三角函数中辅助角公式的应用

1、 料推荐辅助角公式在高考三角题中得应用对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosxa 2b2 (sin xab2cosxb) 。a 2a2b2上式中的a与b的平方和为1，故可记ab=sin ，a2a 2a2=cos ，a2b2b2b2b2ya2b2 ( s i xn co s c o sx si n )则a2b2 s i nx()。由 此 我 们 得到 结 论 ： asinx+bcosx=a2b2 sin( x ) ，（ * ） 其 中 由absin来确定。通常称式子（ * ）为辅助角公式，它可以将多a2cos ,a2b2b2个三角式的函数问题，最终化为

2、y=Asin( x)+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一 . 求周期例 1求函数 y 2 cos( x) cos( x)3 sin 2x 的最小正周期。44解： y 2 cos(x) sin( x)3 sin 2x44sin(2x)3 sin 2x23 sin 2xcos2x2 sin(2x)6所以函数y 的最小正周期T= 。评注：将三角式化为y=Asin(x)+k 的形式，是求周期的主要途径。二 . 求最值例 2. 已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x。若 x 0, ，求 f(x) 的最大值和最小值。21 料推荐解： f(x)

3、=(cos 2x+sin 2x)(cos2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2 sin( 2x) 。4由 0 x2 2x4 3。44当 2x，即 x=0 时， sin( 2x) 最小值2 ；4442当 2x3时 sin(2 x) 取最大值 1。2，即 x484从而 f(x) 在 0, 上的最大值是1，最小值是2 。2三 . 求单调区间例 3.已知向量 (2 cos x ,tan(x4) ， ( 2 sin( x) ， tan( x) ，令a22b2 424f (x ) ，求函数 f(x) 在 0， 上的单调区间。a b解： f ( x) ab22 cos x sin( x

4、)tan(x4) tan( x4)22422x2x2x1tan xtan x12222 cos(sincos)x222221tanx1tan222 sin x cos x2 cos2 x1222sin x cosx2 sin( x)。4先由 0 x x 5。444反之再由 x0 x； x4 5 x 。4424244所以 f(x) 在 0，4 上单调递增，在 ， 上单调递减。4评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin( x+)+k 的形式，是求单调区间的通法。2 料推荐四 . 求值域6k16k1例 4. 求函数 f ( x

5、) cos(2x) cos(2x) 2 3 sin(2 x)333( xR,kZ ) 的值域。解：f ( x) cos(2k2x)cos(2k2x) 2 3 sin(2x )3332cos(2x ) 23 sin(32x )34sin(2x ) coscos(2x) sin36364sin(2x)。2所以函数 f(x) 的值域是 -4， 4。五 . 图象对称问题例 6. 如果函数 y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么 a=()8（A） 2（B）2（ ）（D）-1C 1解：可化为 y1a2 sin(2x )。 知 x时， y 取得最值 1a2，即8sin 2()a cos2(

6、) 1 a2882 ( 1a) 1a221(1a)21a22a 22a10a 1 选（ D ）。六 . 图象变换例 7 已知函数 y1 cos23 sin x cos x 1, x R。该函数的图象可由y sin x( x R) 的22图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解： y13(1 cos2x)sin 2x 1443 料推荐1(sin 2 x coscos2 x sin526)641 sin(2x)5 。264可将函数y=sinx 的图象依次进行下述变换：（1）向左平移，得到 y=sin(x+)的图象；66（2）将（ 1）中所得图象上各点横坐标变为原来的1 倍，纵坐标不变，得y= sin(

7、 2x) 的26图象；（ 3）将（ 2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的1 倍，横坐标不变，得y= 1sin(2x+)226的图象；（4）将（ 3）中所得图象向上平移5 个单位长度，得到y= 1sin(2x+)+5 的图象。4264综上，依次经过四步变换，可得y= 1 cos2 x3 sin x cosx1 的图象。22七 . 求值例 8. 已知函数 f(x)=3 sin 2x +sinxcosx 。设 （ 0， ），f( )=13，求 sin 的值。242解： f(x)=3 (1cos2x)1 sin 2x =sin ( 2x)3。2232由 f( )=sin()313 ，23242得 si

8、n(3)= 1 。又 （ 0， ）3(, 4) 。433而 sin3 1，故 +( , ) ，则cos( +)=15。3243234sin =sin ()=sin () coscos() sin333333= 1 1(15 )3= 1 3 5 。42428评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sin 时，巧用凑角法： =（ +） -，并且判断出 +的范围，进而求出cos(+)的确切值，使整个求值过3333程方向明确，计算简捷。4 料推荐八 . 求系数例 9. 若函数 f(x)=1cos2xasin x cos(x ) 的最大值为2，试确定常数a 的值。4sin(x )222解： f(x)=2 cos2 xa sin x cos x4 cosx221a=cosxsin x22=1a2sin( x) ，44其中角由 sin1a来确定。=, cos1a21 a2由已知有 1a24 ，解得 a=15 。44九 . 解三角不等式例 10. 已知函数 f(x)=sin 2x+sin2x ， x0,2 ，求使 f(x) 为正值的 x 的集合。解： f(x)