2020-2021学年高中数学 第五章 数列 5.2.1.1 等差数列的定义学案新人教B版选择性必修第三册

1、2020-2021学年高中数学 第五章 数列 5.2.1.1 等差数列的定义学案新人教b版选择性必修第三册2020-2021学年高中数学 第五章 数列 5.2.1.1 等差数列的定义学案新人教b版选择性必修第三册年级：姓名：5.2等 差 数 列5.2.1等 差 数 列新版课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义2.体会等差数列与一次函数的关系3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念.(数学抽象)2.借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系.(数学抽象)3.会求等差数列的通项公式,并能利用等差数

2、列的通项公式、等差数列的性质解决相关的问题.(数学运算)4.能利用等差数列的通项公式、等差数列的性质解决相关的实际问题.(数学运算、数学建模)5.2.1等 差 数 列第1课时等差数列的定义必备知识素养奠基1.等差数列的定义(1)条件:数列an从第2项起.每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d.即an+1-an=d恒成立.(2)结论:数列an是等差数列.(3)相关概念:d称为等差数列的公差.(1)为什么强调“从第2项起”?提示:第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(2)如何理解“每一项与前一项的

3、差”?提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.2.等差数列的通项公式递推公式通项公式an+1-an=d(nn+)an=a1+(n-1)d(nn+)3.等差数列的通项公式与一次函数由an=a1+(n-1)d=nd+a1-d,记f(x)=dx+a1-d,可看成an=f(n),而且(1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列an是常数列(因此,公差为0的等差数列为常数列);(2)当公差d0时,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此d0时,an是递增数列;当d0时,an是递减数列.4.公差d的几何意义因为d=,n,m

4、n+,nm,故d可以看作过(n,an),(m,am)两点的直线的斜率.5.重要结论数列an是等差数列的充要条件是am=kn+b,其中k,b是常数.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列.()(2)常数列也是等差数列.()(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.()(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.()提示:(1).如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.(2).因为从第2项起每一项与前一项的差是

5、同一个常数0.(3).只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.(4).若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.2.下列数列是等差数列的是()a.,b.1,c.1,-1,1,-1d.0,0,0,0【解析】选d.因为-,故排除a;因为-1-,故排除b;因为-1-11-(-1),故排除c.3.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=3,则数列an的通项公式为()a.an=3n-1b.an=2n+1c.an=2n+3d.an=3n+2【解析】选a.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)3=3n-1.4.等差数列an中,若a4=13,a6=25,则公差d等于()a.5

6、b.6c.7d.8【解析】选b.因为an为等差数列,所以a6=a4+2d,即25=13+2d,解得d=6.关键能力素养形成类型一等差数列的定义及应用【典例】1.已知数列an满足an+1-an=2,nn+,且a3=3,则a1=_.2.已知数列an满足a1=2,an+1=(nn+),bn=(nn+).求证数列bn是等差数列,并求出首项和公差.【思维引】1.由an和an+1的关系判断数列an是等差数列及其公差,由第三项求第一项;2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为-=某常数的形式,方二:bn+1-bn是常数.【解析】1.因为an+1-an=2,nn+,所以数列an是等差数列,其公差为2,因为a3

7、=a1+22=3,所以a1=-1.答案:-12.方法一:因为=,所以=+3,所以-=3,又因为bn=(nn+),所以bn+1-bn=3(nn+),且b1=.所以数列bn是等差数列,首项为,公差为3.方法二:因为bn=,且an+1=,所以bn+1=+3=bn+3,所以bn+1-bn=3(nn+),b1=.所以数列bn是等差数列,首项为,公差为3.【素养探】在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻两项an+1与an(nn+)的关系,判定该数列是否为等差数列,培养学生推理、论证的能力.将本例2的条件“a1=2,an+1=”改为“a1=,anan

8、-1=an-1-an(n2)”,其他条件不变,如何解答?【解析】因为anan-1=an-1-an(n2),所以-=1(n2).又因为bn=,所以bn-bn-1=1(n2)且b1=2.所以数列bn是等差数列,其首项为2,公差为1.【类题通】定义法判定数列an是等差数列的步骤(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列an是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列an不是等差数列.【习练破】若数列an的通项公式为an=10+lg2n(nn+),求证:数列an为等差数列.【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,所以

9、an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=10+(n+1)lg2-(10+nlg2)=lg2(nn+).所以数列an为等差数列.【加练固】1.以下选项中构不成等差数列的是()a.2,2,2,2b.3m,3m+a,3m+2a,3m+3ac.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3d.a-1,a+1,a+3【解析】选c.选项a是公差为0的等差数列;选项b是公差为a的等差数列;选项d是公差为2的等差数列.2.判断下列数列是否为等差数列.(1)an=3n+2.(2)an=n2+n.【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等

10、差数列.(2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2 (不是常数),所以此数列不是等差数列.类型二等差数列的通项公式及应用【典例】1.有穷等差数列5,8,11,3n+11(nn+)的项数是()a.nb.3n+11c.n+4d.n+32.已知数列an中,a1=2,a2=1,又数列为等差数列,则an=_.3.等差数列an中,已知a3=10,a12=31.(1)求a1,d及通项公式an;(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?【思维引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通项公式推出x与n的关系.方法二:由31+11=14,32+

11、11=17,3n+11判断该等差数列有多少项.2.先求,再求an.3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则通项公式可求;(2)分别把45和85代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18项,85不是数列中的项.【解析】1.选d.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(x-1)3,所以x = n+3.方法二:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数为n+3.2.因为数列an中,a1=2,a2=1,所以=,=,又数列为等差数列,所以其公差d=-=,所以=+(n-1)d=+(n-1)=,所以an=.答案:3.

12、(1)在等差数列an中,由a3=10,a12=31,得解得所以an=+(n-1)=n+3.(2)由an=n+3=45,解得n=18,故45是第18项;由an= n+3=85,得n=n+,故85不是数列中的项.【内化悟】构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?提示:基本量是a1和d,根据已知条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.【类题通】等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据

13、等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列an的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列an是等差数列.【习练破】1.(2020连云港高二检测)若等差数列an的前三项依次为x,1-x,3x,则a2 022的值为()a.672b.673c.674d.675【解析】选c.依题意,x,1-x,3x成等差数列,所以2(1-x)=x+3x,解得x=,所以数列an的公差d=(1-x)-x=,所以a2 022=a1+(2 022-1)d=674.2.等差数列1,-1,-3,-89的项数是_.【解析】由等差数列的通项公式an

14、=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)(-2),所以n=46.答案:46【加练固】1.2 000是等差数列4,6,8,的()a.第998项b.第999项c.第1 001项d.第1 000项2.在等差数列an中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=_,公差d=_.3.已知等差数列1,-3,-7,-11,求它的通项公式及第20项.【解析】1.选b. 因为此等差数列的公差d=2,所以an=4+(n-1)2,即2 000=2n+2,所以n=999.2.设首项为a1,公差为d,则有即解得a1= -2,d=3.答案:-233.由题意可知a1=1,a2=-3,所以公差d=a2-a1=-4.所

15、以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.所以a20=5-420=-75.即该数列的通项公式为an=5-4n,第20项为-75.课堂检测素养达标1.数列an的通项公式an=2n+5,则此数列()a.是公差为2的等差数列b.是公差为5的等差数列c.是首项为5的等差数列d.是公差为n的等差数列【解析】选a.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n2),所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n2),所以数列an是公差为2的等差数列,a1=21+5=7.2.在等差数列an中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于()a.3b.-6c.4d.-3【解析】选b.由题意,解得d=-6.3.已知等差数列2,5,8,11,则23是这个数列的()a.第5项b.第6项c.第7项d.第8项【解析】选d.等差数列2,5,8,11,的首项为2,公差为3,所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=23,所以n=8.4.已知数列an满足a1=2,an+1-an+1=0(nn+),则此数列的通项an=_.【解析】因为an+1-an+1=0(nn+),即an+1-an=-1,所以数列an是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,所以an=2-(n-1)=3-n.答案:3-n【新情境新思维】等差数列an中