椭圆与双曲线常见题型归纳知识讲解

1、椭圆与双曲线常见题型归纳一曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系 ”的综合型试题的分类求解1向量综合型例1在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,.3),(0, .3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C,直线y kx 1与C交于A, B两点。(I)写出C的方程;uuu(n)若 OAuuuOB，求k的值。例1.解:(I)设P (x, y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,、,3),(Q.、, 3)为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴b _22(；3)21 ,2故曲线C的方程为x21 .42()设 A(x,yi), B(x2,y2)，其坐标满足x2冷1,kx 1.消去y并整理得(k24)x22kx 3

2、 0,故 x-ix2uuu 若OA2k kF uuu OB，即3k2 4X1X2yiy2而ymk2x1x2k(xi X2)曰是也y23k243k22k2k2 4化简得 4k210，所以kx2例2 .设&、F2分别是椭圆41的左、右焦点.(I)若P是该椭圆上的一个动点，求unr ujluPF1 PF2的最大值和最小值；(n)设过定点 M (0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点I的斜率k的取值范围B，且/AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线例2.解：(I)解法一：易知 a2,b1,c.3所以 F13,0 ,F2 .3,0，设P x, y，则uuir uuunPF1 PF2出 x, y ,.3x

3、, yx2y2 3UUU因为x 2,2，故当x 0,即点P为椭圆短轴端点时，PF1uuuaPF2有最小值 2UULTP为椭圆长轴端点时，PF1uuuuPF2有最大值1解法二二：易知a2,b1,cUULTUUUUUULTuuuuPF1PF2PF1PF2cos、3，所以F1F1PF2当x 2，即点.3,0 ,F2 x3,0，设 P x,y，则uuur uuuuPF1 PF2uuur 2PF1uuuu 2F1F2Uuu-uuuU2PF1PF23 （以下同解法一）uuuu 2PF2.3x .3y212 x联立- Xi又00显然直线y2 x4X24kkx4kk2A0Buun0不满足题设条件,可设直线l:

4、ykx 2,A xny2 ,BX2, y2，消去X2整理得:3.2 1 k44k2k2x2 4kx 30 得:900cosA0BuuuOAuuuOBuuu- OA OB x1x2y2 0kx-) 2kx2 2,2k X1X2 2k 为X23k2.2 1 k4k28k14k2 J4k2321k4k20，即 k24故由、得例3.设F1、F2分别是椭圆41的左、右焦点,B(0,1) UULU(I)(n)(出)P是该椭圆上的一个动点，C为椭圆上异于B一点，且P是该椭圆上的一个动点，求uultPF1 PF2的最大值和最小值；BF1CF1，求的值；PBF1的周长的最大值.例 3.解：（I）易知 a 2,b

5、1,c盏馋峯含乜, 所以 f173,0 , f2 J3,0x,yuuirPF1Ph.3 x, y , ,3 x, yx2y23 xx 2,2，故当x 0,即点P为椭圆短轴端点时，uur uuun2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值(n)设 c( x。, y。), B(0, 1) F1 73,0因为BF,xo.3(1),yo2670解得2p X。2又y047(10舍去)(出)因为 |PF11+ |PB|= 4- |PF2|+ |PB|W 4+ |BF2|.|B F11 b 0 )的离心率eb2兰，过点A(0,3-b)和B (a, 0)的直线与原点的距离为(1) 求椭圆的方程.(2)

6、 已知定点E (-1, 0),若直线y = kx+ 2 ( Q 0)与椭圆交于 C、D两点.问：是否存在 k的值，使以CD为直依题意a3ab解得a 3,3b 1a2 b22椭圆方程为x2213 y 1 4分径的圆过E点？请说明理由.例5.解析：(1)直线AB方程为：bx-ay-ab = 0.c . 6(2 )假若存在这样的k值，由kx 2,y3y2得(13 0Si223k ) x 12kx 9(12k)2 36(1 3k2)0 .X1X212k1 3k2，X19X2 “亠213k设 % , yj、D(X2, y2)，则 8分而 y1 y2 (kx1 2)(kx2 2) k x1x2 2k(4x

7、2) 4 .要使以CD为直径的圆过点E ( -1 ,0 ),当且仅当CE丄DE则亠土x-i1 x2 1yy (为 1)(x21)0. 10分(k2 1 )x1x22(k 1)(x1 X2) 5 0.将式代入整理解得 k 7 .经验证，k 7，使成立.6 613分综上可知，存在 k 7，使得以CD为直径的圆过点 E . 62.“中点弦型”2 2例6.已知椭圆-1 ,试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同43两点关于直线y 4x m对称。例 6.解：设 A(X1, yj, B(X2,y2), AB 的中点 M(x0,y) , kAB 亚一 x2 x-i22222222而 3X1 4y112,3X24

8、y2 12,相减得 3(x2 捲)4( y?y1 ) 0,即 y1 y3(X1X2),y3X0,3X04X0m,X0m,y3mm29m2而M(X0,y)在椭圆内部，贝U 1,即m 431313例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率e . 3，焦距为2. 3 (I )求该双曲线方程.(II)是否定存在过点P (1 , 1)的直线I与该双曲线交于A , B两点，且点P是线段AB的中点?若存在，请求出直线I的方程，若不存在，说明理由2例 7. (1) x2 乙 12(2)设 A(xyj, B(X2, y2)，直线:ykx1 k，代入方程x22y-1得22 2 2(2 k )x 2k(1

9、 k)x (1 k)则冬xi斗！ 1，解得k22 k此时方程为2x24x方程没有实数根。所以直线I不存在。例&已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(0,2柩),F2 (0, 2y2 ),且离心率2、2。3(I)求椭圆的方程;(II)直线I (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点1A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线I倾斜2角的取值范围。例&解:2(I)设椭圆方程为笃a1,由已知c2一2，又-a解得a=3，所以b=1，故所求方程为2y 2x9(II)设直线I的方程为y kx b(kH 0)代入椭圆方程整理得(k29)x22kbx b29(2kb)2由题意得X24(k22 kb9)(b29) 0又

10、直线I与坐标轴不平行故直线I倾斜角的取值范围是12分3“弦长型”例9.直线y= kx+ b与椭圆1交于A、两点，记AOB的面积为S.(I)求在k= 0, 0v bv 1的条件下，S的最大值； (n )当丨AB |= 2, S= 1时，求直线AB的方程.例9(I)解：设点A的坐标为(X1,b)，点B的坐标为(X2,b),2.x由一4y21，解得为,22J1b2所以S1b|x1 x2| 2b .1 b2 b2 1 b2 12当且仅当b 注时，S取到最大值1.2(n)解：由kx b得1(4k2 1)x28kbx4b216(4k2b2 1)I AB I = .,1 k2|x1x21.1 k2x16(4

11、kb1)24k2 1又因为0到AB的距离d旦.1 k22SrABi1 所以b2k2代入并整理，得4k4 4k21解得，k21,b22，代入式检验，2故直线AB的方程是例10.已知向量mi =(o, x)，rirni=( 1, 1), m2rurir_=(x, 0), n2 = ( y2,1)(其中 x ,y 是实数)，又设向量 m= m1 + w2rirrirrn = m2 2 n1，且m / n，点P (x, y)的轨迹为曲线 C.(I)求曲线C的方程;(n)设直线l : y kx 1与曲线C交于M、N两点，当|MN|=Z时，求直线I的方程.3例 10 解：(I )由已知，m (0,x)2y

12、2,、2),(2y2,x 、2),n (x,0) ( 2, . 2) (x 2, 12). 4分Qm n, .2y2(2) (x 、,2)(x.2)0 5分2即所求曲线的方程是：-y2 1. 7分22Xy2 1(n)由 2消去 y得 : (1 2k2)x2 4kx 0.y kx 1.4k解得x1=0, x2= (x1, x2分别为M , N的横坐标) 9分1 2k2由 |MN | 1 k2 |x1 x2 | 1 k2 | 4 i 2,1 2k 3解得:k 1.11分所以直线I的方程x y+1=0或x+y仁0.二“基本性质型”12分2x例11 设双曲线C1的方程为 a2y牙 1(a0,b0),b

13、2A、B为其左、右两个顶点， P是双曲线C1上的任一点，引 QB PB, QA PA ,AQ与BQ相交于点Q。(1)求Q点的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹为C2， C1、C2的离心率分别为e，当12 时，求的取值范围。例 11.解：(1)设 P(x0, y0), Q(x, y) A( a,0), B(a,O), QB PB,QAPA_ycx2y02x02y2a21.生1， 2a2V0_b21，二2y。2x0b2 ,a2y22x a2:2b2y，化简得：a2xb2经检验，点(a,0), (a,0)不合题意，.点Q的轨迹方程为a2x2b2(y 0)(2)(1 )得C2的方程为2y4a_ba2a

14、42e22 a 2 C i2 1(J2)212v 1上一点，9(1) 求厶F! PF2的面积；(2) 求P点的坐标.例12.2P为椭圆丄25F1、F2为左右焦点，若60例 12.解析:T a= 5, b = 3 c= 4(1 )设 | PF1 | t1 , IPF2It2 ,则t1t210 F1PF22t1t2 cos601吐 sin 6028212,:32由2得t1t212(2)设 P(x, y)，由 sF1PF2c | y | 4 | y | 得 4 1 y 1 33| y |色2，将v32代入椭圆方程解4y 4P(4PF -45 13 3 3)或 p( 5 133 3)4 P( W 才例13.已知双曲线与椭圆2 X492y_241共焦点，且以-x为渐近线，求双曲线方程.3