2020-2021学年北师大版数学必修5课后习题：1.2.2.2 an与Sn的关系及裂项求和法含解析

1、攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。祝：学子考试顺利，学业有成第2课时an与sn的关系及裂项求和法课后篇巩固探究a组1.已知数列an的前n项和sn=1n,则a5的值等于()a.120b.-120c.130d.-130解析:a5=s5-s4=15-14=-120.答案:b2.已知等差数列an的前n项和为sn,a5=5,s5=15,则数列1anan+1的前100项和为()a.100101b.99101c.99100d.101100解析:s5=5(a1+a5)2=5(

2、a1+5)2=15,a1=1,d=a5-a15-1=5-15-1=1,an=1+(n-1)1=n,1anan+1=1n(n+1).设1anan+1的前n项和为tn,则t100=112+123+1100101=1-12+12-13+1100-1101=1-1101=100101.答案:a3.设an(nn+)是等差数列,sn是其前n项和,且s5s8,则下列结论错误的是()a.ds5d.s6和s7均为sn的最大值解析:由s5s6得a1+a2+a50.又s6=s7,a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7,a7=0,故b正确;同理由s7s8,得a80,又d=a7-a6s5,即a6+a7+a8+a90,

3、可得2(a7+a8)0.而由a7=0,a80不可能成立,故c错误;s5s8,s6与s7均为sn的最大值,故d正确.故选c.答案:c4.数列1(n+1)2-1的前n项和sn为()a.n+12(n+2)b.34-n+12(n+2)c.34-121n+1+1n+2d.32-1n+1-1n+2解析:1(n+1)2-1=1n2+2n=121n-1n+2,于是sn=121-13+12-14+13-15+1n-1n+2=34-121n+1+1n+2.答案:c5.设函数f(x)满足f(n+1)=2f(n)+n2(nn+),且f(1)=2,则f(20)为()a.95b.97c.105d.192解析:f(n+1)

4、=f(n)+n2,f(n+1)-f(n)=n2.f(2)-f(1)=12,f(3)-f(2)=22,f(20)-f(19)=192,f(20)-f(1)=1+2+192=(1+19)1922=95.又f(1)=2,f(20)=97.答案:b6.已知数列an的前n项和sn=n2-9n,第k项满足5ak8,则k=.解析:an=sn-sn-1=(n2-9n)-(n-1)2-9(n-1)=2n-10(n2),又a1=s1=-8符合上式,所以an=2n-10.令52k-108,解得152k0;当n3时,an=2n-76),则数列的项数n为.解析:由题意可知a1+a2+a6=36,an+an-1+an-5

5、=324-144,由+,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=216,6(a1+an)=216,a1+an=36.sn=n(a1+an)2=18n=324,n=18.答案:187.设数列an的前n项和为sn,a1=1,an=snn+2(n-1)(nn+).(1)求证:数列an为等差数列,并求an与sn;(2)是否存在自然数n,使得s1+s22+s33+snn-(n-1)2=2 019?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.(1)证明由an=snn+2(n-1),得sn=nan-2n(n-1)(nn+).当n2时,an=sn-sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-

6、1),即an-an-1=4,故数列an是以1为首项,4为公差的等差数列.于是,an=4n-3,sn=(a1+an)n2=2n2-n.(2)解存在自然数n使得s1+s22+s33+snn-(n-1)2=2019成立.理由如下:由(1),得snn=2n-1(nn+),所以s1+s22+s33+snn-(n-1)2=1+3+5+7+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.令2n-1=2019,得n=1010,所以存在满足条件的自然数n为1010.8.导学号33194016数列an的前n项和sn=100n-n2(nn+).(1)求证an是等差数列;(2)设bn=|an|,求数列bn的

7、前n项和.(1)证明an=sn-sn-1=(100n-n2)-100(n-1)-(n-1)2=101-2n(n2).a1=s1=1001-12=99=101-21,数列an的通项公式为an=101-2n(nn+).又an+1-an=-2为常数,数列an是首项a1=99,公差d=-2的等差数列.(2)解令an=101-2n0,得n50.5.nn+,n50(nn+).当1n50时an0,此时bn=|an|=an,bn的前n项和sn=100n-n2;当n51时an0,此时bn=|an|=-an,由b51+b52+bn=-(a51+a52+an)=-(sn-s50)=s50-sn,得数列bn的前n项和为