“平均数”的“变教为学”

1、平均数”的“变教为学”“变教为学”的教学模式对学习内容的要求是“突出 本质、渗透文化、实现关联” ，为了达到这一要求，需要教 师在备课的过程中认真思考学生应当 “学什么” 和“怎样学”。 平均数属于我国现行义务教育数学课程标准中统计与概率 的部分，在教学过程中，过于注重平均数的计算方法，而轻 视对平均数本质、意义的理解，会使学生在计算平均数的时 候出现各种各样的错误，对平均数产生诸多误解。学习平均 数的计算公式并不能替代对平均数概念的理解。下面笔者以 “平均数”的内容为例，进行活动记录单的设计。通过对平均数进行研究，发现历史上平均数最早是用来 估计大数的。在公元 4 世纪的古代印度故事中，有一

2、棵长有 两条巨大树枝的茂盛的大树， 主人公 Rtuparna 想要计算这两 条树枝上叶子和果子的数量，他先估计了树根部的一条细枝 上叶子和果子的数量，再乘以细枝的数量，最后得出的答案 是 2095 ，这和第二天人们数出来的真实数字非常接近。1尽管在故事中 Rtuparna 是如何选择细枝的还不能确定， 但他 必须选择一条平均大小的细枝，才能得到比较好的估计。这 其中隐含着平均数直观的初期形式( intuitive precursor )，因 为所选的细枝代表了其余的所有细枝，在求总数的过程中， 它扮演了连接的角色，平均大小的细枝具有代表性。从历史故事中得到启发，平均数的学习应该以大数估计 为起

3、点，通过“活动一”再现这种方法，让学生理解平均数 的代表性。活动一：某学校总共有 30 个班级，每个班级的人数如 下，你能算出全学校大约有多少人吗？和同伴说说你的想 法。活动一要求学生计算全学校大约有多少人，也就是让学 生估算出这组数据的和，这和历史故事中估计“叶子和果子 的数量”是类似的。由于估算方法具有多样性，所以学生会 产生如下解法。方法一：将这组数据中最大的数和最小的数相加再除以 2，用得数乘 30。方法二：将这组数据按大小顺序排列，用处于最中间的一个数乘 30。方法三：选取数据中出现次数最多的数，再乘30。方法四：运用四舍五入法， “ 42”近似为“ 40”，“47” 近似为“ 50

4、”，“34”近似为“ 30”，再把这些数和个数相乘， 最后相加得到结果。前三种方法都是选取了能代表一组数据的值，这个值要 能代表班级人数的平均水平，才能得到比较好的估计，虽然 有的班级人数多于平均数，有的班级人数少于平均数，但在 求和过程中正好相互抵消，其中也出现了中位数、众数的概 念。通过此活动可以发现平均数和估算有密切关系，并且平 均数、中位数和众数都具有代表性，建立了学习内容与数学 知识之间的联系。教师可以在“活动一”之后给学生讲述平 均数的历史故事，让学生进一步思考和体会。按照历史的发 展，平均数的教学应由大数估计引入，先让学生理解平均数 的代表性，再来学习计算方法，而不是先学习计算方

5、法，再 让学生理解代表性。当学生对平均数有了直观的认识之后， “活动二”的设 计是学习平均数的计算方法。经历平均数计算方法的探索过 程，可以加深学生对平均数的认识。活动二：（ 1）甲、乙两商店出售帽子，下图列出了甲商 店前四个星期卖出的帽子数、乙商店前三个星期卖出的帽子 数，你知道哪家商店的销量较好吗？（ 2）乙商店在第四个 星期卖出多少顶帽子，才能使平均每天卖出 7 顶帽子？和同 伴说说你是怎么做的。设计活动二的第一个问题的目的之一是学习平均数的 两种计算方法，一种是用数据总数除以个数，另一种是移多 补少，用多的部分去补偿少的部分；目的之二是让学生体会 平均数可以用来比较数量不同的群体，体会

6、平均数的作用。 学生会发现，此时用帽子的总数比较销量不太公平，所以会 想出如下解法。方法一：分别算出甲、乙商店帽子的销售总数，再除以 对应的星期数，最后用得出的两个数据进行比较。方法二：甲商店把第一个星期的 1 顶帽子移动到第二个 星期，把第四个星期的 2 顶帽子移动到第三个星期，此时每 个星期的帽子数量都相等。乙商店把第一个星期的3 顶帽子移动到第二个星期，此时每个星期的帽子数量也都相等。最 后用两个平均数进行比较。活动二的第二个问题给出了三个数据和一个平均数，让 求第四个数据。用数据总数除以个数的方法此时无法直接使 用，考查的是对平均数的理解。学生可能会想出如下解法。方法一：四个星期平均每

7、天卖出 7 顶帽子，求出四个星 期卖出帽子的总数，再减去前三个星期卖出帽子的数量。方法二：第一个星期卖出的帽子较多，把其中3 顶帽子移动到卖出帽子较少的第二个星期，则前三个星期都卖出了 6 顶帽子，要求平均每天卖出 7 顶，这样就还差 3 顶，再加 上第四个星期平均卖出的 7 顶，得出第四个星期需要卖出 10 顶才可以。方法三：把第一个星期中的 1 顶帽子移动到第二个星期， 再移动 1 顶到第三个星期， 这样前三个星期分别卖出了 7，4， 7 顶，那么，用第二个星期差的 3 顶，再加上第四个星期平 均卖出的 7 顶，答案是 10 顶。方法四：第一个星期保留 3 顶帽子，把 6 顶都移动到第 四

8、个星期， 这样四个星期距离要求的 7 顶帽子， 分别差了 4， 4，1，1顶，计算 4+4+1+1=10 ，答案同样是 10 顶。平均数计算公式的灵活运用和移多补少的方法都可以 解答这道题，方法二、三、四使用的都是移多补少的方法， 不同之处在于分别以 6，7，3 为标准，当然也就存在着其他 的解法，需要学生认真地思考。平均数的求法在我国古代文献中就早有记载。魏晋数学 家刘徽（约公元225 公元295）注释的九章算术第一 卷记载：“平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此 之少，故曰平分也。 ”意思是在许多不相等的数中，把大的 数减小，把小的数增大，最后使得所有的数都相等，称之为 “平分”。这

9、与移多补少的方法相同，数据少的时候采用移 多补少的方法可以直观地体现出平均数的补偿性。经过以上两个学习活动，学生对平均数已经有了初步的 认识，此时，很容易将“平均数”和以前学习过的“平均分” 混淆，这两者具有密切的联系， 但在概念上又有本质的区别。 “除法的初步认识”中的平均分指每份分得同样多，平均分 是一种确定的分法，在任何一种分法的基础上，通过移多补 少就可以实现平均分，每份分得的数量具有实际意义。平均 数是一个统计概念，它在现实生活中不一定具有实际意义。 学生是在已经学过平均分的基础上进行平均数的学习，平均 分是指“总数+份数=每份数”，平均数的计算公式为“数据总数+个数=平均数”。例如

10、：甲有3个苹果，乙有5个苹果， 一共有 8个，如果平均分，则甲、乙各得到 4个。这个计算 过程和求平均数的方法看起来十分类似。 “活动三”的设计 可以帮助学生了解平均数是一个统计概念。活动三：有新闻报道： “上海每户家庭平均 2.5 人；韩国平均 2.5 人就 拥有 1辆汽车。 ”请你想一想， 其中的“2.5人”是什么意思？在学生的回答中，有的学生会认为“点5”是一个孩子，“ 2.5 人”就表示两个大人和一个小孩，出现这样的问题说 明在学生的思维中平均数还没有完成由一个代数概念到一 个统计概念的转变。半个人是不存在的，当 A 家庭有 2 人， B 家庭有 3 人，每户家庭平均就有“ 2.5 人

11、”。以上报道可以 理解为“上海每两户家庭平均 5 人”和“韩国平均 5 人就拥 有 2 辆汽车”。教师此时还可以追问学生“每个人平均每天 锻炼 1. 5 小时”中的“ 1.5 小时”是什么意思，学生可能认 为“1.5小时”是一个具体的时间，所以它有实际意义。教 师要引导学生理解和区分，让学生用自己的语言去解释平均 数的统计意义。“变教为学”强调学习内容要“实现关联” ，指的是既 要建立学习内容与数学知识之间的联系，还要建立学习内容 与生活的联系，所以，最后设计“活动四” ，让学生感受平 均数在自然界和社会中处处存在。活动四：说说哪些生活场景、自然现象或者数学知识与平均数有关？活动四的回答是开放

12、性的，在学生举例的基础上，教师 可以补充一些有关平均数的知识。 比如，自 2014年 12月 28 日起，考虑儿童身高普遍提高的实际状况，可免票乘车的儿 童身高从 1.2米提高到 1.3 米，范围增加了 10厘米。北京市 2010 年国民体质监测结果显示， 6 岁男童身高均值为 120.3 厘米， 6 岁女童身高均值为 118.8 厘米。北京市就是参照 6 岁儿童的平均身高确定的免票线高度。南水北调工程和西气 东输工程分别是把水和天然气从资源多的地方运往贫乏的 地方，达到一个相对的平均，都体现了移多补少的概念。“变教为学”要求学习内容“突出本质、渗透文化、实 现关联”。所以，对“平均数”教学进

13、行的学习活动设计， 应注意以下几个方面的内容： 首先，需要突出平均数的本质， 了解其发生和发展的历史，创设情境让学生感受“知识因需 要而产生”，体会其存在的价值。其次，需要渗透平均数的 文化，让数学学习更加丰富多彩。最后，把平均数与学生已 经熟悉的内容建立联系，实现“化未知为已知” ，教会学生 在生活中使用平均数来解决问题。“变教为学”把备课过程中主要思考的内容定位于学生 应当“学什么”和“怎样学” ，也就是要确定学生应当学习 的学习内容和设计学生应当经历的学习活动。 2 因此，对于 教师来说，首要任务是确定准确、精练的学习内容，设计可行、有效的学习活动， 这是一个需要主动学习和思考的过程参考文献：1 Arthur Bakk