2013年 韦达定理的推广及若干应用

1、 本科毕业论文题 目: 韦达定理的推广及若干应用 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 张金显 学 号： 2 指导教师： 王 琪 教师职称： 副教授 填写日期： 2013年 5月 2日摘 要初等代数是研究数学的代数运算的理论和方法，比如，研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科.初等代数研究主要的内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学.高等代数在初等代数的基础上进一步扩充研究对象和研究范围，从最简单的一元二次方程开始，更深层的继续讨论三次、四次方程以及高次方程，探索一元高次方程的求解方法.韦达定理是初等代数中最重要的内

2、容之一，它揭示了一元二次方程中根与系数的基本关系.本文将从韦达定理在一元二次方程中的简单应用，初步讨论一元二次方程根与系数的基本关系，然后利用高等代数中的多项式理论将其推广到一元高次方程中，重点讨论一元高次方程中根与系数的关系，并介绍它在数学中的若干应用.关键词：代数方程；初等数学；韦达定理的推广；根与系数的关系；韦达定理AbstractElementary algebra is the theory and method that studies the algebraic operation of mathematics. For example, it studies the real

3、number and the complex number, as well as the mathematics branch discipline of the theory and method of the polynomial algebraic operation that takes the real number and complex number as the coefficient. The main content of the Elementary algebra research is to solve equation and thus algebra has b

4、een interpreted as the science of equations for a long time. Advanced algebra in the elementary algebra on the basis of the further expansion of the research object and research scope. Starting from quadratic equation that is the most simple, deeper continues to discuss three, four equations and equ

5、ations of higher, and explores the solution method of high-order equations method with one unknown.Vedas theorem is one of the most important elements in the Elementary in the Elementary Algebra and it reveals the basic relations between the root and the coefficient in quadratic equation with one un

6、known. From the simple application of the Vedas theorem in quadratic equation, this article will preliminarily discuss the relationship between the root and the coefficient of quadratic equation, and then promotes it high-order polynomial equation by using the polynomial theory in higher algebra. It

7、 focuses on the discussion of the relationship between the root and coefficient of equation with high-order polynomial equation, induction the general form of Vedas theorem in the equation with one unknown, finally introduced several applications in some areas of mathematics.Keywords: Algebraic equa

8、tion; Elementary Mathematics; The promotion of Vedas theorem; Relationship between the roots and coefficients; Vedas theorem;目 录摘 要IAbstractII第一章 前言1第二章 韦达定理概述及简单应用2第一节 韦达定理概述2第二节 韦达定理的简单应用2第三章 韦达定理的推广及其若干应用6第一节 韦达定理的推广6第二节 推广的韦达定理的若干应用9致谢12参考文献13第一章 前言一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，在方程论中有着重要的应用，利用它可以进一步讨论方程的根

9、的性质，也可把一些数学问题转化为一元二次方程来讨论.前人研究的主要内容是对韦达定理的各种证明及证明方法，以及韦达定理在一些一元二次方程、一元三次方程中的简单应用，并对韦达定理作了一定的推广，并广泛应用于数学的某些分支学科，在方程论的研究中起到了积极的作用.本文研究的主要内容是韦达定理的推广，借鉴前人的一些研究经验和成果，进而用高等代学中的多项式理论进行研究，推广并证明韦达定理的推广.韦达定理说明了一元二次方程中根与系数之间的关系，本文第二章介绍韦达定理的基本理论及其在一元二次方程中的简单应用，第三章第一节进一步讨论韦达定理并将其推广到一元次方程中，进而推广证明一元高次方程中根与系数的关系，第二

10、节主要介绍韦达定理的推广理论在一元高次方程中的若干应用，进一步拓展说明推广的韦达定理在解决一元高次方程问题中的作用和意义.第二章 韦达定理概述及简单应用第一节 韦达定理概述据历史记载，在韦达那个年代，有一个部落给数学家提出了一个45次方程，各国数学家互相挑战.法国国王便将这个充满挑战的问题交给了弗朗索瓦韦达(Vedas formulas)，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息随即传开，让当时整个数学界都为之震惊.他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，不久以后并发现了伟大的韦达定理.韦达定理：在一元二

11、次方程中，当时，方程的两根满足如下关系:,.韦达定理的逆定理：如果满足,，那么是一元二次方程的两个根.第二节 韦达定理的简单应用韦达定理在的应用非常广泛，主要体现在初等代数、解三角形、解析几何等方面，下面简单介绍几个例子.例1、若是的两个根，试求.解析 因为是方程的两个根，由韦达定理可知因此归纳 此类问题的关键是所求的代数式进行变形，化为含有与的代数式，然后把与的值作为一个整体代入该代数式计算即可.例2、已知的边长分别为且，为正整数，若，求的值.解析 根据题意得 可变换为 将代入得 由得根据韦达定理的逆定理可知，是关于的一元二次方程的两个不等的实根.则必有解得，又为正整数，因此.归纳 本题看似

12、非方程问题，但是经过转化变形也就变成关于方程的数学问题了.巧妙地应用韦达定理，可以使问题简单化.例3、顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，被直线截得的弦长为.求此抛物线方程.分析：根据题意得知，该问题与直线和抛物线方程都有关系，可以联立方程组解决问题.解 设抛物线方程为，由题意得消去得由韦达定理得于是有解得或.故抛物线方程为或.归纳 本题由联立方程组，消去一个未知量，也就得到了一个一元二次方程，自然就联想到根与系数的关系了.例4、求所有实数，使一元二次方程的根都是整数.分析：本题是含有参数一元二次方程，所以要进行必要的讨论，根据一元二次方程根的情况可知，根与系数是有关系的，那么应用韦达定理也就可以

13、解决问题了.解 当时，原方程为，则满足条件；当时，根据方程的根的个数可知即设方程的两根为，则由韦达定理可知由两式相减得那么我们可以得到即，所以或.讨论,当时，此时当时，此时因为的值满足题意，即因此或综上所述，的值为0、或.第三章 韦达定理的推广及其若干应用第一节 韦达定理的推广代数基本定理：在复数域里，一元次方程至少有一个根.多项式定理：在复数域中，任何次多项式恰有个根（重根按重数计）.设是一元多项式，那么叫做一元次方程，一元次方程的一般形式是(其中).当时,称为一元高次方程. 根据代数基本定理可知，任何一元次方程，在复数集中至少有一个根.由多项式定理可知，在复数域中,任何次多项式必有个根.根

14、据第二章所述韦达定理在一元二次方程中的基本形式，先作以下猜想：在一元次方程（其中）中，方程的个根有如下关系：（3.1） 那我们接下来就试着用多项式的相关理论推导证明，在一元高次方程中根与系数的关系（3.1）是否存在.设有一元次多项式 （3.2），在复数域上，必有个根（重根按重数计），设为的个根，由多项式定理可知，在复数域中，一定可以分解成有个一次因式的乘积，即. （3.3）将（3.3）的右端展开并合并同类项，然后将其各次项的系数与（3.2）右端的各项系数相比较，得出如下关系：其中第个等式的右端是一切可能的个根的乘积之和再乘以.由以上结论可得，若在多项式 （3.4）中，首项系数（且），与（3.2

15、）的各项系数相比可知，只要把（3.4）中各项的系数都乘以就变成了（3.2）的形式了，根据多项式的有关性质可知，变化之后多项式的根是不会改变，这时多项式的根与系数的关系变化成如下形式：在一元次方程中，设方程 （3.5）的个根，根据上述推导结论，可得出如下结论：因此，（3.1）成立.这就是韦达定理在一元高次方程中的基本形式，因此韦达定理同样适用于一元高次方程.前面所讲的内容知道，韦达定理在一元二次方程和一元高次方程中是同样适用的，那么在一元一次方程中是否也同样适用呢？设有一元一次方程（其中），则方程的根满足如下关系：这就是一元一次方程中根与系数的关系，即韦达定理在一元一次方程中的形式，因此韦达定理

16、同样适用于一元一次方程.综合韦达定理在一元一、二次方程的形式及其推广到一元高次方程中的基本形式，可以得出韦达定理在一元方程中的一般形式.韦达定理的推广：在一元次方程 ()中，一般情况下，方程的个根满足如下关系：这就是韦达定理的推广,即一元次方程中根与系数的关系.第二节 推广的韦达定理的若干应用推广的韦达定理主要应用于求一元高次方程中根与系数的关系，巧妙地运用这种代数关系可以为乏味的数学学习带来很多兴趣，同时也为解题提供许多方便，广泛应用于高等代数、解析几何、方程论和多项式等数学的诸多领域.下面仅举一些例子以示说明，更多的应用还有很多.例5、已知方程的三个根的倒数成等差数列，解这个方程.解析 根

17、据题意可知方程的三个根成等差数列，不妨设这三个根分别是,（其中，），由推广的韦达定理可得，解得.由，可知的另外两个根是，因此，原方程的根是，与.例6、解方程.解析 原方程可化为.设，显然有应用韦达定理的逆定理，可构造一元二次方程，则，为该方程的两个根.解得或，由于，所以，.即，即，解得，.因此原方程的根为例7、已知方程有两个根是，解此方程.分析：该题为已知两个根，求方程的余下的根，因此可应用韦达定理求解.解 由于实系数方程的非实复根成对出现且有相同的重数，故，也是此方程的根.由根的个数定理可知此方程有5个根，不妨设第5个根为，则有由韦达定理可知解得故原方程的5个根分别为.例8、若方程的6个根分

18、别为，求和的值.解析 设为方程的6个根，由推广的韦达定理得因此，和.归纳 本题为6次方程，系数也很大，初看好像只有一种办法，那就是将展开然后比较系数得出答案，这是一个非常巨大的体力工作，如果巧妙地运用推广的韦达定理，便能很快求出所需答案.例9、已知为一个三次多项式，也是一个三次多项式，满足，且得三个根恰好是的三个根的平方，求的大小.解析 设为方程的三个根，由韦达定理知则有因此，原方程为，故.例10、求有单根1、和有重根3的四次方程.解析 由题意可得，设四次多项式，由推广的韦达定理可得故，即所求四次方程为.归纳 此类型题目为已知根求一元高次方程，根据推广的韦达定理，可以反推得出一元高次方程的各项

19、系数，进而推得一元高次方程.例11、(湖北孝感)已知关于方程有两个实根（1）求的取值范围；（2）若，求的值.解析 （1）由题意可知，可得，解得.（2）由可得，又，因此，解得（舍），所以，的值是.归纳 巧妙地将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种学习数学解题方法.同时应该注意考虑方程的根的个数问题，即根式判别式的取值范围.例12、已知一元二次方程，不解方程，求作以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程.解析 由题意可设的两根为，那么所求的方程的根为和.由推广的韦达定理可知所以因此，根据韦达定理可得，所求方程为.归纳 本题巧妙地运用根与系数的关系，把两个方程的根与系数联系起来，为解题提供便道.总结 推广的韦达定理在初等代数、解析几何、方程论、多项式及其他数学领域应用极为广泛，巧妙地运用推广的韦达定理解决一些数学问题，不但可以为解题提供便利之道，还有利于激发学习数学的积极兴趣，并养成严谨的解题习惯.致谢本毕业论文得以顺利完成，首先应当归功于王琪教授的精心指