不定积分求解方法及技巧.

1、不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一不定积分的概念与性质定义1如果F (x)是区间I上的可导函数，并且对任意的x I，有 F (x)=f(x)dx则称F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数。定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原 函数，即存在可导函数F (x),使得F (x) =f(x) (x I)简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，贝U(1) F (x) +C也是f(x)在区间I上的原函数，其

2、中C是任意函数；(2) f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2 设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数 F (x) +C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 f(x)d(x),即 f(x)d(x)=F(x)+C其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则f(x) g(x)dx= f(x)dx g(x)dx.性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，贝Ukf(x)dx=k f(x)dx.二.换元积分法的定理如果不定积分g(x)dx不容

3、易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f(x) (x).做变量代换u= (x),并注意到 (x) dx=d (x),则可将变量x的积分转化成变量 u的积 分，于是有 g(x)dx= f (x) (x)dx= f(u)du.如果 f(u)du可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u= (x)可导，则有换元公式第一类换兀法是通过变量代换u= (x),将积分f (x) (x)dx 化为f(u)du.但有些积分需要用到形如x= (t)的变量代换，将积分f(x)dx 化为f

4、(t) (t).在求出后一积分之后，再以x=(t)的反函数t=(X)带回去，这就是第二类换元法。即f(x)dx=f (t)dt t 1(X).为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t= 1 (x )存在的条件，给出下面的定理。定理2设x= (t)是单调，可导的函数，并且(t)0.又设f 具有原函数F (t),则 f(x)dx= f (t)(t)dt=F(t)+C=F(x)+C其中 1 ( x )是x= ( t )的反函数。三常用积分公式1基本积分公式(1)(3)(9)(11)kdx=kx+C(k 是常数)；(2)=ln x +C;xdxsin xdx=-cosx+C ;(8

5、)u 1u xx u dx= +C(u u 1-1);(4)=arcta nx+C;1 x2cosxdx=s in x+C;-=csc 2 xdx=-cotx+C; (10)2sin xcscxcotxdx=-cscx+C;(12)(13) axdx= e x+C;(14)dx22= sec xdx=tanx+C;cos xsecxta nxdx=secx+C;e x dx= e x +C;shxdx=chx+C;(15) chxdx=shx+C.(16)(17) cotxdx=ln si nx +C;(18)tan xdx=-l ncosx +C;secxdx=ln secx tanx +C

6、;dx _1 , 2 = ln a x ax a n+C;(19)cscxdx=ln cscx cotx +C;(20)dx22=l n(x+ x a +C;2 2 a xdxx(21)=arcsin +C;(22)Ja2 x2aJ /(tanx)sf*x;J f (cot xjese:.v4r =9Jsin mcos/urdLvsin mxslu nxdxjco$mxcos/j,vrf.vJcos*AdLv 0杜为奇数)11J sin 做 xdxj cos* Adv O 为偶数)12J/(arctanx)(fx = J/(arctan(aretanx)/(aroinx)-T 一 J /(ar

7、csinxytarcsinA)h =tanxU利用积化和差 公式进存变换用公式*1sin2 a; =c?*va1= sin3 a 进行变换化为倍角的三角酋 数障無后再积分n = urcffin x(23)fX= n x 4X_a2 +C.Vx2 a22.凑微分基本类型积分类型换元公式第一类换元积分法I.J y(ar+6)cit- J f(ax-b)d(ax+b) (a 工0) r(护皿(对)(古 )3 J /()-Xrfv = 2f /(五M 仮4. JZ(l).pv = -JZ(lX(l)5. J= JJ6. | /(ln.v)-= J /(In A*f In x7 J F0 W处二 J f

8、(ex)(ieI8. J/(sin x)*co$xdr = J/(sin 龙 Mln x J /(cosxj-sin xdx/(osx)dco5xa = ax hu -fx丄Xu axii In xli 二 f 工 u = sin au =cosx四.解不定积分的基本方法四.求不定积分的方法及技巧小汇总1利用基本公式。(这就不多说了 )2. 第一类换元法。(凑微分)设f(卩)具有原函数F(卩)。贝Uf (x) (X)dx f (x)d (x) F (x) C其中(x)可微用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容， 同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不

9、妨从被积函数中 拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:【解】(ln(x 1) lnx)1x(x 1)ln(x 1) In x , dx x(x 1)(ln(x 1) In x)d(ln(x 1) lnx)丄(1 n(x 1) In x)2 C2例1:ln( x 1) ln x , dx x(x 1)例2:1 ln x ,2 dx (xln x)2【解】(xlnx) 1 lnx1 In xx(x 1)2dxdxln x(xln x)21xln x3. 第二类换元法:设x (t)是单调、可导的函数，并且(t)0又设f (t) (t)具有原函数,则有换元公式f(x)dx f

10、 (t) (t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式 用。主要有以下几种：a si nt; x a costata nt； x a cot t ； x asht常见的变换形式需要熟记会(1) 、a2 x2： x(2) ： x2 a2: x(3) x2 a2： x a sect ； x a csct ； x acht(4) v；ax b：ax b t(5)(6) 当被积函数含有x m ax2 bx c,有时倒代换x 1也奏效t4. 分部积分法.公式： dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成 不定积分。具体选取 、 时，通常基于以下两点考虑：(1) 降低多项

11、式部分的系数(2) 简化被积函数的类型举两个例子吧！3x arccosxdx1 x23 .cos t 4t( sint)dt si ntt cos3 tdtt(si n2t 1)ds inttdgsi n3t sint)例4：arcs in2 xdx解arcsin2 xdx13tsi n313tsi n313tsi n313x9xsin2 xxarcsin xtsinttsinttsintz 1.3(-sin t3(1 si n2132 1cost cost C9sin t)dt1)d cost2 122x (x 2)1 x arccosx C3 31x2 arcs in xdx2 arcs

12、in xd、1 x2xarcsin x2 1 x2 arcsin x 1 x2 dx讪x2xarcsin x2 1 x2 arcsin x 2x C例3:3x arccosx _ dx1 x2【解】观察被积函数，选取变换t arccosx,则上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在 dd中，、的选取有下面简单的规律：ax(1) Pm(x)， e ,sin ax,cosax(2) In x,arcta nx,arcs inx，Pm(x)(3) e，cos x,sin x(3) 会出现循环，注意，选取的函数不能改变。将以上规律化成

13、一个图就是：(Inx arcsinx)Pm(x(aAxsinx)1)卩V但是，当 ln x，arcsinx时，是无法求解的。对于(3)情况，有两个通用公式:Iieaxsin bx dxeax cosbx dxaxe2 (a sin bx b cosbx) Ca baxe22(acosbx bsinbx) Ca b5. 几种特殊类型函数的积分。(1) 有理函数的积分有理函数 出 先化为多项式和真分式P*凶 之和，再把上！凶 分解为若干Q(x)Q(x)Q(x)个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。 出现I n2dx2时,(a x )解64x x 4x 2 3/ 22x (x 1)64

14、, 2 cx x4x23/ 22322x (x 1) x (x 1),2 cx4x23/ 22x 1 x (x 1)记得用递推公式：x2n 3)n222n12丨门1 )2a (n 1)(x a )2a (n 1)例5:64,2cX x 4x 2dx322dxx (x 1)-2dx -l n(x2 1) Cx 124x224x222x2122x3(x22 dx1)x4(x22 xdx1)x4(x21)2dxx2222(1)2(1)2(1)2d(丄11C1 C1(1)x (x 1)故不定积分求得(2) 三角函数有理式的积分万能公式:sin xcosx2ta n2.2 x tan 2.2 x tan 21 tan2 -2P(sin x,cosx)dx可用变换t tan 化为有理函数 的积分,Q(sin x, cos x)2但由于计算较烦,应尽量避免。对于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成沁或妙。再用待定系数cosx sin xa cosx bsinxA(acosx bsinx) B(acosx bsinx)来做(3) 简单无理函数的积分般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些