2020年高考数学《极化恒等式》

1、极化恒等式M秒杀秘籍：极化恒等式:ab=11a+b） -（a-bf.4例1: （2014年高考全国新课标 II卷 文（理）科第4 （3）题）设向量a,b在AABC中，若AM是AABC的BC边中线，有以下两个重要的向量关系:AM - 1 AC AB , 21 .BM AC - AB . 2定理1平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若 AM是AABC的中线，则 AB2 AC2 =2 AM 2 BM 2 .定理 2 （极化恒等式的三角形模式）在MBC中，若M 是 BC的中点，则有满足 a+b=70, a-b=CD-CH 5- =2 442 2所以 DE *DF =

2、 DH2 -1 4 - =15 444A一、求数量积的值个三等分点,1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在AABC中，D是BC的中点，E,F是AD的两/4Aba*CA=4,bf *cf =i,则 BE.CE =一则 AB AC =则 AB AD =-AB = 3，AD = 4, p 为矩形 abcd2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在AABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=10,3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正AABC中，D是BC上的点，AB=3, BD=1,-d0c4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形 ABCD中，所在平面上一点，满

3、足 PA=2,PC = 后,则PBPD=-、界定数量积的取值范围5. （2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在R/ABC中，CA = CB = 3,M ,N是斜边AB上的两个动点，且MN = J2,则CMCN的取值范围为A. 2,5 B. 2,4 1 C. 3,61 D. 4,61IL 2三、探求数量积的最值6.（2017年高考全国II卷理科第12题)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面内一点，则 PA*（PB+PC）的最小值是A. 12B. - C.27. （2018以津）如图，在平面四边形D.-1ABCD 中，AB BC , AD CD , / BAD=120 ,C.25

4、16)D. 3DAB=AD=1 .若点E为边CD上的动点,8. （2016年高考浙江卷理科第 四、处理长度问题15题）已知向量a,b, a =1, b =2,若对任意单位向量 e,均有a e+|be J6,则ab的最大值是9. （2008年高考浙江卷理科第9题）已知a, b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足（a-c）“b-c）=0,则c的最大值是A. 1 B. 2 C.D.一 2210.（2013年tWj考重庆卷理科第10题）在平面内， AB1AB2,卜b =|ob2 =1, aP = ab1 +ab；.若|op ：,则|OA 的取值范围是A.B.C.D.211.（2017年高考浙

5、江卷理科第 15题）已知向量a,I2b满足：a =1, b =2,则a + b+|a-b的最小值是12. （2013年高考天津卷文（理）科第 12题）在平行四边形 ABCD中，AD =1,/ BAD = 60口, E为CD的中点.若AC BE = 1,则AB=.13. （2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成平面角大小为 60n的二面角，则边bc的中点与点A的距离为 . 22x y14. （2012年全国高中数学联赛黑龙江预赛题）设 P是椭圆 +=1上异于长轴端点的任意一点，Fi,F2分别是其左右焦点， 。为中心，则I。KZPFi ,PF2|

6、+|PO2= 五、解决综合性问题IpA2 +|pB215. （2012年高考江西卷理科第 7题）在RtiABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 一2一 等于 （）PCA. 2 B. 4 C. 5 D. 101 ,116. （2013年高考浙江卷理科第7题）已知在&ABC中，P0是边AB上一定点，满足PB=AB,且对于边AB上任一点P,恒有PB , PC至RB P0C ,4则（）A. ABC =90 B.BAC =90 C. AB = AC D. AC = BC217. （2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）已知直线 AB与抛物线y =x交于点A,B,点M为AB的中点，C为

7、抛物线上一个动点，若点 C0满足C0AC0B=minCA,CB）则下列一定成立的是（其中l是抛物线过点C。的切线）（）A.CoM _ ABB.CoM _Ll C.CoM _LCoBD.1 C0MAB2 一x x x,xy, .1 i 、，x*v，、，一 一 18. (2014年高考浙江卷理科第 8题)记maxlx,yi=mintx,yi=设a,b为平面向量，则J,xy,x,xy,A. mina+b, a-b w mina, b b. mina+ b, a-b 之 mina, b)C. max fa +b|2,|a -b|2 |a|2 +|b|2D. maxa + b： ab2)斗 a2 +21

8、9.（浙江省鲁迅中学等六校 2016届高三下学期联考理科第 8题）如图5,在等腰梯形AB =2,CD =4, BC =&，点、E,F分别为AD,BC的中点.如果对于常数人，在等腰梯 个不同的点P,使得PEPF =成立，那么 儿的取值范围是（）59、9 11、（91、511、A. ,-_- ! B.-77,77 I C.,_ ! D.,4 20j 20 4） 20 4）144）-4 - 6- 620. （2005年高考湖北卷理科第 18题）在AABC中，已知AB = cosB =-36ABCD 中，形ABCD的四条边上，有且只有AC边上的中线BD =45 ,求sin A的值.71. 一；8BA

9、CA = ADBD =4,BF CF =1-AD - BD 3=1;解得:2AD452一,BD 8132.-16;2一 _r 一二 2 _故 BE CE = - AD32BDF *2AB AC = AM - BM2=9-25=一16.一 15 -h r 1一 .2 1 h . 2 2 153. 一 ；法一：AB AD = AB - AC+-AB =-AB AC+ AB =.233 J 3324.0; 定理：在矩形 ABCD中，P为矩形平面内任意一点，设AC与BD交点为 O,一定有 PAPC= PBPD=| PO2AO2 ;故此题由于PA2 +|PC2 = AC 2, PA PC =PB PD

10、=0 .5. D;取 MN 中点 P, CM CN =CP2-MP2=CP2 -1 ,故当P位于AB中点时，|CP取得最小值3妥，当M位于A (B)点时，CP取得最大_ 22221 3值，根据余弦定理，CA +|AP - CP =2CA，APcos45) 1CP =万，选 D。.2. 2，2、2222 AB2 ABli.6. B；取 AB 中点 E, AC 中点 F,连接 EF , PA ?|+|b?e| 2? + b?e|=| (a + b) ?e |,于是对任意的单2 ；位向量均有|(*E)?；|酢，由题设当且仅当而同少吵等号成立，此时G+B2取得最大值6,由于小U2+|W-讶)2=2 (

11、酉2+|向2) =10,于是(丁 E) 2取得最小值4,则JaGl 号,W方的最大值是 .9. C;a -c b -c(a c)+(bc)Tl(a-c)-(b-c)f一 2一一2a + b - 2c = a-b ,由于 a + b =-b = M2，而2c与RbOM 2 + MB22 =OB22 = 1 ,即反向时，取得最大值，此时|c =四。10. 如图在三角形 OPA 中 M 为 AP 中点，及 2(OM 2+MP2) = OP2+OA2,又因为 OM _L B1B2,MB2 = PMOP2+OA2=2,即7 MOP2 M2, IP OP V2 4211. 4 2、15; 12,113.2J214. 25 2 2 22, , _1_ 115. D PA2+PB2=2(PD2+DA2)又因为 PD= PC =AB,