《初等数论》作业

1、初等数论作业第一次作业：一、单项选择题1、 (0,b) ( ).A b B b C b D 02、如果 ba， ab，则 ( ).A a b B a b C a bD a b3、如果 (a,b) 1，则 (ab,a b) =( ).A a B b C 1D a b4、小于 30 的素数的个数( ).A10B 9C8D 75、大于 10且小于 30的素数有().A4个B 5 个C6个D 7个6、如果 3n ， 5n，则 15() n.A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定7、在整数中正素数的个数() .A 有 1 个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、求 24871 与 346

2、8 的最大公因数 ?2、求 24871,3468=?3、求 136,221,391=?三、证明题1、如果 a,b 是两个整数 , b 0 ,则存在唯一的整数对 q,r ,使得 a bq r ,其中 0 r b .n n2 n32、证明对于任意整数 n,数 n n n 是整数.3 2 63、任意一个 n位数 anan 1 a2a1与其按逆字码排列得到的数 a1a2 an 1an 的差必是 9的倍数 . 4、证明相邻两个偶数的乘积是 8 的倍数 .第二次作业一、单项选择题1、如果 ( A ),则不定方程 ax by c 有解 . A (a,b)c B c(a,b) C ac D(a,b)a 2、不

3、定方程 525x 231y 210( A ).A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解二、求解不定方程1、 9x 21y 144. 解：因为( 9，21)=3， 3144 ，所以有解；化简得 3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1 ，有 x 2, y 1， 所以原方程的特解为 x 96,y 48 ， 因此，所求的解是 x 96 7t,y 48 3t,t Z 。2、 6x 17y 18 .解：因为 (6,17) 18 ,所以有解 ; 考虑6x 17y 1,x 3, y 1;所以 x 54,y 18 是特解 ,即原方程的解是x 54 17t,y 18 6t3、107x 37y 25.解：因

4、为( 107，37) =1 25，所以有解；考虑 107x 37y 1，有 x 9, y 26 ，所以，原方程特解为 x 9 25=225， y 26 25 =-650 ， 所以通解为 x 225 37t,y 650 107t4. 求不定方程 25x 13y 7z 4 的整数解 .解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t, t+7z=4. 利用求二元一次不定方程的方法 ,因为 25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以, 上面两个方程的解分别为x t 13k1y 2t 25k1t 32 7k2 z 4 k2x 32 13k1 7k2消去 t 就得到所求

5、的解 y 64 25k1 14k2 ,z 4 k2这里 k1,k2 是任意整数5. 求不定方程 4x 9y 5z 8 的整数解 .解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法 ,因为 4(-2t)-9(-t)= t, 48+5(-8)=8,所以, 上面两个方程的解分别为x 2t 9k1 y t 4k1t 48 5k2z 8 k2消去 t 就得到所求的解x 96 9k1 10k2 y 48 4k1 5k2 z 8 k2这里 k1,k2 是任意整数第三次作业：一、选择题1、整数 5874192能被( )整除 .A3B3与 9 C 9 D 3

6、或 92、整数 637693 能被 ( )整除.A3B5 C 7 D 93、模 5 的最小非负完全剩余系是 ().A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C1,2,3,4,5D0,1,2,3,44、如果 a b(mod m) ,c 是任意整数 ,则A ac bc(mod m)B a b Cac bc(mod m)Dab二、解同余式(组)1) 45x 21(mod 132) .2) 12x 15 0(mod 45)3) 111x 75(mod 321) .x 1(mod 7)4) x 2(mod 8) . x 3(mod 9)x 1(mod 2)5)x 2(mod 5)x

7、3(mod 7)x 5(mod 9)三、证明题1、如果整数 a的个位数是 5,则该数是 5的倍数 .2、证明当 n是奇数时，有 3(2n 1) .第四次作业：一、计算：1、判断同余式 x2 438(mod 593)是否有解？2、判断同余式 x2 365(mod 1847)是否有解？3、求 11 的平方剩余与平方非剩余 .4、计算 429 , 其中 563 是素数 .5635、计算 3835、计算 443二、证明题：1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5 整除 .2、证明形如 4n 1 的整数不能写成两个平方数的和 .3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和 ; 两

8、个能表成两个平方数和的数的乘积 , 也是一个两个平方数和的数 .4、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.答案： 第一次作业：一、单项选择题 1、 （0,b） （C ）.AbB bC bD 02、如果 ba， ab，则 (D ).Aab Ba bC ab D a b3、如果 (a,b) 1，则 (ab,a b) =(C ).A a B b C 1 D a b4、小于 30 的素数的个数( A ). A 10 B 9 C 8 D 75、大于 10且小于 30的素数有( C ). A 4 个 B 5 个 C 6个 D 7 个6、如果 3n，5n，则 15(A ) n.A 整除 B 不整除 C 等于

9、D 不一定B 有限多 C 无限多 D 不一定7、在整数中正素数的个数（ C ） . A 有 1 个 二、计算题1、 求 24871 与 3468 的最大公因数 ? 解： 24871=3468 7+5953468=595 5+493595=493 1+102493=102 4+85102=85 1+1785=17 5, 所以 ,(24871,3468)=17.2、 求 24871,3468=? 解：因为( 24871,3468 )=1724871 3468所以 24871,3468= =507368417所以 24871 与 3468 的最小公倍数是 5073684。3、求 136,221,39

10、1=?解 ： 136,221,391=136,221,391136 221= 136 221 ,391 =1768,391171768 391= =104 391=40664.17三、证明题6、如果 a,b 是两个整数 , b 0 ,则存在唯一的整数对 q,r ,使得 a bq r ,其中 0 r b .证明 ：首先证明唯一性 .设q , r 是满足条件的另外整数对 ,即a bq r , 0 r b.所 以 bq r bq r , 即 b q q r r , bq q r r . 又 由 于 0 r b , 0 r b , 所 以r r b.如果 q q ,则等式 bq q r r 不可能成立

11、 .因此 q q , r r其次证明存在性 . 我们考虑整数的有序列 , 3b, 2b, b,0,b,2b,3b, 则整数 a应介于上面有序列的某两数之间 , 即存在一整数 q使qb a q 1b.我们设 r a qb , 则有 a bq r , 0 r b .7、证明对于任意整数n n2 n3n,数 n3 n2 n6 是整数2证明： 因为 n n32n3 n1n =n(2 3n n2)=1n(n 1)(n 2) ,6 66而且两个连续整数的乘积是 2 的倍数 ,3 个连续整数的乘积是 3 的倍数 , 并且 (2,3)=1,所以从 2n(n 1)(n 2)和3n(n 1)(n 2)有 6n(n

12、 1)(n 2),23即 n n n 是整数 .3 2 68、任意一个 n位数 anan 1 a2a1与其按逆字码排列得到的数 a1a2 an 1an的差必是 9的倍数 . 证明 ： 因为anan 1a2a1an10n 1an110n 2a210a1 ,a1a2 an 1an=a1 10n 1 a2 10n 2an 1 10 an,所以,anan1 a2a1- a1a2an 1an=an (10n 1 1) an 1 10(10n 3 1) a2 10(1 10n 3 ) a1 (1 10n 1). 数, 于是所证明的结论成立 . 9、证明相邻两个偶数的乘积是 8 的倍数 .证明 : 设相邻两

13、个偶数分别为 2n, (2n 2)而上面等式右边的每一项均是9 的倍所以 2n(2n 2) = 4n(n 1) 而且两个连续整数的乘积是 第二次作业答案： 一、单项选择题2 的倍数即 4n(n 1) 是 8 的倍数 .1、 如果 ( A ),则不定方程 ax by c 有解 . A (a,b) cB c(a,b) C ac D (a,b) aD 有负数解2、不定方程 525x 231y 210( A ). A 有解 B 无解 C 有正数解 二、求解不定方程1、 9x 21y 144.解：因为( 9，21)=3， 3144 ，所以有解；化简得 3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1 ，有 x

14、2, y 1， 所以原方程的特解为 x 96,y 48 ，因此，所求的解是 x 96 7t,y 48 3t,t Z 。2、 6x 17y 18 .解：因为 (6,17) 18 ,所以有解 ;考虑 6x 17y 1,x 3,y 1;所以 x 54,y 18 是特解 ,即原方程的解是x 54 17t,y 18 6t3、107x 37y 25.解：因为( 107，37) =1 25，所以有解；考虑 107x 37y 1 ，有 x 9,y 26 ，所以，原方程特解为 x 9 25=225， y 26 25 =-650 ， 所以通解为 x 225 37t,y 650 107t4. 求不定方程 25x 1

15、3y 7z 4的整数解 .解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t, t+7z=4. 利用求二元一次不定方程的方法 , 因为25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以, 上面两个方程的解分别为x t 13k1t 32 7k2,y 2t 25k1z 4 k2消去 t 就得到所求的解x 32 13k1 7k2 y 64 25k1 14k2 , z 4 k2这里 k1,k2 是任意整数5. 求不定方程 4x 9y 5z 8 的整数解 .解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法 ,因为 4(-2t)

16、-9(-t)= t, 48+5 (-8)=8,所以 , 上面两个方程的解分别为x 2t 9k1 y t 4k1x 96 9k1 10k2 消去 t 就得到所求的解 y 48 4k1 5k2z 8 k2t 48 5k2.z 8 k2这里 k1,k2 是任意整数第三次作业答案：一、选择题1、整数 5874192 能被 ( B )整除 .A 3B 3 与 9C9 D 3 或 92、整数 637693 能被 (C )整除 .A 3B 5 C7D 93、模 5 的最小非负完全剩余系是( D ). A-2,-1,0,1,2B-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如

17、果 a b(mod m) ,c 是任意整数,则(A)A ac bc(mod m) B a b C ac bc(mod m) D a b、解同余式(组)1) 45x 21(mod 132) .解 因为 (45,132)=3 |21, 所以同余式有 3 个解 . 将同余式化简为等价的同余方程15x 7(mod 44) .我们再解不定方程15x 44y 7,得到一解 (21,7).于是定理 4.1 中的 x0 21.因此同余式的 3 个解为x 21(mod 132) ,132x 21(mod 132) 65(mod132) ,3132x 21 2 (mod132) 109(mod 132) .(2)

18、12x 15 0(mod 45)解 因为 (12,45)=3 |15, 所以同余式有解 , 而且解的个数为 3.又同余式等价于 4x 5 0(mod 15) , 即 4x 5 15y.我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是 (10,3), 即定理 4.1 中的 x0 10.因此同余式的 3 个解为x 10(mod 45) ,45x 10 2 (mod 45) 40(mod 45) .(3) 111x 75(mod 321) .解 因为 (111,321)=3 | 75, 所以同余式有 3 个解 .x 10453(mod 45)25(mod 45)将同余式化简为等价的同余方程37x 25(mo

19、d 107) .我们再解不定方程37x 107y 25 ,得到一解 (-8,3).于是定理 4.1 中的 x08.32199(mod 321)因此同余式的 3 个解为x 8(mod 321) ,321x 8 2 (mod 321) 206(mod 321) .3x 1(mod 7)(4) x 2(mod 8) .x 3(mod 9)解 因为 (7,8,9)=1, 所以可以利用定理 5.1. 我们先解同余式72x 1(mod 7) , 63x 1(mod 8) , 56x 1(mod 9) ,求的解为得 到 x1 4(mod 7), x21(mod 8), x3 4( m9) o. d于 是 所

20、x 72 4 1 63 ( 1) 2 56 ( 4) 3(mod 494)510(mod 494) 478(mod494).x 1(mod 2)(5) x 2(mod5). ( 参考上题 )x 3(mod 7)x 5(mod 9)三、证明题1、如果整数 a的个位数是 5,则该数是 5的倍数 . 证明 设a是一正整数 ,并将 a写成 10 进位数的形式a = an10n an 110n 1a0, 0 ai 10.因为 10 0(mod5),所以我们得到 a a 0 (mod 5) 所以整数 a的个位数是 5,则该数是 5的倍数 .2、证明当 n是奇数时，有 3(2n 1).证明 因为 21(mo

21、d 3), 所以 2n 1 ( 1)n 1(mod3).于是,当n是奇数时 ,我们可以令 n 2k 1.从而有 2n 1 ( 1)2k 1 1 0(mod3) ,即 3(2n 1).第四次作业答案：一、计算：1、判断同余式 x2 438(mod 593) 是否有解？(答：无解。方法参照题 2)2、判断同余式 x2 365(mod 1847)是否有解？解 我们容易知道 1847是素数 ,所以只需求 365 的值 . 1847如果其值是 1, 则所给的同余式有解 , 否则无解 .因为 365 5 73, 所以36518475 731847 18475 1847 21847 5 5再 5 1(mod

22、 4),73 1(mod 4) , 所 以73 1847 22 2 111847 73 73 73 737131 171 171 47所以 , 365 =1. 于是所给的同余式有解 .18473、 11 的平方剩余与平方非剩余 .11 1解 因为5, 所以平方剩余与平方非剩余各有 5 个 .2又因为 12 1, 22 4, 32 9, 42 5, 5 3,所以,1 ，3，4，5，9是素数 11的 5个平方剩余 .其它的 8个数，2，6，7，8，10是素数 11的平方非剩余4、计算 429 ,其中 563是素数 .563429 1563 1429 2 . 2( 1) 2 25635634292

23、67563 134429 429 429 4294292 1( 1)4298 16742967 67 1 429 1( 1)4292727 ( 1) 26727 ( 1) 2 2 13 131 1,42942967 672 67 6727 272227 167 1即 429 是 563 的平方剩余 .5、计算 383 (计算方法参照题 4)443二、证明题：1、 证明相邻两个整数的立方之差不能被5 整除 .证明 因为 (n 1)3 n3 3n2 3n 1, 所以只需证明 3n2 3n 1 (mod 5) .而我们知道模 5 的完全剩余系由 -2,-1,0,1,2 构成 ,所以这只需将 n=0, 1, 2代入 3n2 3n 1分别得值 1，7，1，19，7. 对于模 5, 3n2 3n 1的值 1，7，1，19，7只与 1， 2， 4等同余 , 所以 3n2 3n 1 (mod 5)所以相邻两个整数的立方之差不能被5 整除。2、 证明形如 4n 1 的整数不能写成两个平方