2020-2021学年高中数学 第十一章 立体几何初步 11.4.1 直线与平面垂直优质作业新人教B版必修第四册

1、2020-2021学年高中数学 第十一章 立体几何初步 11.4.1 直线与平面垂直优质作业新人教b版必修第四册2020-2021学年高中数学 第十一章 立体几何初步 11.4.1 直线与平面垂直优质作业新人教b版必修第四册年级：姓名：第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系11.4.1直线与平面垂直课后篇巩固提升基础达标练1.如图所示,pa平面abc,bcac,则图中直角三角形的个数为()a.4b.3c.2d.1答案a解析因为pa平面abc,bc平面abc,所以pabc,paac,paab.又acbc,paac=a,所以bc平面pac,所以bcpc,所以直角三角形有pab,pac,abc

2、,pbc,共4个.故选a.2.在abc中,ab=ac=5,bc=6,pa平面abc,pa=8,则点p到bc的距离是()a.5b.25c.35d.45答案d解析由题得pb=pc=82+52=89,则p到bc的距离d=pb2-12bc2,即d=89-9=45.3.下列命题中,正确的有()如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直.过直线l外一点p,有且仅有一个平面与l垂直.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.垂直于角的两边的直线必垂直于这个角所在的平面.过点a垂直于直线a的所有直线都在过点a垂直于a的平面内.a.2个b.3个c.4个d.5个答案

3、c解析正确,中当平面内的两条直线平行时,直线可能与平面平行、垂直或在平面内.4.如图所示,pa垂直于以ab为直径的圆o所在的平面,c为圆上异于a,b的任一点,则下列说法不正确的是()a.pabcb.bc平面pacc.acpbd.pcbc答案c解析因为pa垂直于以ab为直径的圆o所在的平面,即pa平面abc,又bc平面abc,所以pabc,故a正确;又c为圆上异于a,b的任一点,ab为圆o的直径,所以bcac,所以bc平面pac,所以bcpc,故b,d均正确.故选c.5.直线a与平面所成的角为50,直线ba,则直线b与平面所成的角等于()a.40b.50c.90d.150答案b解析根据两条平行直

4、线和同一平面所成的角相等,知b与所成的角也是50.6.(多选题)如图,abcd-a1b1c1d1为正方体,下列结论正确的是()a.bd平面cb1d1b.ac1bdc.ac1平面cb1d1d.异面直线ad与cb1所成的角为60答案abc解析bdb1d1,b1o1平面cb1d1,故a正确;acbd,bdcc1,bd平面acc1,bdac1,故b正确;与b同理有ac1与b1d1,cb1垂直,则ac1平面cb1d1,故c正确;d中显然异面直线ad与cb1所成的角为45,故d错误.故选abc.7.空间四边形abcd的四条边相等,则对角线ac与bd的位置关系为.答案垂直解析如图,取ac的中点e,连接be,

5、de.由ab=bc,得acbe.同理acde,所以ac平面bed.因此,acbd.8.已知pa垂直于平行四边形abcd所在的平面,若pcbd,则平行四边形abcd一定是.答案菱形解析由于pa平面abcd,bd平面abcd,所以pabd.又pcbd,且pc平面pac,pa平面pac,pcpa=p,所以bd平面pac.又ac平面pac,所以bdac.又四边形abcd是平行四边形,所以四边形abcd是菱形.9.如图所示,m,n分别是正方体abcd-a1b1c1d1中bb1,b1c1的中点.(1)则mn与cd1所成的角为.(2)则mn与ad所成的角为.答案(1)60(2)45解析(1)由图易知mnad

6、1,acd1构成正三角形.ad1与cd1成60角,mn与cd1成60角.(2)ad1与ad成45角,而mnad1,mn与ad成45角.10.如图,在三棱锥a-bcd中,ca=cb,da=db.作becd于点e,作ahbe于点h.求证:ah平面bcd.证明取ab的中点f,连接cf,df(图略).ca=cb,da=db,cfab,dfab.cfdf=f,ab平面cdf.cd平面cdf,abcd.又cdbe,abbe=b,cd平面abe.ah平面abe,cdah.ahbe,becd=e,ah平面bcd.能力提升练1.(2020江苏高一月考)已知是一个平面,m,n是两条直线,有下列四个结论,正确的是(

7、)a.如果m,mn,则nb.如果m,n,则mnc.若直线m垂直于平面内的无数条直线,则md.如果m,mn,则n答案bd解析对于a,如果m,mn,则n或n,所以不正确;对于b,若m,n,那么mn,所以正确;对于c,根据线面垂直的定义,直线m垂直于平面内的任意直线,则m,而直线m垂直于平面内的无数条直线,则m与不一定垂直,所以不正确;对于d,根据平行线中的一条垂直一个平面,另一条也垂直于这个平面,可得若m,mn,那么n,所以正确.2.如图所示,正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,线段b1d1上有两个动点e,f,且ef=12,则下列结论错误的是()a.acbeb.ef平面abcdc.三棱锥a

8、-bef的体积为定值d.aef的面积与bef的面积相等答案d解析由ac平面dbb1d1,be平面dbb1d1知a正确;由ef平面a1b1c1d1,且平面a1b1c1d1平面abcd知b正确;由bef面积s=12112=14.va-bef=132214=224知c正确;d中两三角形以ef为底边,高不等,则面积不等,故d错误.3.(多选题)在正方体abcd-a1b1c1d1中,点e,f,g分别为棱a1d1,a1a,a1b1的中点,下列结论正确的是()a.efb1cb.bc1平面efgc.a1c平面efgd.异面直线fg,b1c所成角的大小为4答案abc解析如图,连接ad1,则efad1bc1,又b

9、c1b1c,efb1c,故a正确;bc1ef,ef平面efg,bc1平面efg,bc1平面efg,故b正确;a1cef,a1ceg,efeg=e,a1c平面efg,故c正确;fgab1,ab1c为异面直线fg,b1c所成角,连接ac,可得ab1c为等边三角形,则ab1c=3,即异面直线fg,b1c所成角的大小为3,故d错误.故选abc.4.在三棱柱abc-a1b1c1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点d是侧面bb1c1c的中心,则ad与平面bb1c1c所成角的大小是()a.30b.45c.60d.90答案c解析如图,取bc的中点e,连接ae,则ae平面bcc1b1.故ade为直线ad与平面bb

10、1c1c所成的角.设各棱长为a,则ae=32a,de=12a.所以tanade=3.所以ade=60.5.如图,三条相交于点p的线段pa,pb,pc两两垂直,点p在平面abc外,ph平面abc于点h,则垂足h是abc的()a.外心b.内心c.垂心d.重心答案c解析pcpa,pcpb,papb=p,pc平面pab.又ab平面pab,abpc.又abph,phpc=p,ab平面pch.又ch平面pch,abch.同理bcah,acbh.h为abc的垂心.6.(2020上海高三专题练习)在正方体abcd-a1b1c1d1中,o是底面abcd的中心,e,f,g,h分别是棱a1a,b1b,c1c,d1d

11、的中点,则与直线a1o垂直的立方体的截面为.(写出一个即可)答案gbd(或afc1h或ed1b1)解析如图所示,连接og,a1c1,易知bdac,bdaa1,故bd平面acc1a1,a1o平面acc1a1,故bda1o.设正方体边长为2,则a1o=aa12+ao2=4+2=6,og=oc2+cg2=2+1=3,a1g=a1c12+c1g2=8+1=3,故a1g2=a1o2+og2,故a1oog,ogbd=o,故a1o平面gbd.7.等腰直角三角形abc的斜边ab在平面内,若ac与所成的角为30,则斜边上的中线cm与所成的角为.答案45解析如图,设c在平面内的射影为点o,连接ao,mo,则cao

12、=30,cmo就是cm与所成的角.设ac=bc=1,则ab=2,cm=22,co=12.sincmo=cocm=22,cmo=45.8.abc的三个顶点a,b,c到平面的距离分别为2 cm,3 cm,4 cm,且它们在的同侧,则abc的重心到平面的距离为.答案3 cm解析如图,设a,b,c在平面内的射影分别为a,b,c,abc的重心为g,连接cg并延长交ab于中点e,又设e,g在平面内的射影分别为e,g,则eab,gce,ee=12(aa+bb)=52,cc=4,cgge=21,在直角梯形eecc中,取gc,gc的中点h,h,设gg=x1,hh=x2,则x1=x2+522,x2=x1+42,解

13、得x1=3,即abc的重心到平面的距离为gg=3.9.如图,在三棱锥p-abc中,pa=pb=pc=13,abc=90,ab=8,bc=6,m为ac的中点.(1)求证:pm平面abc;(2)求直线bp与平面abc所成的角的正切值.(1)证明pa=pc,m为ac的中点,pmac.又abc=90,ab=8,bc=6,am=mc=mb=12ac=5.在pmb中,pb=13,mb=5.pm=pc2-mc2=132-52=12.pb2=mb2+pm2,pmmb.由可知pm平面abc.(2)解pm平面abc,mb为bp在平面abc内的射影,pbm为bp与底面abc所成的角.在rtpmb中,tanpbm=p

14、mmb=125.素养培优练如图,在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,ab=bc=2,ad=cd=7,pa=3,abc=120.g为线段pc上的点.(1)证明:bd平面apc;(2)若g为pc的中点,求dg与平面apc所成角的正切值;(3)若g满足pc平面bgd,求pggc的值.(1)证明设点o为ac,bd的交点.由ab=bc,ad=cd,得bd垂直平分线段ac.所以o为ac的中点,bdac.又因为pa平面abcd,bd平面abcd,所以pabd.又paac=a,所以bd平面apc.(2)解连接og.由(1)可知od平面apc,则dg在平面apc内的射影为og,所以ogd是dg与平面pac所成的角.由题意得og=12pa=3