 D 满足 |CD |=1，4 / 102014 年湖南省高考数学试卷（理科） 则 |OA+OB+OD |的最大值是1+ 7 解答： 由题意可得，点D 在以 C(3 ，0)为圆心的单位圆上，设点D 的坐标为 (3+cos， sin)， (3+cos )2+(sin + 3)2 = 8+4cos+2 3sin则 |OA+OB+OD |= 4cos+2 3sin的最大值为 16+12=2 7， |OA+OB+OD |的最大值是 8+2 7= 7+1，故答案为 7+1点评： 本题主要考查参数方程的应用，求向量的模，属于中档

17、题三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分17（ 12 分）（ 2014?湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2和3现安排甲组研35发新产品A，乙组研发新产品B设甲、乙两组的研发相互独立（ I）求至少有一种新产品研发成功的概率；（ II ）若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元求该企业可获利润的分布列和数学期望【解析】（ ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件 B 为事件 A 的对立事件，则事件B 为一种新产23品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为3和523122则 P

18、(B)=(1- ) (1- )=3 =，3551513再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1 - P( B)= 15，13故至少有一种新产品研发成功的概率为15（ ）由题可得设企业可获得利润为X，则 X 的取值有 0， 120， 100，220，由独立试验的概率计算公式可得，232，P(X=120)=234P(X=0)= (1- ) (1- )=15 (1- )=，353515231232，P(X=100)= (1- ) = ， P(X=220)= =355355所以 X 的分布列如下：X0120100220P24121515552412则数学期望 E(X)=015+12015+100

19、5+2205=140点评： 本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型18（ 12 分）（ 2014?湖南）如图5，在平面四边形ABCD 中， AD=1， CD=2， AC=7（ I）求 cos CAD 的值；（ II ）若 cos BAD=-7，sinCBA = 21，求 BC 的长1465 / 102014 年湖南省高考数学试卷（理科）AC2+AD2 - CD21+7-427【解析】（ ） cos CAD=2?AD?AC=21 7=777321（ ） cos BAD =- 14 ， sin BAD =1- 196=14 ，27421

20、cos CAD=7 ， sin CAD =1- 7=7 ， sin BAC =sin( BAD CAD )=sin BAD cosCAD cosBAD sinCAD321277213= 14 7 + 14 7 = 2 ， 由正弦定理知BCACsin BAC=sin ABC， BC=AC?sin BAC =73sin ABC212 =36点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用19（ 12 分）（ 2014?湖南） 如图 6，四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的所有棱长都相等， AC? BD=O， A1 C1? B1 D1=O1

21、，四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形（ I）证明： O1O底面 ABCD；（ II ）若 CBA=600，求二面角 C1- OB1- D 的余弦值【解析】（）四棱柱ABCD - A1B1 C1D 1 的所有棱长都相等，四边形 ABCD 为菱形，又 ACBD =O，故 O 为 BD 的中点，同理 O1 也是 B1D1 的中点，又四边形ACC1A1 和四边形 BDD 1B1 均为矩形， O1O CC1 BB1 且 CC1 AC， BB1 BD ， OO 1 AC， OO1 BD，又 ACBD =O，AC ，BD ? 平面 ABCD ， O1O底面 ABCD ；（）设四棱柱ABC

22、D - A1B1C1D 1 的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形， AC BD ，又 O1O底面 ABCD ， OB， OC， OO1两两垂直，如图，以 O 为坐标原点， OB， OC， OO1 所在直线分别为x 轴， y 轴， z轴建立直角坐标系O- xyz设 AB=2， CBA=60， OA=OC=1，OB =OD = 3，则 O(0， 0， 0)， B1( 3， 0， 2)， C1(0 ，1， 2)易知， n1 =(0 ，1， 0)是平面 BDD 1B1 的一个法向量， 3x+2z=0n ?OB =0设 n2 =(x，y，z) 是平面 OB1C121，即，的一个法向量， 则 1=0

23、y+2z=02n ?OC取 z=-3，则 x=2， y=23，所以 n2=（ 2， 23，-3）设二面角C1- OB1- D 的大小为，易知 是锐角，于是：6 / 102014 年湖南省高考数学试卷（理科） 23257 |=|n1 ?n2，cos=|cos n1， n2 |=19|19|n1|?|n22 57故二面角 C1- OB1- D 的余弦值为 19 点评： 本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键20（ 13 分）（ 2014?湖南）已知数列 an 满足 a1=1， |an+1 - an |=pn， nN* （ I）若 an 是

24、递增数列，且 a1，2a2， 3a3 成等差数列，求p 的值；（ II ）若 p=1，且 a2n- 12nn 的通项公式2 是递增数列， a 是递减数列，求数列 a【解析】（ I） 数列 a n 是递增数列， an +1-an0，则 |an+1- an |=pn 化为： an+1- an=pn，分别令 n=1， 2 可得， a2- a1=p， a3- a2=p2，即 a2=1+ p， a3= p2+ p +1 ， a1， 2a2， 3a3 成等差数列， 4a2=a1+3a3，即 4(1+p)=1+3( p2+p+1) ，化简得 3p2- p=0 ，解得 p=13或 0，当 p=0 时，数列 a

25、n 为常数数列，不符合数列 an 是递增数列， p=1；3（ II ）由题意可得， |an+1n 1n，则 |a2n2n- 11n ， |a2n+22n+11n，- a |=2- a|=22 - 1- a|=22 + 1 数列 a2n- 1 是递增数列，且 a2n 是递减数列， a2n+1- a2n- 1 0，且 a2n +2- a2n 0，则 - (a2n+2- a2n) 0，两不等式相加得2 n+12n- 12n +22n) 0，即 a2n2n- 1 a2n+2- a2n+1，a- a- (a- a- a11又 |a2n-a2n - 1 |=22n- 1 |a2n+2- a2n+1|=22

26、n + 1，1 a2n- a2n- 1 0，即 a2n- a2n- 1= 2n- 1，2同理可得： a2n +3-a2n+2 a2n+1- a2n，即 |a2n+3-a2 n+2| |a2n+1 - a2n|，1则 a2n +1- a2n=- 22n，n*)，当数列 a 的项数为偶数时，令2n=2m(m N1111a2 - a1 =2， a3- a2=22， a4- a3=23， ? ， a2m- a2m- 1=22m- 1，7 / 102014 年湖南省高考数学试卷（理科）这 2m- 1 个等式相加可得，111111a2m- a1=( + 3+? +2m- 1 )- (2+4+? +2m-

27、2)22222211112(1-4m) 4(1- 4m- 1) 11=1-1= +2m- 1，33?21-41- 44 1则 a2m= 3+3?22 m- 1；当数列 an 的项数为奇数时，令2n=2m(m N* )，1， a3- a2=-11，? ， a2m+ 1- a2m=-1a2 - a1 =22， a4- a3= 32m，222这 2m 个等式相加可得，111111a2 m+1- a1=(2+23+? +22m- 1)- (22+24+? +22m)11112(1-4m) 4(1- 4m)11=1-1=3-3?22m，1-41- 44 1则 a2m+1= 3- 3?22 m，且当 m=

28、0 时 a1=1 符合，4 1故 a2m+1= 3- 3?22 m- 2，413- 3?2n- 1， n为奇数41 (- 1)n综上得， an=41 (或 an=3+3?2n- 1 )3+3?2n- 1， n为偶数点评： 本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n 项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等， 同时考查数列的基础知识和化归、 分类整合等数学思想， 以及推理论证、 分析与解决问题的能力 本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大x2 y221（ 13 分）（ 2014?湖南）如图7， O 为坐标原点，椭圆C1: a2+b2=1( ab0)

29、 的左、右焦点分别为F1， F2 ，离心率为x2y23，且 | F2e1 ；双曲线 C2： a2-b2=1 的左、右焦点分别为F3 ，F 4，离心率为 e2已知 e1 ?e2= 2?F 4|= 3- 1（ I）求 C1，C2 的方程；（ II ）过 F 1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB 的中点当直线 OM 与 C2 交于 P， Q 两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值22【解析】 ( )由题意可知， e1=1-b2，e2=1+b2，且 |F1 F2|=2 a2- b2aa e1 2 324e = 2 ，且 |F F |= 3- 122 1- b2? 1+b2= 3，且 a2+ b

30、2 - a2- b2= 3- 1aa2解得： a=2， b=1 x2x2 椭圆 C1 的方程为2 +y2=1，双曲线C2 的方程为2 - y2=1 ；8 / 102014 年湖南省高考数学试卷（理科）() 由 ( )可得 F 2(- 1， 0) 直线 AB 不垂直于y 轴， 设 AB 的方程为x=ny- 1，x=ny- 1联立x2，得 (n2+2) y2- 2ny- 1=0 2 +y2=1设 A(x1， y1)， B( x2， y2)，M( x0， y0)，2nn则 y1+ y2=n2+2 ， y0=n2+2 M 在直线 AB 上，n22 x0=n2+2- 1= - n2+2由焦点弦公式可得：

31、1? 0 2 2n242（ n2+1）|AB |=2e x + n2+2 +22=n2+2直线 PQ 的方程为y= y0x=- nx，x02n联立y=- 2x2n2x2，得 x-(-2x) - 2=0 2 - y2=14nn2解得 x2=2- n2，代入 y=-2x得 y2=2- n2由 2- n2 0，得 - 2 n 2 P， Q 的坐标分别为 (-4n24n22- n2，2- n2)， (2- n2， -2- n2)，|n?n22-41|- n?n22-42- 1|2-则 P，Q 到 AB 的距离分别为： d12- n2- n， d2=2- n2- n=n2+1n2+1 P， Q 在直线

32、A，B 的两端，2|n?n242|2+ 22- n d1+d2=2- nn2+113则四边形 APBQ 的面积S=2|AB|( d1+d2)=4 2?2- n2- 1 当 n2=0，即 n=0 时，四边形APBQ 面积取得最小值4点评： 本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题2x22（ 13 分）（ 2014?湖南）已知常数a0，函数 f(x)=ln(1+ ax)- x+2 （ I）讨论 f(x) 在区间 (0， +)上的单调性；（ II ）若 f( x)存在两个极值点 x1， x2，且 f(x1