偏微分方程与特征线

1、偏微分方程与特征线1函数空间的矢量场给定一个矢量场V = V (xh:xi ,就在空间定义了曲线簇。比如，经过x0点的积分曲线就可以描述为下列常微分方程的初值问题x1 二 v (x)， i = 1,nx =x 0这些积分曲线就构成了曲线簇。如果形式地写出这个曲线来就是x(t).t2.t3=x xt x x 2!3!2 32=(1 vt vt3 tv .)x2!3!=exp(vt)x此处x是0时刻位置，v是作用于x的微分算符。n-1这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。曲线集合的维数是 维。矢量场的可积性那么给定两个矢量场， 就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们

2、先看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从x点出发的依此沿两簇直线运动的点若能回到来，就可以认为可以组成面。即exp(ua)exp(vb)exp(uc)exp(vd)x 二 x如果a,b,c,d都是1级以上的小量，这个表达式有二级以上的精度，就可以找到这样的a,b,c,d, 使得方程精确满足。按照各级展开，有一级印 G = 0bi di = 0二级aQuv _vu)二(a2 c2)u (b2 d2)v由此，得到条件u, v二 uv -vu = : u这就是两个矢量能够构成2维子空间(曲面)的条件，著名的Frobenius定理。n个矢量积分形成n维积分只空间的条件是，任意两个矢量的对易可以

3、写成这n个矢量组合。可以按照下图进行直观理解给定m个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。组成的矢量场空间一般称为分布。丄=C avi,ai是任意函数i这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足Frobenius定理的分布称为闭分布，习他们积分可以给出 m维积分子流形。单参数李群一个矢量场可以构造单参数李群，一个闭分布可以构造李群。我们先看一下单参数李群的表现，它将1维参数空间(物理上经常是时间)，映射为群空间。群元素可以形式地写为算符形式gt =exp(vt)在表示空间中也可以写为函数变换少二(x,t)这个函数变换是常微分方程的初值问题的解：t (x.tv (x,t)(x,0

4、) -x当然这个函数满足如下关系5 sf(x)二gtgsf(x)f( (x,t s) =f(x,s),t)比如平移群ga =exp(a：x) 表示为 ga f (x) =exp( a赧)f (x) = f (x + a),再如 转动群 g.j-exp( vn (r ；r)表示为 gj(r)=exp(rn (r ；r) f (r) = f (r )单参数李群定义了参数空间和实际空间上的变换关系和函数变换关系。微分形式一个函数描述为U = f(X)二 f (Xi，,Xn)可以看做自变量空间到变量空间的映射nR R : X r U在自变量和因变量联合空间中，可以看做一个超曲面。如果给自变量微小改变

5、Xx dx，因变量也有相应的改变df = f,Xdx上面下标逗号表示求导。如果想计算某个方向的导数，仅需要将相应dx改成相应的矢量分量就可ivdf =Vifxi这就是微分形式。微分形式不再依赖坐标。因此可以认为是客观量。一般1微分形式可以描述为-：-i(x)dx不同坐标空间上的微分形式可以通过拉回映射表达出来：:M“一； Nn,y； x(y)那么Nn空间上的微分形式可以通过映射;：*拉回到M m空间上的微分形式 Y(x(y)dx(y) =(x(y)qjx(y)dyj微分形式可以与矢量作用,lv = V 因此可以将微分1形式想象成线元积分场， 给定空间某点上一个线元， 就给一个值。当然，给定一条

6、曲线，就可以给一个积分值一条曲线可以描述为一维空间 T1向n维空间Nn上的映射l :T1 Nn,t x(t)li(x(t)dxl(t)l微分形式的外积两个微分形式，二，相当与两个线元积分场。用这两个线元积分场可以构造一个面元积分 场，要求面元大小和方向固定时，这个值是不变的。要求a PQ甲iy+虚灼八日=丫 Jub灼入日1因此，（打巧一jdjdxdx二Cjdxi dxJ外微分观察微分形式沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的积分值，这可以定义为无穷小 面元上的函数（2微分形式）押=仃血=J 阿,jdx1 /dxjal Q Q=j,idxdxjk形式对微分形式进行外积或者外微分都可以变成2形式，

7、3形式，ooo对于m微空间，可以证明，最高阶是m形式。微分形式的可积性很明显，如果二df，那么有d = 0一个问题就是如果 - df ,那么能否有 =adf ,很明显-二 o也就是说，如果微 分形式沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的面元积分场是由原来的面元积分场合成的，这个线元积分场就可以写成全微分乘以一个因子形式。另一个问题是给定一些微分形式= 1,n，能否判定任意一个微分形式的外微分可以表达为这些微分形式的组合形式?答案是：d八 n - 0可以很容易证明这个表达式 将=1,., n扩充后，形成余切空间 TM *的完备基 j -, ： -1,n,二-1,., m - n那么-一才 匚可以

8、肯定： ? - -0，这是关于 的线性方程,由于餌日P独立，这个方程只有0解。因此dr-” 我们再看能使=1,n拉回到0的映射:,n : M m，使得上式成立呢?这就是 Frobenius定理的另一种描述，当任意 二，都有: N m Mm，将芥宀-1,., n推回到 0.其实dv-.l v 一就很能说明问题，几何上讲，绕任意无穷小回路对求和后，都可以表达为芥厂=1,.,n的组合形式。因此，使得某点的丁=1,., n为0的切向场，也可连续延拓到别处。这样的切向量场的积分曲面就是映射形成的曲面。表达为V =v:iv - 0 -1,.,n在V中，可以找到相互对易的m-n个矢量w：.,=1,.,m -

9、n，映射可以形式地表示为:N m * ； M m； x( ) = exo( -w.)x很明显毋*尸=0年(x(九)df) =8年(x)x)沖d沪=8(xa)Wa(x3)dh8=0这些矢量w：.,=1,.,m-n就构成了方程八-0=1,., n的特征矢量。微分形式组成的理想如果给定生成元=1,n，我们将|二一是任意形式，包括 0形式a成为生成元生成的理想。很明显任意形式（包括函数，0形式），只要和理想中的元相乘（外积），都会变成理想中的元素，即，I。这和常讲的理想意义差不多。借用理想概念Frobenius定理表达为一个外微分理想I的具有最大零化子空间的条件是dl I偏微分方程（组）表达为F（u,

10、x,Ux,Uxx，），可以理解为函数偏导数的约束关系。Hamilton 力学H =q p- L（q,q,t）P 二-：qHq =pHH = -.t L比如流体（固体）方程:t、（ v） = 0:t（v）、C vv - d = 0，其中 u = ;?, u, E1 2 1 2：（v : E） （ v，E）v - d v） = 0再加上本构方程和状态方程才会封闭。电磁学 Maxwell方程 D B = 0.，其中 u= B,El H - ：tD = j、E B = 0或者在真空场写为 j即名嘟F涉=0F，.A:. Ai，其中 u = A = , A加上电磁学本构和电流方程才会封闭。量子力学的薛定谔

11、方程i I -(2 V(r)*，其中 u2m相对论电子运动的狄拉克方程(i=0刘维尔方程；亠q-d 亠 P：p=0：、H ： ： 一 - qH 一： p=0i H,订相对论电磁学L = m0c2/ J 匕 I +ev，A _e 2丿H =mc2/ -匕丨 +e毋=e亠、m：c4 c2( p _ eA)22c (p _eA)v 二c4 c2(p _eA)2Jm0c4 +c2(p _eA)2 p 一e- c2e(p-eA)A2,mo切触空间为了从几何上描述偏微分方程的意义我们定义切触空间。 我们定义：自变量x的空间称为域空间 D自变量x，因变量u构成的空间称为图空间 G自变量x，因变量u，和因变量

12、对自变量的导数p，构成的空间x,u,p叫做切触空间K。切触空间是对图空间的拓展。带来一些自然结构，即切触形式C Jdu pcbxl任何函数:M ； G, ； (x,u)，扩充为到切触空间的映射门:M K , 一 (x,u, p)都会满足切触关系 C =0这样，一阶偏微分方程组描述为* iPE =F (x ,u , pi ),du - pi dx 如果一个映射满足 G * PE = 0，这个映射就是 PE = 0的解。 同样地可以定义高阶切触空间C：二 dU： -p/dX，=dppjdxJ高阶偏微分方程表示PE 二F &u：, Pi：,pj,)方程解是满足:* PE =0的映射。一阶偏微分方程(

13、组)的特征线一阶偏微分方程PE = F (x,u, p),du - pdx为了寻找它的解法，我们寻找合适的微分形式，对函数微分，得到PEi 二F,F,xdx F,udu F,pdp,du - pdx很自然地想到微分形式组合的特性矢量，就是w：iwPEj =0的矢量。这里有一个问题需要解决，PEi封闭吗？也就是说是否满足 dPEi I (PEJ ？很明显ddF =0，但是二dC二dx dp并不在理想中，因此 w：iwPE0的矢量，有可能不能够积分出一个子空间来，因此不是偏微分方程的解。PE? =F , F,xdx + F,Udu +F,pdp,du pdx, dx a dp是封闭的，定义I (P

14、E) =I (F , F,xdx + F,udu + F,pdp,du pdx,dx a dp)w:iwI(PE I (PE)的矢量就是偏微分方程的特征矢量，它们的积分组成偏微分方程的解。我们考虑只有一个因变量情况H (x，, u, 口)= 0的偏微分方程的I (PE) = I (H , H ,xdx + H,udu + H,pdp,du - pdx,dx dp)设w=arpi bru c，:xi是上述理想的特征矢量因此，iw(dx， dpj 二-aidxi c，dp,，可以描述为Hxdx + H,udu + H,pdpdu _ pdx线性组合的形式。消去du的项，得到，H,xidx + H,

15、uPidx +巴起卩,ai = -(H xi + H ,u Pi)因此可以选.，再有 iw(du - PjdxJ = b - pl = 0，得到 b = PjH pid=H,Pi，i因此 w = (H,xi +H(Pi 疋卩 +H,pi + Pi H u因此特征线可以采用常微分方程积分p =_(H * +H,uPj 二 H ru = p H Pi如果u当成作用量，H当成Hamilton量，x粒子位置，p粒子动量，这正是经典粒子运动方程。李导数一个由矢量v =vbxi形成的单参数李群可以表述为M mT M m的映射，也是 Rt M m的映射:(t, x) )xt =exo( vt)x。对于一个函

16、数f (x)，这个映射可以将其拉回到* f (xj，即 * f (xt)二 e)p( vt) f (x)二 f (exp( vt)x) ，后者可以方便地用算符运算验证exp(vt) f (x)二 exp(vt) f (x)exp(-vt)1 二 f (exp(vt)xexp(-vt)1 二 f (exp(vt)x)我们计算函数的无穷小变换即李导数L/严咆)丫)一心)7(厲也就是说，函数的李导数就是其方向导数对于微分形式:： idxi，*- i(xt)dxt 一 i (exp( vt)x)d (exp( vt)x)i(exp(vt)x)d(exp(vt)x) 7(x)dxt(x vxt)d (x

17、 vxt) -，i(x)dxt=(ivd 打)dx】jdv二 iv(d 打 dx) d(，) = ivdndiv，= (ivd div) 这个公式也可包含前一个，只要认为ivf =0就可以了，因此Lv =ivddiv可以证明，李导数满足莱布尼兹法则Lv(；r 八：)=Lv，L接着我们推导矢量场的李导数i .U 二 U : ixx点上，映射是在Xt处的矢量要与 x处的矢量比较，首先必须通过映射将其映射到x Xt = exo( vt)x，这个映射诱导的映射只能将x处的矢量推向xt。因此采用这个映射的逆映射将xt处的矢量推向x。: xt = exo( -vt)xtLvUt- U(x)Ui(x vxt

18、)：xi(t)xj-d(x)：xitvj ；：xjUi -Uj ；：xjV 二U,v微分方程的对称性对于在切触空间中微分形式理想I表达的微分方程，如果存在坐标变换(映射)使得I不变,这个变换就是微分方程的对称性。我们考虑一种连续变换， 它形成单参数李群，写为t：K 一； K,(x,U,p)； (exp(Vt)x,exo(Vt)U,ex3(Vt)p)其中V =Vl：xi表示切触空间中的矢量。xU 亠Pi因此我们需要研究这个的无穷小变换将微分形式如何改变。实际上如果I的李导数仍然属于I就可以保证李变换是微分方程的对称变换。C Jdu Jpx，LvC：SC （ivd div）C： = 4/9岸 dx

19、） d（V ： 一 pV）=W% NdpjJdW JpV）心 +dV。pdV，AC ： = Adu ： - A. pi dxi对比dp, du ：,dxi的系数，可以得到铲p陀捫=0；：M -pV）二 AM ：i（v：抽）心约去系数A,Vi ：1（V： - pV） I Q - pWpIdm - p；Vj）附Jp陀M =0由上式兼容性，可以得到 vv 与Pj：的依赖关系写为兼容性条件是九j（v ： - p：v）二- ：:3 = jkV -因变量数目大于i时，选：二 ，有o二-.：ivk，再代入前公式 W = 0。也就是说 在因变量数目大于 1时vW 仅是（x,u）的任意函数，而V/ -DjG- Pj：Vj）。对于只有一个因变量情况：kvj = -*Vk，这表明訂（V1 - pW）二-vj令二