不定积分的基本公式和运算法则直接积分法.

1、复习 1 原函数的定义。 2 不定积分的定义。 3 不定积分的性质。 4 不定积分的几何意义。引入 在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算 问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。讲授新课第二节 不定积分的基本公式和运算 直接积分法一 基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算， 所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基 本公式如下：导数公式微分公式积分公式1 (kx) kd(kx) kdxkdx kx C ( k 0)122 ( x2)x2d(1 x2) xdx212 xdxx2 C2113 ( ) 2 xx11

2、d( ) 2 dxx x 2112 dx C x2 x14 (ln x )xd(ln x ) 1dxx1 dx ln x Cxx15 ( x ) x1x1 d( ) x dx1x1x dx x C1(1)6(ex ) exd(ex ) exdxexdx ex Cx ax 7 ( ) a ln ax ax d( ) a dx ln ax a x dxa Cln a8 (sinx) cosxd(sinx) cosxdxcosxdx sinx C9 ( cosx) sinxd( cosx) sinxdxsinxdx cosx C01 (tanx) sec2 xdx2d(tan x) sec xdx1

3、22 dx sec xdx tanx C cos x11 ( cot x) csc2 x2d( cotx) csc xdx122 dx csc2 xdx cotx C sin2 x21 (secx) secxtanxd(secx) secx tan xdxsecx tan xdx secx C31 ( cscx) cscxcotxd( cscx) cscxcotxdxcscx cot xdx cscx C41 (arctan x) 1 21x1d(arctan x) 21x1dx 2 dx arctan x C1 x 251 (arcsin x) 11x2 d(arcsin x) 1 21dx

4、 dx arcsin x C1 x 2以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。例 1.求下列不定积分 .（ 1）12 dxx22) x xdx解：(1) x12 dx x 2dxxx212) x xdx x 2 dxC2152 x 2 C51Cxx 的形式，然后应用幂函此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 数的积分公式求积分。不定积分的基本运算法则法则 1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx法则 1 对于有限多个函数的

5、和也成立的法则 2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即kf (x)dx k f(x)dx ( k 0)例 2 求 (2x3 1 ex)dx解(2x3 1 ex )dx=2 x3dx+ dx- exdx1 4 x= x x e C 。2注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数， 但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此。注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例1 4 x 3 x 由于 ( x4 x ex C) = 2x3 1 ex ，所以结果是正确的。2三 直

6、接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。例 3 求下列不定积分( x 1)( x) dx)dx1) ( x 1)( x 1 )dx(2) x 2 1dx解：( 1)首 先把 被 积函 数 ( x 1)x( 1 化) 为 和式 ， 然后 再逐 项积 分得 xx xdx xdx1dx dxx2 1 2 2x2 1 x2 x 2x2C。52注：（ 1）求函数的不定积分时积分常数 C 不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。2）等式右端的

7、每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数 C 即可。3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。2）x2 1 2xx2 122 dx (1 2 )dxx2 1dxdx 2 2 x 2arctan x C 。 x2 1上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。练习32x3 3x2 2x 4x2dx ，22x2 12 2dx ， 3x2 (x2 1)1 x2dx。答案1x2 3x 2ln|x| 4 C，2x1arctan x C ，x

8、3x arctanx C例 4 求下列不定积分 .（ 1）tan2 xdx2) sin2 xdx2解：(1) tan2 xdx(sec2x 1)dx2sec2xdx dx tanx x C2) sin 2 2x dx12 sin x C1 cos x 1 dx x2上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式 的恒等变换。答案 1 cotx x Ccos2x dxcosx-sinx2练习 1 cot2 xdx2xcos dx 3212 (x sinx) C3 sin x -cos x C2例 5 设 f (sin 2 x) cos x，求 f (x) .2

9、解：由于 f (sin 2 x)cos2 x 1 sin2 x ，所以 f (x) 1 x ，故知 f (x)是 1 x的原函数，因此f ( x)2(1 x)dx x x C 小结基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。练习求下列不定积分 .1)3)(1 2sinx 2)dx(2) (x(t 1)2dt ，(4)t12 cos2 x sinx)dx，23( 12t2 1 3t2)dt，5) (6x x6 )dx，6)x，(7)csc(cscx cotx)dx ，cos2x8)2 dx ，sin x9)t t 2(cos2t sin2t)2dt，(10)(tan2 x 1)dx ，( 11) ex(3x1x2e x)dx。2x答案 1x 2cosx 2ln|x| C，2 tan x -cot x C ，1t2 2t ln|t| C，2arcsitn 3arctatn C，x6 1 7 x C ， ln6 7cotx cscx C ，8 cotx 2 C ，t cost C ， 10(3e)x1