2010-2019理科数学高考真题分类训练 专题8立体几何 第23讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案

1、专题八立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分2019 年1.解析 如图所示，联结 be ， bd .因为点 n 为正方形 abcd 的中心 ecd 为正三角形，平面 ecd 平面 abcd ，m 是线段 ed 的中点，所以 bm 平面 bde ， en 平面 bde ，因为 bm 是 bde 中 de 边上的中线， en是bde 中 bd 边上的中线，直线 bm ， en是相交直线，设 de =a，则bd = 2a ， be =3 5a 2 + a4 42= 2a，所以 bm =62a ， en =3 1a 2 + a 2 =a 4 4，所以 bm en故选 b2.解析

2、：对于 a， a内有无数条直线与 b平行，则 a 与 b相交或 ab，排除； 对于 b， a内有两条相交直线与 b平行，则 ab；对于 c， a， b平行于同一条直线，则 a 与 b相交或 ab，排除；对于 d， a， b垂直于同一平面，则 a与 b相交或 ab 故选 b3.证明：（1）因为 d，e 分别为 bc，ac 的中点，所以 edab.在直三棱柱 abc-a b c 中，aba b ，1 1 1 1 1所以 a b ed.1 1又因为 ed 平面 dec ，a b 平面 dec ，1 1 1 1所以 a b 平面 dec .1 1 1（2）因为 ab=bc，e 为 ac 的中点，所以

3、beac.，排除因为三棱柱 abc-a b c 是直棱柱，所以 cc 平面 abc.1 1 1 1又因为 be 平面 abc，所以 cc be.1因为 c c 平面 a acc ，ac 平面 a acc ，c cac=c， 1 1 1 1 1 1所以 be平面 a acc .1 1因为 c e 平面 a acc ，所以 bec e.1 1 1 14.解析：由 l，m 是平面外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得： 若l a，l m，则 m p a由线面平行、垂直的性质定理得 m p a，l a，则l m.2010-2018 年1a【解析】记该正方体为abcd -abcd，正方体的每条棱所

4、在直线与平面a所成的角都相等，即共点的三条棱 aa， ab，ad与平面 a所成的角都相等，如图，decabfjgdcaih b连接ab，ad，bd，因为三棱锥a-abd是正三棱锥，所以aa ， ab，ad与平面abd所成的角都相等，分别取c d，bc，bb，ab，ad，dd的中点e，f，g，h，i ， j ，连接 ef ， fg gh ， ih ， ij ， ie ，易得 e ， f ， g ， h ， i ， j 六点共面，平面efghij与 平 面abd平 行 ， 且 截 正 方 体 所 得 截 面 的 面 积 最 大 ， 又e f=f g=g =h i=h2 3 2 3 3 =i j =

5、，j所e以该正六边形的面积为6 ( ) 2 =2 4 3 4，所以a截此正方体所得截面面积的最大值为3 34，故选 a2c【解析】解法一 如图，e1f1d1c1补上一相同的长方体a1b1edca bcdef -c d e f ，连接 de ， b e1 1 1 1 1 1 1f易知ad de1 1，则b de1 1为异面直线ad1与db1所成角因为在长方体abcd -a b c d1 1 1 1中，ab =bc =1，aa = 31，11所以de =1de 2 +ee 2 = 12 +( 3) 2 =21，db = 12 +12 +( 3) 2 = 5 1，b e = a b 2 +a e 2

6、 = 12 +2 2 = 5 1 1 1 1 1 1，在db de1 1中，由余弦定理，得cos b de = 1 12 2 +( 5) 2 -( 5) 2 5=2 2 5 5，即异面直线 ad 与 db 所成角的余弦值为1 155，故选 c解法二 以 d 为坐标原点， da ， dc ， dd 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐1标系，如图所示zd1c1a1b1dcyxab由条件可知d (0,0,0)，a(1,0,0)，d (0,0, 3)1，b (1,1, 3)1，所以ad =( -1,0, 3) ， db =(1,1, 3) 1 1，则由向量夹角公式，得ad db

7、2 5cos = 1 1 = =| ad | db | 2 5 5 1 1，即异面直线 ad 与 db 所成角的余弦值为1 155，故选 c3a【解析】若m a，n a，mn，由线面平行的判定定理知ma若ma， m a，n a，不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“ma”的充分不必要条件故选 a4d【解析】由题意知四棱锥s -abcd为正四棱锥，如图，sdcoae mb连接bd，记ac bd =o，连接so，则so 平面abcd，取ab的中点m，连接sm，om，oe，易得ab sm ，则 q2=seo ， q3=smo ，易知 q q32因为ombc，bc ab，sm ab ，所以

8、q 也为3om与平面sab所成的角，即bc与平面 sab 所成的角，再根据最小角定理知，q q，所以 q q q3 1 2 3 1，故选 d5c【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线 ab 与 bc 所成角为 b ad1 1 1 1bacdb1c1b d = b c 2 +c d 2 -2 b c c d cos 60 = 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ad = 2ab = 5，11d1+22a11-2 12 = 32,cos b ad = 1 1ab 2 +ad 2 -b d 2 1 1 1 12 ab ad 1 1=( 5)2 +( 2) 2 -( 3) 2 5 22

9、=105选 c6b【解析】设o为三角形abc中心，底面如图 2，过o作oe rp，of pq，og rq，由题意可知tana =do od od ， tan b = ， tan g = ，oe of ogdycqaperbofgqcargoepfb x图 1图 2由图 2 所示，以p为原点建立直角坐标系，不妨设ab =2，则a( -1,0)，b(1,0)，c (0, 3)，o (0,33) ， ap =pb ，bq cr 1 2 3 2 3 = =2 ， q ( , ) ， r ( - , )qc ra 3 3 3 3，则直线 rp 的方程为y =-32x，直线pq的方程为y =2 3x，直线

10、rq的方程为3 5 3y = x +3 9，根据点到直线的距离公式，知oe =2 21 39 1 ，of = ，og =21 39 3，of og oe，tan atan gtan b，因为 a ， b ， g为锐角，所以agb选 b7a【解析】因为过点a的平面a与平面cb d1 1平行，平面abcd平面a b c d1 1 1 1，所以mb d1 1bd，又a b1平面cb d1 1，所以na b1，则bd与a b1所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为32，选 a8b【解析】由“ m a且 l m ”推出“ l a 或 l a”，但由“m a且 l a”可推出“ l m ”， 所以“

11、 l m ”是“ l a”的必要而不充分条件，故选 b9b【解析】解法一 设adc =q，ab =2，则由题意知ad =bd =ad=1在空间图形中，连结 ab，设 ab=t 在adb中， cos adb =ad2 +db 2 -ab2 12 +12 -t 2 2 -t= =2 addb 2 11 22过a作andc，过b作bm dc，垂足分别为n、m过 n 作 np / /mb ，使四边形 bpnm 为平行四边形，则 np dc ，连结ap,bp ，则 anp 就是二面角 a-cd -b的平面角，所以anp =a在rtand 中， dn =adcos adc =cosq，an=adsin a

12、dc =sinq同理，bm =pn =sinq，dm =cosq，故bp = mn = 2cosq显然 bp 平面 anp ，故 bp ap在rtabp 中， ap2=ab -bp2=t2-(2cosq)2=t2-4cos2q在anp 中， cosa =cos anp =an2 +np 2 -a 2 annpp2=sin 2 q+sin 2 q-(t 2 -4cos 2 q) 2 +2cos 2 q-t2 2 -t 2 cos 2= = +2sin 2 q 2sin 2 q 2sin 2 q sin 2qq=1sin 2qcos adb +cos 2sin 2qq，所以cosa-cos adb

13、 =1sin 2qcos acos 2 qdb + -cos a sin 2 qdb=1 -sin 2sin 2 qqcos acos 2 q cos 2 qdb + = (1+cos a sin 2 q sin 2 qdb ) 0，所以cos a cos adb （当 q=p2时取等号），因为 a ， adb 0,p ，而 y =cos x 在 0, p 上为递减函数，所以a adb，故选 b解法二 若ca cb，则当a = p时，acb 0 ， adb 0，排除 a、c，故选 b10d【解析】利用正方体模型可以看出，l1与l4的位置关系不确定选 d11c【解析】选项a, b, d 中 m

14、均可能与平面 a平行、垂直、斜交或在平面 a内，故选 c 12b【解析】对于选项 a，若m / /a, n / /a,，则m与n可能相交、平行或异面，a 错误；显然选项 b正确；对于选项 c，若m a，m n，则n a或n / /a，c 错误；对于选项 d，若m / /a，m n，n / /a 或 n a 或 n 与 a相交，d 错误故选 b则13d【解析】作 ph bc ，垂足为 h ，设 ph =x ，则 ch =3 x，由余弦定理ah = 625 +3 x2-40 3，tanqph=tan pah = =ah1625 40 3- +3x 2 x1( 0)x，故当1 4 3 5 3 = 时

15、， tan q 取得最大值，最大值为 x 125 914b【解析】直线op与平面a bd1所成的角为a的取值范围是aoa 1p2 c oa1 1，由于 sin aoa =163，sin c oa =2 1 16 3 2 2 6 p = ， sin =13 3 3 3 2所以 sin a 的取值范围是 15d【解析】作正方形模型，63a,1为后平面，b为左侧面mlln可知 d 正确16d【解析】a 中m, n可能平行、垂直、也可能为异面；b 中m, n还可能为异面；c 中m应与b中两条相交直线垂直时结论才成立，选 d17b【解析】利用排除法可得选项 b 是正确的， l a， l b，则 a b如

16、选项 a：l a， lb时， a b或 ab；选项 c：若 a b， l a，lb或 l b；选项 d：若 a b, l a，lb或lb18b【解析】过点a作ae bd，若存在某个位置，使得ac bd，则bd 面ace，从而有bd ce，计算可得bd与ce不垂直，则 a 不正确；当翻折到ac cd时，因为bc cd，所以 cd 面 abc ，从而可得 ab cd ；若 ad bc ，因为 bc cd ，所以 bc 面 acd ，从而可得bc ac，而ab =1 2 =bc，所以这样的位置不存在，故 c 不正确；同理，d 也不正确，故选 b19d【解析】对于 d，若平面 a 平面 b，则平面 a

17、内的某些直线可能不垂直于平面 b，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 b 内，其余选项易知均是正确的b20d【解析】d 两平行直线的平行投影不一定重合，故 a 错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知b、c均错误，故选 d21 40 2p 【解析】如图所示，sasb设 s 在底面的射影为 s ，连接as ，ss dsab 的面积为 1 1 15sasbsin asb = sa2 1 -cos 2 asb = sa2 =5 15 2 2 16， sa2 =80 ， sa =4 5 sa 与底面所成的角为 45 ， sas=45，as2=sacos 45 =4 5

18、 =2 102底面周长l =2pas=4 10p，圆锥的侧面积为124 5 4 10p=40 2p22【解析】对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设aa为直线m，cd为max直线n,abcd所在的平面为 aabcd所在的平面为b，显然这些直线和平面满足题目条件，但 a b不成立命题正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 a相交于直线 l ，则 l n ，由m a，有m l，从知m n结论正确由平面与平面平行的定义知命题正确由平行的传递性及线面角的定义知命题正确2378【解析】如图连接 nd ，取 nd 的中点 e ，连接 me , ce ，则 me / / an则异面直线a

19、n，cm所成的角为emc，由题意可知cn =1 ， an = 2 2，me = 2又cm = 2 2，dn = 2 2，ne = 2，ce = 3，则cos cme =cm 2 +em 2 -ce 2 8 +2 -3 7= =2cm em 2 2 2 2 82425【解析】ab为x轴，ad为y轴，aq为z轴建立坐标系，设正方形边长为2cosq=2 -m 5 m 2 +5, 令 f ( m ) =2 -m 5m 2 +25( m 0,2)f(m) =(2 -m ) 10 m- 5m 2 +25 -2 5m 2 +25 5m 2 +25m 0,2,f(m) 0f ( m)max= f (0) =2

20、 2 ，即 cos q =5 525【解析】如图bdef为底面圆的内接正方形，设ac =bc =1，则ab =ad =ae =af =fb =fe =ed =bd =2，即侧面均为等边三角形，ac 底面bdef，afecbd假设a fb，由题意b bd，当直线ab与a成 60角时，由图可知ab与b成 60角，所以错，正确；假设 a eb ，可知正确，错所以正确为26【证明】(1)在平行六面体abcd -a b c d1 1 1 1中，ab a b1 1因为ab 平面a b c1 1，a b 1 1平面a b c1 1，所以ab平面a b c1 1a1d1b1c1adbc(2)在平行六面体abc

21、d -a b c d1 1 1 1中，四边形abb a1 1为平行四边形又因为aa =ab1，所以四边形abb a1 1为菱形，因此ab1a b1又因为 ab b c ， bc b c 1 1 1 1 1所以 ab bc 1，又因为a b1bc = b ， a b 平面 a bc ， bc 平面 a bc ，1 1 1所以ab1平面a bc1因为ab 1平面abb a1 1，所以平面abb a1 1平面a bc127【解析】(1)由ab =2，aa =41，bb =21，aa ab1，bb ab1得ab =a b =2 2 1 1 1，所以a b 21 1+ab 21=aa 21故ab a b

22、1 1 1由bc =2，bb =21，cc =11，bb bc1，cc bc1得b c = 51 1，由ab =bc =2，abc =120 得 ac =2 3，由cc ac ，得 ac = 13 ，所以 ab 2 1 1 1+b c 21 1=ac 21，故ab b c1 1 1因此 ab 平面 a b c 1 1 1 1(2)如图，过点 c 作 c d a b ，交直线 a b 于点 d ，连结 ad 1 1 1 1 1 1a1b1adc1cb由 ab 平面 a b c 得平面 a b c 平面 abb ， 1 1 1 1 1 1 1 1由c d a b 1 1 1得c d 1平面abb1

23、，所以c ad1是ac1与平面abb1所成的角由b c = 51 1，a b =2 2 1 1，ac =1 12111得 cos c a b = 1 1 167，sin c a b = 1 1 117，所以c d 39c d = 3 ，故 sin c ad = 1 =ac 131因此，直线 ac 与平面 abb 所成的角的正弦值是1 13913方法二 (1)如图，以ac的中点o为原点，分别以射线ob，oc为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系 o -xyz za1b1c1ao cyxb由题意知各点坐标如下：a(0, - 3,0) ， b (1,0,0) ， a (0, - 3,4) ， b (

24、1,0,2) ， c (0, 3,1)1 1 1，因此ab =(1, 3,2)1，a b =(1, 3, -2) 1 1，ac =(0,2 3, -3) 1 1，由由ab ab =0 得 ab a b 1 1 1 1 1 1ab ac =0 得 ab ac 1 1 1 1 1 1所以ab 1平面a b c1 1 1(2)设直线ac1与平面abb1所成的角为q由(1)可知ac =(0,2 3,1) ， ab =(1, 3,0) ， bb =(0,0,2) 1 1，设平面 abb 的法向量 n = ( x, y,z ) 11由 n ab =0 n bb =01x+3y =0 ，即 2z=0，可取n

25、 =( - 3,1,0)所以| ac n| 39sin q =|cos |= 1 =| ac | |n | 13 1因此，直线ac1与平面abb1所成的角的正弦值是391328【解析】（）如图，设 pa 中点为 f，连结 ef，fbpfhqeandbm c因为 e，f 分别为 pd，pa 中点，所以 efad 且ef =12ad，又因为 bcad，bc =12ad，所以efbc 且 ef=bc，即四边形 bcef 为平行四边形，所以 cebf，因此 ce平面 pab（）分别取 bc，ad 的中点为 m，n连结 pn 交 ef 于点 q，连结 mq因为 e，f，n 分别是 pd，pa，ad 的中

26、点，所以 q 为 ef 中点， 在平行四边形 bcef 中，mqce由dpad为等腰直角三角形得pnad由 dcad，n 是 ad 的中点得 bnad所以 ad平面 pbn，由 bcad 得 bc平面 pbn，那么，平面 pbc平面 pbn过点 q 作 pb 的垂线，垂足为 h，连结 mhmh 是 mq 在平面 pbc 上的射影，所以qmh 是直线 ce 与平面 pbc 所成的角 设 cd=1在 dpcd 中，由 pc=2，cd=1，pd= 2 得 ce= 2 ，在pbn 中，由 pn=bn=1，pb= 3 得 qh =14，在 rtdmqh 中， qh =14，mq= 2 ，所以sin qm

27、h =28，所以，直线 ce 与平面 pbc 所成角的正弦值是2829【解析】证明：（1）在平面 abd 内，因为 ab ad ， ef ad ，所以 ef ab 又因为ef 平面 abc， ab 平面 abc，所以 ef 平面 abc（2）因为平面 abd 平面 bcd ，平面abd平面 bcd= bd ，bc 平面 bcd ， bc bd ，所以bc 平面 abd 因为 ad 平面 abd ，所以 bc ad 又 ab ad ，bc ab =b， ab 平面abc，bc 平面abc，所以 ad 平面 abc ，又因为ac平面abc，所以 ad ac 30【解析】（）因为 ap be， ab

28、 be，ab， ap 平面 abp，abap =a，所以 be 平面 abp ，又 bp 平面 abp，所以 be bp，又ebc =120，因此cbp =30（）解法一：取 ec 的中点 h ，连接 eh ， gh ， ch 因为ebc =120，所以四边形behc为菱形，所以ae =ge =ac =gc = 32 +22= 13取 ag 中点 m ，连接 em ， cm ， ec 则em ag，cm ag，所以 emc 为所求二面角的平面角又 am =1，所以em =cm = 13 -1 =2 3在 dbec 中，由于 ebc =120，由余弦定理得ec2=22+22-2 2 2 cos1

29、20 =12，所以ec =2 3，因此demc为等边三角形，故所求的角为解法二：60以 b为坐标原点，分别以 be ， bp ， ba 所在的直线为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得 a(0,0,3) e (2,0,0)， g (1, 3,3)， c ( -1, 3,0)，故 ae =(2,0, -3)， ag =(1, 3,0)， cg =(2,0,3)，设m =( x , y , z ) 1 1 1是平面 aeg 的一个法向量由 m ae =0 m ag =0可得 2 x -3 z =0, 1 1x + 3 y =0, 1 1取z =21，可得平面 aeg 的一

30、个法向量m =(3, - 3, 2)设n =( x , y , z ) 2 2 2是平面 acg 的一个法向量nag=0 由 可得 ncg=0 x + 3 y =0, 2 22 x +3 z =0, 2 2取z =-22，可得平面acg的一个法向量n =(3, - 3, -2)m n 1cos =所以| m | |n | 2 60因此所求的角为31【解析】（1）由正棱柱的定义，cc 1平面abcd，所以平面a acc 1 1平面abcd ， cc ac1记玻璃棒的另一端落在cc1上点m处因为ac =10 7，am =40所以mn =402-(10 7)2=30 ，从而 sin mac =34记

31、 am 与水平的交点为 p ，过 p 作 pq ac ， q 为垂足，1 1 1 1 1则pq 平面 abcd ，故 pq =12 1 1 1 1，从而ap =1pq1 1 =16sin mac答：玻璃棒 l没入水中部分的长度为 16cm( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)（2）如图， o ， o 是正棱台的两底面中心1由正棱台的定义， oo 平面 efgh ，1所以平面e egg1 1平面 efgh ， oo eg1同理，平面e egg1 1平面e f g h1 1 1 1，oo e g1 1 1记玻璃棒的另一端落在 gg 上点 n1处过 g作 gke g1

32、 1， k 为垂足， 则 gk= oo =321因为eg= 14，e g1 1= 62，所以 kg =162 -142=24，从而 gg = kg 2 1 1+gk2= 242+322=40设egg =a, eng =b, 1则sina =sin(p2+kgg ) =coskgg =1 145因为p 3 ap，所以cos a =-2 5在 eng 中，由正弦定理可得40 14=sin a sin b，解得sin b =725因为于是p 240 b，所以 cos b =2 25sin neg =sin( p-a-b)=sin(a+b)=sinacosb+cosasinb4 24 3 7 3 = +( - ) =5 25 5 25 5记 en与水面的交点为p2，过p 作 p q eg 2 2 2，q2为垂足，则p q2 2平面 efgh，故p q =12，从而 ep = 2 2 2p q2 2 =20sin