高考数列压轴题

1、高考数列压轴题一解答题（共50小题）1数列an满足a1=1，a2=+，an=+（nn*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求an与an1之间的关系式（nn*，n2）；（3）求证：（1+）（1+）（1+）3（nn*）2已知数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（nn*），证明：当nn*时，（）0xn+1xn；（）2xn+1xn；（）xn3数列an中，a1=，an+1=（nn*）（）求证：an+1an；（）记数列an的前n项和为sn，求证：sn14已知正项数列an满足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数nn*，an2

2、an+1；（3）记数列an的前n项和为sn，证明：对任意nn*，2sn35已知在数列an中，nn*（1）求证：1an+1an2；（2）求证：（3）求证：nsnn+2；6设数列an满足an+1=an2an+1（nn*），sn为an的前n项和证明：对任意nn*，（i）当0a11时，0an1；（ii）当a11时，an（a11）a1n1；（iii）当a1=时，nsnn7已知数列an满足a1=1，sn=2an+1，其中sn为an的前n项和（nn*）（）求s1，s2及数列sn的通项公式；（）若数列bn满足，且bn的前n项和为tn，求证：当n2时，8已知数列an满足a1=1，（nn*），（）证明：；（）证明

3、：9设数列an的前n项的和为sn，已知a1=，an+1=，其中nn*（1）证明：an2；（2）证明：anan+1；（3）证明：2nsn2n1+（）n10数列an的各项均为正数，且an+1=an+1（nn*），an的前n项和是sn（）若an是递增数列，求a1的取值范围；（）若a12，且对任意nn*，都有snna1（n1），证明：sn2n+111设an=xn，bn=（）2，sn为数列anbn的前n项和，令fn（x）=sn1，xr，an*（）若x=2，求数列的前n项和tn；（）求证：对nn*，方程fn（x）=0在xn，1上有且仅有一个根；（）求证：对pn*，由（）中xn构成的数列xn满足0xnxn+

4、p12已知数列an，bn，a0=1，为数列bn的前n项和求证：（）an+1an；，（n=0，1，2，），tn（）（）；13已知数列an满足：a1=，an=an12+an1（n2且nn）（）求a2，a3；并证明：2an3；（）设数列an2的前n项和为an，数列的前n项和为bn，证明：=an+114已知数列an的各项均为非负数，其前n项和为sn，且对任意的nn*，都有（1）若a1=1，a505=2017，求a6的最大值；（2）若对任意nn*，都有sn1，求证：15已知数列an中，a1=4，an+1=（）求证：nn*时，anan+1；（）求证：nn*时，2sn2n，nn*，sn为an的前n项和16已

5、知数列an满足，a1=1，an=（1）求证：an；（2）求证：|an+1an|；（3）求证：|a2nan|17设数列an满足：a1=a，an+1=（1）证明：当n2时，anan+11；（a0且a1，nn*）（2）若b（a2，1），求证：当整数k+1时，ak+1b18设a3，数列an中，a1=a，an+1=，nn*（）求证：an3，且1；（）当a4时，证明：an3+19已知数列an满足an0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（nn*）（）证明：an1；（）证明：+（n2）20已知数列an满足：（1）求证：（2）求证：；21已知数列an满足a1=1，且an+12+an2=2（an+

6、1an+an+1an）（1）求数列an的通项公式；（2）求证：+；（3）记sn=+，证明：对于一切n2，都有sn22（+）22已知数列an满足a1=1，an+1=（1）求证：an1；（2）求证：|a2nan|，nn*23已知数列an的前n项和记为sn，且满足sn=2ann，nn*（）求数列an的通项公式；（）证明：+（nn*）24已知数列an满足：a1=，an+1=（1）求证：an+1an；（2）求证：a20171；（3）若ak1，求正整数k的最小值+an（nn*）25已知数列an满足：an2anan+1+1=0，a1=2（1）求a2，a3；（2）证明数列为递增数列；（3）求证：126已知数列

7、an满足：a1=1，（）求证：an1；（nn*）（）证明：（）求证：1+an+1n+127在正项数列an中，已知a1=1，且满足an+1=2an（）求a2，a3；（nn*）（）证明an28设数列an满足（1）证明：；（2）证明：29已知数列an满足a1=2，an+1=2（sn+n+1）（nn*），令bn=an+1（）求证：bn是等比数列；（）记数列nbn的前n项和为tn，求tn；（）求证：+30已知数列an中，a1=3，2an+1=an22an+4（）证明：an+1an；（）证明：an2+（）n1；（）设数列的前n项和为sn，求证：1（）nsn131已知数列an满足a1=，an+1=（1）求a

8、2；（2）求的通项公式；，nn*（3）设an的前n项和为sn，求证：（1（）n）sn32数列an中，a1=1，an=（1）证明：anan+1；（2）证明：anan+12n+1；（3）设bn=，证明：2bn（n2）33已知数列an满足，（1）若数列an是常数列，求m的值；（2）当m1时，求证：anan+1；（3）求最大的正数m，使得an4对一切整数n恒成立，并证明你的结论34已知数列an满足：，p1，（1）证明：anan+11；（2）证明：；（3）证明：35数列an满足a1=，an+1an+anan+1=0（nn*）（）求数列an的通项公式；（）求证：a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an1

9、36已知数列an满足a1=1，an+1=an2+p（1）若数列an就常数列，求p的值；（2）当p1时，求证：anan+1；（3）求最大的正数p，使得an2对一切整数n恒成立，并证明你的结论37已知数列an满足a1=a4，（1）求证：an4；（2）判断数列an的单调性；，（nn*）（3）设sn为数列an的前n项和，求证：当a=6时，38已知数列an满足a1=1，an+1=（）求证：an+1an；（）求证：an39已知数列an满足：a1=1，（1）若b=1，证明：数列是等差数列；（2）若b=1，判断数列a2n1的单调性并说明理由；（3）若b=1，求证：40已知数列an满足，证明：（）an1an1（

10、n1）；（n=1，2，3），sn=b1+b2+bn（）（n2）41已知数列an满足a1=1，an+1=证明：当nn*时，（1）an+1an；（2）tn=2n1；（3）1sn，nn*，记s，tn分别是数列an，a的前n项和，42已知数列an满足a1=3，an+1=an2+2an，nn*，设bn=log2（an+1）（i）求an的通项公式；（ii）求证：1+（iii）若=bn，求证：2n（n2）；343已知正项数列an满足a1=3，（1）求证：1an3，nn*；（2）若对于任意的正整数n，都有（3）求证：a1+a2+a3+ann+6，nn*，nn*成立，求m的最小值；44已知在数列an中，（1）求

11、证：1an+1an2；，nn*（2）求证：（3）求证：nsnn+2；45已知数列an中，（nn*）（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设46已知无穷数列an的首项a1=，（）证明：0an1；，记数列bn的前n项和为sn，求证：=nn*（）记bn=，tn为数列bn的前n项和，证明：对任意正整数n，tn47已知数列xn满足x1=1，xn+1=2+3，求证：（i）0xn9；（ii）xnxn+1；（iii）48数列an各项均为正数，且对任意nn*，满足an+1=an+can2（c0且为常数）（）若a1，2a2，3a3依次成等比数列，求a1的值（用常数c表示）；（）设bn=（i）求证：，sn是数

12、列bn的前n项和，；（ii）求证：snsn+149设数列满足|an|1，nn*（）求证：|an|2n1（|a1|2）（nn*）（）若|an|（）n，nn*，证明：|an|2，nn*50已知数列an满足：a1=1，an+1=an+（nn*）（）证明：（）求证：1+；an+1n+1一解答题（共50小题）1数列an满足a1=1，a2=高考数列压轴题参考答案与试题解析+，an=+（nn*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求an与an1之间的关系式（nn*，n2）；（3）求证：（1+）（1+）（1+）3（nn*）【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，a3=+=3+6+6=15，a4=a5=+

13、=4+43+432+4321=64，+=5+20+60+120+120=325；（2）an=+=n+n（n1）+n（n1）（n2）+n!=n+n（n1）+（n1）（n2）+（n1）!=n+nan1；（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）（1+）=+=+=+1+1+=2+1+=33（n2）所以n2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立2已知数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（nn*），证明：当nn*时，（）0xn+1xn；（）2xn+1xn（）xn；【解答】解：（）用数学归纳法证明：xn0，当n=1时，x1=10，成立，假设当n=k时成立，则x

14、k0，那么n=k+1时，若xk+10，则0xk=xk+1+ln（1+xk+1）0，矛盾，故xn+10，因此xn0，（nn*）xn=xn+1+ln（1+xn+1）xn+1，因此0xn+1xn（nn*），（）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+14xn+1+2xn=xn+122xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），记函数f（x）=x22x+（x+2）ln（1+x），x0f（x）=+ln（1+x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）f（0）=0，因此xn+122xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）0，故2xn+1xn；（）xn=xn+1+ln（1+xn+1）

15、xn+1+xn+1=2xn+1，xn，由2xn+1xn得2（）0，2（xn，）2n1（）=2n2，xn综上所述3数列an中，a1=，an+1=（nn*）（）求证：an+1an；（）记数列an的前n项和为sn，求证：sn1【解答】证明：（）0，且a1=0，an0，an+1an=an=0an+1an；（）1an+1=1=，=，则又an0，4已知正项数列an满足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数nn*，an2an+1；（3）记数列an的前n项和为sn，证明：对任意nn*，2【解答】解：（1）an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1，即有a

16、12+a1=3a22+2a2=2，解得a2=（负的舍去）；（2）证明：an2+an=3a2n+1+2an+1，可得an24a2n+1+an2an+1+a2n+1=0，即有（an2an+1）（an+2an+1+1）+a2n+1=0，由于正项数列an，即有an+2an+1+10，4a2n+10，则有对任意实数nn*，an2an+1；（3）由（1）可得对任意实数nn*，an2an+1；sn3即为a12a2，可得a2，an，a3a2，前n项和为sn=a1+a2+an1+=2，又an2+an=3a2n+1+2an+1a2n+1+an+1，即有（anan+1）（an+an+1+1）0，则anan+1，数列

17、an递减，即有sn=a1+a2+an1+1+=1+=3（1）3则有对任意nn*，2sn35已知在数列an中，（1）求证：1an+1an2；（2）求证：；（3）求证：nsnn+2【解答】证明：（1）先用数学归纳法证明1an2n=1时，假设n=k时成立，即1ak2，nn*那么n=k+1时，成立由知1an2，nn*恒成立.所以1an+1an2成立（2），当n3时，而1an2所以由，得，所以（3）由（1）1an2得snn由（2）得，6设数列an满足an+1=an2an+1（nn*），sn为an的前n项和证明：对任意nn*，（i）当0a11时，0an1；（ii）当a11时，an（a11）a1n1；（ii

18、i）当a1=时，nsnn【解答】证明：（）用数学归纳法证明当n=1时，0an1成立假设当n=k（kn*）时，0ak1，则当n=k+1时，由知，当0a11时，0an1=（）2+0，1，（）由an+1an=（）an=（an1）20，知an+1an若a11，则an1，（nn*），从而=an=an（an1），即=ana1，当a11时，an（a11）a1n1（）当时，由（），0an1（nn*），故snn，令bn=1an（nn*），由（）（），bnbn+10，（nn*），由，得=（b1b2）+（b2b3）+（bnbn+1）=b1bn+1b1=，nbn2，即=，（nn*），=，b1+b2+bn即nsn（，亦

19、即）+（，）+（）=，当时，7已知数列an满足a1=1，sn=2an+1，其中sn为an的前n项和（nn*）（）求s1，s2及数列sn的通项公式；（）若数列bn满足，且bn的前n项和为tn，求证：当n2时，【解答】解：（）数列an满足sn=2an+1，则sn=2an+1=2（sn+1sn），即3sn=2sn+1，即数列sn为以1为首项，以为公比的等比数列，sn=（）n1（nn*）s1=1，s2=；（）在数列bn中，tn为bn的前n项和，则|tn|=|=而当n2时，即，8已知数列an满足a1=1，（nn*），（）证明：；（）证明：【解答】（）证明：，由得：，（）证明：由（）得：（n+1）an+2

20、=nan令bn=nan，则bn1bn=n由b1=a1=1，b2=2，易得bn0由得：b1b3b2n1，b2b4b2n，得bn1根据bnbn+1=n+1得：bn+1n+1，1bnn=一方面：另一方面：由1bnn可知：9设数列an的前n项的和为sn，已知a1=，an+1=，其中nn*（1）证明：an2；（2）证明：anan+1；（3）证明：2nsn2n1+（）n【解答】证明：（1）an+12=2=，由于+2=+10，+2=2+0an+12与an2同号，因此与a12同号，而a12=0，an2（2）an+11=，可得：an+11与an1同号，因此与a11同号，而a11=0，an1又an21an2an+

21、1an=，可得分子0，分母0an+1an0，故anan+1（3）n=1时，s1=，满足不等式n2时，=，即2an2nsn=1即sn2n1+另一方面：由（ii）可知：，=从而可得：=2an，2nsn=sn2n综上可得：2n2nsn2n1+（）n10数列an的各项均为正数，且an+1=an+1（nn*），an的前n项和是sn（）若an是递增数列，求a1的取值范围；（）若a12，且对任意nn*，都有snna1（n1），证明：sn2n+1【解答】（i）解：由a2a101a10，解得0a12，又a3a20，a2，0a2212，解得1a12，由可得：1a12下面利用数学归纳法证明：当1a12时，nn*，1

22、an2成立（1）当n=1时，1a12成立（2）假设当n=kn*时，1an2成立则当n=k+1时，ak+1=ak+1（1，2），即n=k+1时，不等式成立综上（1）（2）可得：nn*，1an2成立于是an+1an=10，即an+1an，an是递增数列，a1的取值范围是（1，2）（ii）证明：a12，可用数学归纳法证明：an2对nn*都成立于是：an+1an=12，即数列an是递减数列在snna1（n1）中，令n=2，可得：2a1+1=s22a1，解得a13，因此2a13下证：（1）当事实上，当时，snna1（n1）恒成立时，由an=a1+（ana1）a1+（2）=于是sn=a1+a2+ana1+

23、（n1）=na1再证明：（2）事实上，当时不合题意时，设an=bn+2，可得1由an+1=an+1（nn*），可得：bn+1=bn+1，可得=于是数列bn的前n和tn3b13故sn=2n+tn2n+3=na1+（2a1）n+3，令a1=+t（t0），由可得：snna1+（2a1）n+3=na1tn+只要n充分大，可得：snna1这与snna1（n1）恒成立矛盾时不合题意综上（1）（2）可得：，于是可得=（由可得：）故数列bn的前n项和tnb11，sn=2n+tn2n+111设an=xn，bn=（）2，sn为数列anbn的前n项和，令fn（x）=sn1，xr，an*（）若x=2，求数列的前n项和

24、tn；（）求证：对nn*，方程fn（x）=0在xn，1上有且仅有一个根；（）求证：对pn*，由（）中xn构成的数列xn满足0xnxn+p【解答】解：（）若x=2，an=2n，则=（2n1）（）n，则tn=1（）1+3（）2+（2n1）（）n，tn=1（）2+3（）3+（2n1）（）n+1，tn=）2+（）3+（+2（）n（2n1）（）n+1=+2（2n1）（）n+1=+1（）n1（2n1）（）n+1，tn=3（）n2（2n1）（）n=3；（）证明：fn（x）=1+x+（xr，nn+），fn（x）=1+0，故函数f（x）在（0，+）上是增函数由于f1（x1）=0，当n2时，fn（1）=+0，即f

25、n（1）0又fn（）=1+（）i，=+=（）n10，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的xn，1，满足fn（xn）=0（）证明：对于任意pn+，由（1）中xn构成数列xn，当x0时，fn+1（x）=fn（x）+fn（x），fn+1（xn）fn（xn）=fn+1（xn+1）=0由fn+1（x）在（0，+）上单调递增，可得xn+1xn，即xnxn+10，故数列xn为减数列，即对任意的n、pn+，xnxn+p0由于fn（xn）=1+xn+=0，fn+p（xn+p）=1+xn+p+，用减去并移项，利用0xn+p1，可得xnxn+p=+=综上可得，对于任意pn+，由（1）中xn构成数列xn满足0xn

26、xn+p12已知数列an，bn，a0=1，（n=0，1，2，），tn为数列bn的前n项和求证：（）an+1an；（）；（）【解答】解：证明：（）=，所以an+1an（）法一、记，则，原命题等价于证明提示：构造函数；用数学归纳法在（1，+）单调递增，故=+=+（）=，法二、只需证明，由，故：n=1，n2，可证：，（3）由，=，可得：，叠加可得，所以，时，得13已知数列an满足：a1=，an=an12+an1（n2且nn）（）求a2，a3；并证明：2an3；（）设数列an2的前n项和为an，数列的前n项和为bn，证明：=an+1【解答】解：（i）a2=a12+a1=，a3=a22+a2=证明：an

27、=an12+an1，an+=an12+an1+=（an1+）2+（an1+）2，an+（an1+）2（an2+）4（an3+）8（a1+）=2，an2，又anan1=an120，anan1an2a11，an2an，an=an12+an12a，an2a22222224222242a1=2（）=3综上，2an3（ii）证明：an=an12+an1，an12=anan1，an=a12+a22+a32+an2=（a2a1）+（a3a2）+（an+1an）=an+1an=an12+an1=an1（an1+1），=，bn=，+=（）+（）+（）+（）=14已知数列an的各项均为非负数，其前n项和为sn，且

28、对任意的nn*，都有（1）若a1=1，a505=2017，求a6的最大值；（2）若对任意nn*，都有sn1，求证：【解答】解：（1）由题意知an+1anan+2an+1，设di=ai+1ai（i=1，2，504），则d1d2d3d504，且d1+d2+d3+d504=2016，所以d1+d2+d520，a6=a1+（d1+d2+d5）21（2）证明：若存在kn*，使得akak+1，则由得ak+1akak+1ak+2，=，因此，从an项开始，数列an严格递增，故a1+a2+anak+ak+1+an（nk+1）ak，对于固定的k，当n足够大时，必有a1+a2+an1，与题设矛盾，所以an不可能递增

29、，即只能anan+10令bk=akak+1，（kn*），由akak+1ak+1ak+2，得bkbk+1，bk0，故1a1+a2+an=（b1+a2）+a2+an=b1+2（b2+a3）+a3+an，=b1+2b2+nbn+nan所以，综上，对一切nn*，都有15已知数列an中，a1=4，an+1=，nn*，sn为an的前n项和（）求证：nn*时，anan+1；（）求证：nn*时，2sn2n【解答】证明：（i）n2时，作差：an+1an=，an+1an与anan1同号，由a1=4，可得a2=，可得a2a10，nn*时，anan+1（ii）2=6+an，=an2，即2（an+12）（an+1+2）

30、=an2，an+12与an2同号，又a12=20，an2sn=a1+a2+an4+2（n1）=2n+2sn2n2由可得：=，因此an2（a12），即an2+2sn=a1+a2+an2n+22n+综上可得：nn*时，2sn2n16已知数列an满足，a1=1，an=（1）求证：an；（2）求证：|an+1an|；（3）求证：|a2nan|【解答】证明：（1）a1=1，an=a2=，a3=，a4=，猜想：an1下面用数学归纳法证明（i）当n=1时，命题显然成立；（ii）假设n=k时，1成立，则当n=k+1时，ak+1=1，即当n=k+1时也成立，所以对任意nn*，都有（2）当n=1时，当n2时，（3

31、）当n=1时，|a2a1|=；当n2时，|a2nan|a2na2n1|+|a2n1a2n2|+|an+1an|17设数列an满足：a1=a，an+1=（a0且a1，nn*）（1）证明：当n2时，anan+11；（2）若b（a2，1），求证：当整数k+1时，ak+1b【解答】证明：（1）由an+1=知an与a1的符号相同，而a1=a0，an0，an+1=1，当且仅当an=1时，an+1=1下面用数学归纳法证明：a0且a1，a21，=1，即有a2a31，假设n=k时，有akak+11，则ak+2=1且=1，即ak+1ak+21即当n=k+1时不等式成立，由可得当n2时，anan+11；（2）若akb，由（1）知ak+1akb，若akb，0x1以及二项式定理可知（1+x）n=1+cn1x+cnnxnnx，而ak2+1b2+1b+1，且a2a3akb1ak+1=a2，=a2a2（a21+）k1a2（k1），）k1=a2（1+）k1，k+1，1+（k1）+1=，ak+1