安徽省2003-2015中考数学压轴题(含解析)

1、安徽省 2003-2015 中考数学压轴 题(含解析)1.（2003 安徽）如图，这些等腰三角形与正三角 形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近 程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保 证相似三角形的“正度”相等。bba设等腰三角形的底和腰分别为 a，b，底角和 顶角分别为，。要求“正度”的值是非负数。同学甲认为：可用式子 |a-b|来表示“正度”， |a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子 | - | 来表示“正 度”，| - | 的值越小，表示 等腰三角形越接近正三角形。探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？ （2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（

2、给出式子即可）；（3）请再给出一种衡量“正度”的表达2式解：（1）同学乙的方案较为合理。因为 |-|的 值越小，与越接近 600，因而该等腰三角形越 接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度” 相等。 2 分同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正 度”相等。如：边长为 4，4，2 和边长为 8，8，4 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 ， 但 |2-4|=2 |4-8|=46分（2） 对同学甲的方案可改为用 等（k 为正数）来 表示“正度” 10 分（3） 还可用 等来表示“正度”说明：本题只要求学生在保证相似三角形的“正度” 相等的前提下，用式子对“正度”作大致的刻画， 第（2

3、）、（3）小题都是开放性问题，凡符合要求的 均可。理科实验班试题（共两小题，每小题 10 分，共 20 分）解：（1）满足要求的分配方案有很多，如： 学校 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10名额 1 1 1 2 2 2 3 3 737 2 分（2）假设没有 3 所学校得到相同的名额，而每校 至少要有 1 名，则人数最少的分配方案是：每两所 学校一组依次各得 1，2，3，4，5 个名额，总人数 为 2（1+2+3+4+5）=30。但现在只有 29 个名额， 故不管如何分配，都至少有 3 所学校分得的名额相同。6 分（3）假设每所学校分得的名额都不超过 4，并且 每校的名额不少于 1，则在分

4、到相同名额的学校少 于 4 所的条件下，10 所学校派出的选手数最多不 会超过 34+33+32+11=28 ，这与选手总数 是 29 矛盾，从而至少有一所学校派出的选手数不小5。于10分2.（2004 安徽）形提供剪切可以拼成三角形。方 法如下： 图仿上面图示的方法，回答下列问题： 操作设计：41 如图对直角三角形，设计一种方案，将它 分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的 矩形。2 如图对于任意三角形，设计一种方案，将 它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的 矩形。图 方法一：二图方法略。3、（2005安徽）在一次课题学习中活动中，老师5提出了如下一个问题：点 p 是正方形 abcd

5、内的一点，过点 p 画直线 l 分 别交正方形的两边于点 m、n，使点 p 是线段 mn 的 三等分点，这样的直线能够画几条？经过思考，甲同学给出如下画法：如图 1，过点 p 画 peab 于 e，在 eb 上取点 m， 使 em=2ea ，画直线 mp 交 ad 于 n，则直线 mn 就是 符合条件的直线 l根据以上信息，解决下列问题：（1）甲同学的画法是否正确？请说明理由； （2）在图 1 中，能否画出符合题目条件的直线？ 如果能，请直接在图 1 中画出；（3）如图 2，a ，c 分别是正方形 abcd 的边 ab、1 1cd 上的三等分点，且 a c ad当点 p 在线段 a c1 1

6、11上时，能否画出符合题目条件的直线？如果能，可 以画出几条？（4）如图 3，正方形 abcd 边界上的 a ，a ，b ，1 2 1b ，c ，c ，d ，d 都是所在边的三等分点当点 p 2 1 2 1 2在正方形 abcd 内的不同位置时，试讨论，符合题 目条件的直线 l 的条数的情况6解答：解：（1）的画法正确；pead，mpemna， ，em=2ea，mp：mn=2：3，点 p 是线段 mn 的一个三等分点（2）能画出一个符合题目条件的直线，在 eb 上取 m ，使 em = ae，直线 m p 就是满足条件的直线，图1 1 12；（3）若点 p 在线段 a c 上，能够画出符合题目

7、条1 1件的直线无数条，图 3；（4）若点 p 在 a c ，a c ，b d ，b d 上时，可以画1 1 2 2 1 1 2 2出无数条符合条件的直线 l；7当点 p 在正方形 a b c d 内部时，不存在这样的直0 0 0 0线是线等分当点l，使得点 p 段 mn 的三点；p 在 矩 形abb d ，cdd b ，a d d d ，b b b c 内部时，过点 p 1 1 2 2 0 0 2 1 0 1 2 0可画出两条符合条件的直线 l，使得点 p 是线段 mn 的三等分点4.（2006 安徽）如图（ l ） ，凸四边形 abcd ， 如果点 p 满足apd apb =。且b p c

8、 cpd ，则称点 p 为四边形 abcd 的一个半等角点( l ) 在图（ 3 ）正方形 abcd 内画一个 半等角点 p，且满足。( 2 ) 在图（ 4 ）四边形 abcd 中画出一 个半等角点 p，保留画图痕迹（不需8写出画法） .( 3 )若四边形 abcd 有两个半等角点 p 、1p （如图（ 2 ） ） ，证明线段 p p 2 1 2上任一点也是它的半等角点 。95.(2007 安徽)如图 1，在四边形 abcd 中，已 知 ab=bc cd，bad 和cda 均为锐角，点 p 是 对角线 bd 上的一点，pqba 交 ad 于点 q，psbc 交 dc 于点 s，四边形 pqrs

9、 是平行四边形。ccbpsbrraq图1da图2d（1）当点 p 与点 b 重合时，图 1 变为图 2，若 abd 90，求证：abrcrd；（2）对于图 1，若四边形 prds 也是平行四边形， 此时，你能推出四边形 abcd 还应满足什么条件？105.（1）证明：abd=90，abcr，crbd bc=cd，bcr=dcr2 分四边形 abcr 是平行四边形，dcbcr=barbar= dcr4 分ps又 ab=cr，ar=bc=cd ，abr aq r bcrd 6 分（2）由 psqr，psrd 知，点 r 在 qd 上，故 bc ad。8 分又由 ab=cd 知a=cda 因为 sr

10、pqba ，所以 srd= a=cda，从而 sr=sd。9 分由 psbc 及 bc=cd 知 sp=sd 。而 sp=dr ，所以sr=sd=rd故cda=60。11 分因 此 四 边 形 abcd 还 应 满 足 bc ad ， cda=6012 分（注：若推出的条件为 bcad，bad=60或 bc ad，bcd=120等亦可。）6.（2008 安徽） 已知：点 o 到abc 的两边 ab、 ac 所在直线的距离相等，且 oboc。（1 ）如a a图 1，若点11obocbco 在 bc 上，求证：abac； 【证】（2）如图 2，若点 o 在abc 的内部，求证：ab ac；【证】（

11、3）若点 o 在abc 的外部，abac 成立吗？请 画图表示。【解】2.证明：（1）过点 o 分别作 oeab，ofac，e、 f 分别是垂足，由题意知，oeof，oboc，rt oeb rt ofc b c ， 从 而 ab ac。3 分（2）过点 o 分别作 oeab，ofac，ef 分别是垂 足，由题意知， oeof。在 rt oeb 和 rt ofc 中，oeof，oboc，rtoebrtofe 。12obeocf，又由 oboc 知obcocb， abcacd，abac。 9 分解：（3）不一定成立。10 分（成（ 不（注：当a 的平分线所在直线与边 bc 的垂直平 分线重合时，有

12、 abac；否则， abac，如示例 图）137.（2008 安徽）刚回营地的两个抢险分队又接到 救灾命令：一分队立即出发往 30 千米的 a 镇；二 分队因疲劳可在营地休息 a（0a3）小时再往 a 镇参加救灾。一分队了发后得知，唯一通往 a 镇的 道路在离营地 10 千米处发生塌方，塌方地形复杂， 必须由一分队用 1 小时打通道路，已知一分队的行 进速度为 5 千米/时，二分队的行进速度为（4a） 千米/时。若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到 a 镇？【解】若二分队和一分队同时赶到 a 镇，二分队应在营 地休息几小时？【解】下列图象中，分别描述一分队和二分队离 a 镇的距离 y(千

13、米)和时间 x(小时)的函数关系，请 写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实 际意义。7.解：（1）若二分队在营地不休息，则 a0，速14度为 4 千米/时，行至塌方处需1042.5（小时）因为一分队到塌方处并打通道路需要10513（小时），故二分队在塌方处需停留 0.5 小时，所以二 分队在营地不休息赶到 a 镇需 2.5+0.5+ 20 8（小4时） 3 分（2）一分队赶到 a 镇共需 30 +17（小时）5（）若二分队在塌方处需停留，则后 20 千米需 与一分队同行，故 4+a 5，即 a=1，这与二分队在 塌方处停留矛盾，舍去； 5 分 （）若二分队在塌方处不停留，则（ 4+a

14、）(7a)=30，即 a23a+2 0,解得 a =1，a =2 均符合题1 2意。答：二分队应在营地休息 1 小时或 2 小时。（其他 解法只要合理即给分） 8 分(3)合理的图像为（ b ） 、（d）.12 分图像（ b）表明二分队在营地休息时间过长（ 2a 3），后于一分队赶到 a 镇；图像（ d）表明二分队在营地休息时间恰当（ 1a15c2），先于一分队赶到 a 镇。 14 分8.（2009 安徽）如图，m 为线段 ab 的中点，ae 与 bd 交于点 c，dmeab，且 dm 交 ac 于 f，me 交 bc 于 g（1）写出图中三对相似三角形，并证a 明其m 中的b一对；（2）连结

15、 fg，如果 45，ab 3，求 fg 的长f4 d 2g，afe8（1）证：amf bgm，dmgdbm，emf eam（写出两对即可）2 分以下证明amfbgmafm dme ea e bmg，ab amf bgm 6 分（2）解：当 45时，可得 acbc 且 ac16bc2 2m 为 ab 的中点， am bm 7 分又amfbgm， af bm=am bgam gbm 2 2 2 2 8 bg = = =af 3 39 分又ac =bc =4 2 cos45 o =4， 8 4 cg =4 - =3 3，cf =4 -3 =14 5fg = cf 2 +cg 2 = 12 +( )

16、2 =3 312 分9（2009 安徽）已知某种水果的批发单价与批发 量的函数关系如图（ 1）所示（1）请说明图中、两段函数图象的实际意金额 w（元）义批发单价（元）30054200100o20 40 60批发量 m（kg）o20 60第 9 题图（1）批发量（kg）17（7，40 ）40200（2）写出批发该种水果的资金金额 w（日最元高销）量（与kg）批发量 m（kg）之间的80（6，80 ）函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象； 指出金额在什o 2 4 6 8么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该 种水果（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销 量与零售价之间的函数关系如

17、图（ 2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进 货和销售的方案，使得当日获得的利润最大零售价（元）9（1）解：图表示批发量不少于 20kg 且金额不w（多元）于 60kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发；3300 分240图表示批发量高于 60kg 的该种100水果，可按 4 元/kg 批发o20 40 60批发量 m（kg ）18 3 分（2）解：由题意得：w=5 m4 m（20 m 60），函数图象 （m60）如图所示 7 分由图可知资金金额满足 240 w300 时，以同样的资金可批 发 到 较 多 数 量 的 该 种 水 果8

18、 分（3）解法一：设当日零售价为 x 元，由图可得日最高销量w =320 -40m当 m60 时，x6.5 由题意，销售利润为y =( x -4)(320 -40 m) =40-(x -6)2+4 12 分当 x6 时， ，此时 m80y =160最大值即经销商应批发 80kg 该种水果，日 零售价定为 6 元/kg，当 日 可 获 得 最 大 利 润 16019aaaa元14 分 解法二：设日最高销售量为 xkg（x60）则由图日零售价 p 满足：x =320 -40 p，于是p =320 -x40销售 利 润y =x(320 -x 1-4) =- ( x -80) 40 402+16012

19、 分10.（2010 安徽）如图，已知abc ，相似ab c1 1 1比为 （ ），且 abc 的三边长分别为 、 、 k k 1 b c（ ）， 的三边长分别为 、 、 。 a b c a b c b c1 1 1 1 1 1若 ，求证： ；c =a a =kc1若 ，试给出符合条件的一对 abc 和 ，c =a a b c1 1 1 1 使得 、 、 和 、 、 进都是正整数，并加以说b c b c1 1 1明；若， ，是否存在abc 和 使得 ？ b =a c =b a b c k =21 1 1 1 1请说明理由。2011.（2011 安徽）如图，正方形 abcd 的四个顶点 分别在四

20、条平行线 l 、l 、l 、l 上，这四条直线1 2 3 4中相邻两条之间的距离依次为 h 、h 、h （h 0，1 2 3 1h 0，h 0）. 2 3(1)求证 h =h ；1 3【解】第 11 题(2) 设正方形 abcd 的面积为 s.求证 s=（h +h ）22 3h 2 ；1【解】(3)若32h +h =1 1 2,当 h 变化时，说明正方形 abcd 的 1面积为 s 随 h 的变化情况.1【解】11. （2011 安徽）（1）过 a 点作 afl 分别交 l 、3 22112+2 h h +h =( h +h ) +h2111242111l 于点 e、f，过 c 点作 chl

21、分别交 l 、l 于点 h、 3 2 2 3g，证abecdg 即可.（2）易证abebchcdgdaf,且两直角 边长分别为 h 、h +h ,四边形 efgh 是边长为 h 的1 1 2 2正方形，所以s =4 h (h+h )+h1 1 2 22=2 h12 2 2 21 2 2 1 2 1.(3)由题意，得h =1 -3 h 2 2 1所以 3 s =h +1 - h +h 2 5 2 4=h - +4 5 5h 0又 31 - h 0 225= h -h +11 1解得 0h 123当 0h 2 时，s 随 h 的增大而减小； 1 15当 h = 2 时，s 取得最小值 4 ；当 2

22、 h 2 时， 1 15 5 5 3s 随 h 的增大而增大.112.（2012 安徽）如图 1，在abc 中，d、e、f 分别为三边的中点，g 点在边 ab 上 bdg 与四边 形 acdg 的周长相等，设 bc=a、ac=b、ab=c.（1）求线段 bg 的长；gcfe22adb解：（2）求证：dg 平分edf; 证：（3）连接 cg，如图 2，若bdg 与 dfg 相似，求证：bgcg.证：acgf edb12.解（1）d、c、f 分别是abc 三边中点 de 1 ab,df 1 ac，2 2又bdg 与四边形 acdg 周长相等即 bd+dg+bg=ac+cd+dg+agbg=ac+a

23、gbg=abagbg=ab +ac=b +c2 2 （2）证明：bg=b +c ，fg=bg bf= b +c c b=2 2 2 223fg=df, fdg=fgd又deabedg=fgdfdg=edgdg 平分edf（3）在dfg 中，fdg=fgd, dfg 是等腰三 角形,bdg 与dfg 相似,bdg 是等腰三角形, b=bgd,bd=dg,则 cd= bd=dg, b、cg、三点共圆,bgc=90,bgcg13.（2012 安徽）如图，排球运动员站在点 o 处练 习发球，将球从 o 点正上方 2m 的 a 处发出，把球24看成点，其运行的高度 y（m）与运行的水平距离 x(m)满足

24、关系式 y=a(x-6) 2+h.已知球网与 o 点的 水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 o 点的水平距离为 18m。（1） 当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写 出自变量 x 的取值范围）（2） 当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出 界？请说明理由；（3） 若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的 取值范围。ya2球网边界o6 918x第 13 题图13.解析：（1）根据函数图象上面的点的坐标应该 满足函数解析式，把 x=0,y=2, 及 h=2.6 代入到 y=a(x-6) 2+h 中即可求函数解析式；（2）根据函数25解析式确定函数图象上点

25、的坐标，并解决时间问 题；（3）先把 x=0,y=2, 代入到 y=a(x-6) 2+h 中求出a =2 -h36；然后分别表示出 x=9,x=18 时，y 的值应满足的条件，解得即可 .解：（1）把 x=0,y=2, 及 h=2.6 代入到 y=a(x-6) 2+h即 2=a(0 6)2+2.6， a =-1601y=(x-6) 2+2.6-60（2）当 h=2.6 时，y=-160(x-6)2+2.6x=9 时，y=-160(96)2+2.6=2.45 2.43球能越过网x=18 时，y=-160(186)2+2.6=0.2 0球会过界（3）x=0,y=2, 代入到 y=a(x-6)2+h

26、 得a =2 -h36；x=9 时，y=2 -h36(96)2+h=2 +3h42.43 x=18 时，y=2 -h36(186)2+h8 -3h0 由 得 h832614（2013 安徽）我们把由不平行于底的直线截等 腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯 形”如图 1，四边形 abcd 即为“准等腰梯形”其 中b=c（1）在图 1 所示的“准等腰梯形”abcd 中，选择 合适的一个顶点引一条直线将四边形 abcd 分割成 一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三 角形和一个梯形（画出一种示意图即可）； （2）如图 2，在“准等腰梯形”abcd 中b=ce 为边 bc 上一点，若 abd

27、e，aedc，求证： = ； （3）在由不平行于 bc 的直线 ad 截pbc 所得的 四边形 abcd 中，bad 与adc 的平分线交于点 e若 eb=ec ，请问当点 e 在四边形 abcd 内部时（即 图 3 所示情形），四边形 abcd 是不是“准等腰梯 形”，为什么？若点 e 不在四边形 abcd 内部时， 情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）27解 解：（1）如图 1，过点 d 作 debc 交 pb 于 答 点 e，则四边形 abcd 分割成一个等腰梯形 ： bcde 和一个三角形 ade；（2）abde，b=dec，aedc，aeb=c，b=c，b=aeb，ab=ae在

28、abe 和dec 中，abedec， ， ；（3）作 efab 于 f，egad 于 g，ehcd 于 h，bfe=che=90ae 平分bad，de 平分adc， ef=eg=eh，在 rtefb 和 rtehc 中28，rtefbrtehc（hl），3=4be=ce，1=21+3=2+4即abc=dcb，abcd 为 ad 截某三角形所得，且 ad 不平行 bc，abcd 是“准等腰梯形”当点 e 不在四边形 abcd 的内部时，有两种情 况：如图 4，当点 e 在 bc 边上时，同理可以证明 efbehc，b=c，abcd 是“准等腰梯形”如图 5，当点 e 在四边形 abcd 的外部时，同 理可以证明efbehc，ebf=echbe=ce，3=4，29ebf3=ech4， 即1=2，四边形 abcd 是“准等腰梯形”3015. (2014 年安徽省)如图 1，正六边形 abcdef 的 边长为 a，p 是 bc 边上一动点，过 p 作 pmab 交 af 于 m，作 pncd 交 de 于 n（1）mpn= 60 ；求证：pm+pn=3a ；（2） 如图 2，点 o 是 ad 的中点，连接 om、on