2020版高考复习第七章数列

1、nnnn 1nn1 nn1 n2nnnnn 1 nn1 nn1 nn第七章数列及求和7.1数列的概念与简单表示1、数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它 的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项)2、数列的通项公式如果数列a 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项 公式3、数列的递推公式如果已知数列a 的第 1 项(或前几项)，且任何一项 a 与它的前一项 a (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即 a f(a )(或 a f(a ，a )等)，那么这个式子

2、叫做数列a 的递推公式 4、s 与 a 的关系n ns1，n1，已知数列a 的前 n 项和为 s ，则 a snsn1，n2，5、数列的分类这个关系式对任意数列均成立分类标准按项数分类类型有穷数列无穷数列满足条件项数有限项数无限按项与项间的大小 关系分类递增数列递减数列常数列a aa 0( 或 a 0 时， n 11 )，则 a a ，即数列a 是递增数列，所以数 n n a n1 n n列a 的最小项为 a f(1)；若有 an1a f(n1)f(n)0 时， n 11 )，则 a 0，a 1.成等差数列，则 an当 n2 时，2a 2(s s )a a2a1 n，1(a2a2 )(a a

3、)0.(a a )(a a )(a a )0， (a a )(a a 1)0，a a 0，a a 1， a 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，a n(nn *) 4、已知数列a 的前 n 项和为 s ，a 1，s 2a ，则 s ( )a2n13 2 1 b n1 c. n1 d n1解析：选 b s 2an2s2s 3s 2s1s 3 3 ，故数列s 为等比数列，公比是 ，又 s s 2 n 2 13 31，所以 s 1 n1 n1.故选 b.(n1)a5、已知数列a 的前 n 项和为 s ，且 a 1，s ，则 a ( )n n 1 n 2 2 019a2 018 b2 019 c4

4、 036 d4 038(n1)a na a a a a a解析：选 b 由题意知 n2 时，a s s ，化为 ， 2 2 n n1 n n1 11，a n.则 a 2 019.故选 b.方法技巧(1)先利用 a s 求出 a ；已知 s 求 a 的 3 个步骤第 3 页（共 33 页）nn n n1nnn1n1 nnn 1n1 nnn1nnnnn1 nn n1n n n1n1 n22 1 1nn1n1n22 11n1nn11nnn1nnnn11nn1nn1n1n1annn +1(2)用 n1 替换 s 中的 n 得到一个新的关系，利用 a s s (n2)便可求出当 n2 时 a 的表达式；

5、(3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式 合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写突破点四利用递推关系求通项例 51、在数列a 中，a 2，a a 3n2，求数列a 的通项公式n12、在数列a 中，a 1，a a (n2)，求数列a 的通项公式n 1 n n n1 n3、在数列a 中 a 1，a 3a 2，求数列a 的通项公式4、已知数列a 中，a 1，a12a ，求数列a 的通项公式 a 2解 (1)因为 a a 3n2，所以 a a 3n1(n2)， 所以 a (a a )(a a )(a a )a n(3n1)(n

6、2) 21 3 n当 n1 时，a 2 (311)，符合上式，所以 a n2 .1 2 n 2 2n1 n2 1(2)因为 a a (n2)，所以 a a ，a a .n n1 21 2 n1 a 1 1由累乘法可得 a a (n2)又 a 1 符合上式，a .n 1 2 3 n n n 1 n n(3)因为 a3a 2，所以 ana 113(a 1)，所以 3，所以数列a 1为等比数列，公比 qa 13，又 a 12，所以 a 123n1，所以 a 23n11.2a(4)a ，a 1，a 0，a 2a1 1 1 1 1 1 1 ，即 ，又 a 1，则 1， a 2 a a 2 a 1 1 1

7、 1 1 n 1 是以 1 为首项， 为公差的等差数列 (n1) ， n 2 an a1 2 2 2 2a (nn*)n1方法技巧典型的递推数列及处理方法1形如“an +1= pa +qn”，利用待定系数法求解。求数列a的通项公式的关键是将 nan +1=qa +bn转化为an +1+a =q ( a +a )n的 形 式 ， 其 中 a的 值 可 由 待 定 系 数 法 确 定 ， 即qa +b =a nn +1b=qa +( q -1)a a = ( q 1).q -12递推关系形如“an +1= pa +qnn”，两边同除 p 或待定系数法求解第 4 页（共 33 页）1n1n 1 n4

8、nn112 019nnnnnnmn m n 69nnn 2nn1 nminnn3nn 1 nnnn1n nnnnn2 3 4 n11 2 3n 13递推已知数列an中，关系形如“an +2= p an +1+q an”，利用待定系数法求解4递推关系形如a -pann -1=qa a （p,q 0),两边同除以 n n -1a an n -15累加法：an +1=a + f ( n ) na =( a -a n nn -1) +( an -1-an -2) +( an -2-an -3) +l +( a -a ) +a2 1 16累乘法：an +1=a f ( n ) na =na a a a

9、a n n -1 n -2 l3 2 aa a a a an -1 n -2 n -3 2 11、在数列a 中，a 1，a 2a 1(nn*)，则 a 的值为( c )a31b30 c15d632、已知数列a 满足 a 1 1，若 a ，则 a ( a ) 1a 2a11b2c1 d23、数列1,4，9,16，25，的一个通项公式为( b )aa n2ba (1)n n2ca (1)n1 n2da (1)n(n1)21 1 1 14、若数列的前 4 项分别是 ， ， ， ，则此数列的一个通项公式为( a )2 3 4 5(1)n a.n11(1)n bn1(1)n (1)n c. dn n15

10、、在各项均为正数的数列a 中，对任意 m，nn *，都有 a a a .若 a 64，则 a 等于( c )a256 b510 c512 d1 0246、设数列a 的通项公式为 a n2bn，若数列a 是单调递增数列，则实数 b 的取值范围为( c )9a(，1 b(，2 c(，3) d ，解析：选 c 因为数列a 是单调递增数列，所以 a a 2n1b0(nn*)，所以 b2n1(nn *)，所以 b(2n1) 3，即 ba 1”是“数列a 为递增数列”的( b )a充分不必要条件 c充要条件b必要不充分条件d既不充分也不必要条件9、设数列a 的前 n 项和为 s ，且 a 1，s na 为

11、常数列，则 a 等于( b )1a.3n12 6b c.n(n1) (n1)(n2)52nd3解析：选 b 由题意知，s na 2，当 n2 时，(n1)a (n1)ana a a a 1 2 n1 ，从而 ，a a a a 3 4 n1第 5 页（共 33 页）nnnn1nn n1 n1501n n1 n1 n n1 n12 1 1 3 2 2n n1 n11 3 2n n1 1 2n1n 1 1 21n501nn1n1nnn123nn1nn121n11n1n2 13 2n n1n 12nnn11n2nn1n1 nnn1n12341234nn1nnnnnnnn2 2有 a ，当 n1 时上式

12、成立，所以 a .n(n1) n(n1)1 50010、已知数列a ，b ，若 b 0，a ，当 n2 时，有 b b a ，则 b _ _.n(n1) 501解析：由 b b a 得 b b a ，所以 b b a ，b b a ，b b a ，所以 b 21 1 1b b b b b a a a ，即 b b a a a12 23 (n1)nn11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n1 n1 1 ，又 b 0，所以 b ，所以 12 23 (n1)n 1 2 2 3 n1 n n n nb 500.50111、已知在数列a 中，a n 8a (nn*)，且 a 4，则数列a 的通项公式

13、 a _ _. n2 n(n1)解析：由 ann a n a 1 a 2 a n1 a a ，得 ，故 ， ， (n2)，以上式子累乘得， n2 a n2 a 3 a 4 a n1 a1 2 n3 n2 n1 2 8 8 .因为 a 4，所以 a (n2)因为 a 4 满足上式，所以 a .3 4 n1 n n1 n(n1) n(n1) n(n1)n2n212、已知数列a 满足 a 2，a a n(n2，nn*)，则 a _ _.n 1 n n1 n 2解析：由题意可知，a a 2，a a 3，a a n(n2)，以上式子累加得，a a 23n.(n1)(2n)n2n2因为 a 2，所以 a

14、2(23n)2 (n2)1 n 2 2n2n2因为 a 2 满足上式，所以 a .1 n 2a a13、若数列a 是正项数列，且 a a a a n2n，则 a _2n22n_.n 1 2 3 n 1 2 n解析：由题意得当 n2 时， a n2n(n1)2(n1)2n，a 4n2.又 n1， a 2，a 4，a a a 1 4n，a n(44n)2n2 n 1 2 n 214、已知数列a 满足 a 3，a 4a 3.2n.(1)写出该数列的前 4 项，并归纳出数列a 的通项公式；a 1(2)证明： 4.a 1解：(1)a 3，a 15，a 63，a 255.因为 a 411，a 421，a

15、431，a 441，所以归纳得 a 4n1.(2)证明：因为 an1a 1 4a 31 4(a1)4a 3，所以 4.a 1 a 1 a 115、已知数列a 的通项公式是 a n2kn4.第 6 页（共 33 页）2 4nnna 1(1)若 k5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a 有最小值？并求出最小值；n(2)对于 nn *，都有 a a ，求实数 k 的取值范围n1 n解：(1)由 n25n40 ，解得 1na ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 a n2kn4，可以看作是关于 n 的二次函 n1 n nk 3数，考虑到 nn *，所以 3.所以实数 k 的取值范围为(3，)

16、2 216、已知数列a 的前 n 项和 s n2n n21，数列b 中，b ，且其前 n 项和为 t ，设 c tn 2nnt .1 n(1)求数列b 的通项公式； (2)判断数列c 的增减性n n解：(1)a s 2，a s s 1 1 n n n2n1(n2)，b 1 n231nn1 ，n2 .(2)由题意得 c bn nb1 nb2 2n11 1 1 ， n1 n2 2n1c c n1 n1 1 1 1 1 1 0 ， 2n2 2n3 n1 2n3 2n2 2n3 2n2c 0 时， s 有最小值，当 d 0，等差数列a 的前 3 项的和为3，前 3 项的积为 8，3a13d3， a12

17、， 或a1(a1d)(a12d)8， d3 d0，a 4，d3，a 3n7.a 4，d3.第 11 页（共 33 页）n1n7 94127 9 88n4 8 1212 8 4n3 4 51 273 4 5441 27 1 72 63 5 4 4n1 2 0192 1 010 2 018n3 57 10 13n3 74 6n3 7 4 63 73 7371n155n93nnnnn5 7 8 49 3939 36nn6 66 65 7 8 41 11116611661 11nn117 911n(2)a 3n7，a 374， n(43n7) n(3n11)s . n 2 2突破点二等差数列的性质及应

18、用例 3（性质应用）1、已知等差数列a 中，a a 16，a 1，则 a 等于( a )a15 b30 c31 d64解析：a a 2a 16，故 a 8.在等差数列a 中，a ，a ，a 成等差数列，所以 a 2a a 16115.2、如果等差数列a 中，a a a 12，那么 a a a ( c )a14 b21 c28 d35解：a a a 12，3a 12，a 4.a a a (a a )(a a )(a a )a 7a 28. 3、在等差数列a 中，若 a ，a 为方程 x210x160 的两根，则 a a a ( b )a10 b15 c20 d404、 在等差数列a 中，3(a

19、a )2(a a a )24，则该数列前 13 项的和是_26_5、 已知等差数列a 的公差是正数，且 a a 12，a a 4，求a 的通项公式解析 a a a a 4，又 a a 12a 、a 是方程 x24x120 的两根a12d6而 d0，a 6，a 2.a16d2，故 a 10，d2，a 2n12.s6、设 s 为公差不为零的等差数列a 的前 n 项和，若 s 3a ，则 等于( a )n n 9 8 3aa15 b17 c19 d21s 2n3 a a7、设等差数列a ，b 的前 n 项和分别为 s ，t ，若对任意自然数 n 都有 ，则 的t 4n3 b b b b值为_a a

20、a a a a a【解析】 a ，b 为等差数列， .b b b b 2b 2b 2b bs a a 2a 2113 19 a 19 ， .t b b 2b 4113 41 b 41例 4（等差数列前 n 项和最值问题）1、等差数列a 中，s 为前 n 项和，且 a 25，s s ，请问：数列 前多少项和最大？1716 98解：法一：a 25，s s ，17a d9a d，解得 d2.1 17 9 1 2 1 2n13 ，an252(n1)0， 2a 250，由 得an1252n0， n121 .2当 n13 时，s 有最大值1716 98法二：a 25，s s ，17a d9a d，解得 d

21、2. 1 17 9 1 2 1 2第 12 页（共 33 页）nn13nnnn11nn1 nn1 nnn23nnn n2n32nn n3n2n n 2n 3n n2n3n1nnnn 1nnnnnnn n 1n1nnn1n1121n 1n(n1)从而 s 25n (2)n226n(n13)2 n 2169.故前 13 项之和最大2、(2018 全国卷)记 s 为等差数列a 的前 n 项和，已知 a 7，s 15.(1)求a 的通项公式；(2)求 s ，并求 s 的最小值解 (1)设a 的公差为 d，由题意得 3a 3d15. 又 a 7，所以 d2.所以a 的通项公式为 a 2n9.n(aa )(2