一元三次方程的解法详细

1、详细一元三次方程ax3bx 2cxd0 的解法先把方程 ax 3bx2cxd0 化为 x3pxq0的形式：令 x y b ，则原式变成3aa( yb ) 3b( yb ) 2c( yb ) d 03a3a3aa( y3by 2b 2 yb33 ) b( y22byb2) c( yba3a227a3a9a2) d 03aay 3by 2b2yb3by 22b 2yb3cybcd 03a27a 23a9a 23aay 3(cb2 ) y ( d2b 3bc ) 03a27a 23ay 3( cb 2) y ( d2b3bc) 0a3a 2a27a 33a2y 3cb2d2b3bc2 。如此一来二次

2、项就不見了，化成py q0，其中 p2 ， q3a3aa27 a3a-对方程 y 3pyq0 直接利用卡尔丹诺公式：y13q( q ) 2( p )33q( q) 2( p) 3223223y232y33q( q) 2( p) 32 3223q(q)2(p)33223q( q) 2( p) 3223q ( q) 2 ( p) 3223其中13i 。( q) 2( p) 3 是根的判别式： 0 时，有一个实根两个虚根；0 时，有三个实根，且23其中至少有两个根相等； 0 时，有三不等实根。附： 方程 y 3pyq0（ 2）求根公式的推导过程：不妨设 p、q 均不为零，令 yuv （ 3）代入（

3、2）得， u 3v3(uv)(3uvp) q0 （4）选择 u、 v，使得 3uvp 0，即 uvp（5）3代入（ 4）得， u3v3q（6）3将（ 5）式两边立方得，u3 v3p（7）27联立（ 6）、（ 7）两式，得关于 u 3 、 v3 的方程组：u3v3qp3u3 v3p，且 uv327于是问题归结于求上述方程组的解，即关于 t的一元二次方程 t 2qtp 30 的两根 u3 、v 3 。27q 2 4 p323q ，设， D4qp， T27232又记 u 3 的一个立方根为 u1，则另两个立方根为u21u1 ， u32 u1 ，其中1、 2为1的两个立方虚根。以下分三种情形讨论：1）

4、若0，即 D0 ，则 u3 、 v3 均为实数，可求得 u 3TD ， u 3TD 。取 u13 TD ， v13 TD ，在 yuivj ， i, j1,2,3组成的九个数中，有且只有下面三组满足uvp ，3即 u1、 v1 ； u2 、 v3 ； u3 、 v2 ，也就是满足 u1v1 u2 v3u3v23 T 2Dp ，3于是方程（ 2）的根为，这时方程（ 2）有一个实根，两个共轭虚根，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。2）若，即 D 0 时，可求得。取，同理，可求得方程（ 2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。）若，即时，因为3q2，30 ，0p0p0， p3D 0323则 u 3 、 v3 均为虚数，求出 u3 、 v 3 ，并用三角式表示，就有，其中 T，都是实数，同理，其中，且取，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（ 2）得三个实根为，具体表示出来就为：其中 当时，方程（ 2）有三个实根。综上所述，实系数一元三次