2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册章末综合测评3　圆锥曲线的方程 Word版含解析

1、章末综合测评(三)圆锥曲线的方程(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1椭圆1的离心率是()abcdb根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e.2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则抛物线的焦点的坐标为()a(1,0)b(1,0)c(0，1)d(0,1)by22px的准线方程为x，由条件知1.p2，即方程为y24x，其焦点坐标为(1,0)3若双曲线y21的一条渐近线方程为y3x，则正实数a的值为()a9b3cdd双曲线y21的渐近线为yx.由条件知3，解得a.4已知双曲线c

2、：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到c的渐近线的距离为()ab2cd2d法一：由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线c的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到c的渐近线的距离为2.故选d.法二：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4,0)到c的渐近线的距离为2.故选d.5与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ()a1bx21cy21d1b椭圆9x24y236可化为1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，)，故可设所求椭圆方程为1(ab0)，则c.又2b2，即b1，所以a2b2c26，则

3、所求椭圆的标准方程为x21.6设p是双曲线1(a0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，若|pf1|3，则|pf2|()a1或5b6c7d8c双曲线1的一条渐近线方程为3x2y0，故a2.又p是双曲线上一点，故|pf1|pf2|4，而|pf1|3，则|pf2|7.7已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于a，b，c，d四点，四边形abcd的面积为2b，则双曲线的方程为()a1b1c1d1d根据对称性，不妨设a在第一象限，a(x，y)，xyb212，故双曲线的方程为1，故选d.8.我们把离心率为黄金分割

4、系数的椭圆称为“黄金椭圆”如图，“黄金椭圆”c的中心在坐标原点，f为左焦点，a，b分别为长轴和短轴上的顶点，则abf()a90b60c45d30a设椭圆的方程为1(ab0)由已知，得a(a,0)，b(0，b)，f(c,0)，则(c，b)，(a，b)离心率e，ca，ba，b2ac0，abf90.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9对于双曲线c1：y21与双曲线c2：y21的下列说法正确的是()a它们的实轴长和虚轴长相同b它们的焦距相同c它们的渐近线相同d若它们的离心率分别为e1，e2，那么

5、1bcda中，c1的实轴长、虚轴长分别为4和2，而c2的实轴长和虚轴长分别为2和4，故a错误；b中，c1，c2的焦距均为2c22.故b正确；c中，c1，c2的渐近线方程均为yx，故c正确d中，c1的离心率e1，c2的离心率e2，这里1.故d正确，故应选bcd.10给定下列四条曲线中，与直线xy0仅有一个公共点的曲线是()ax2y2b1c1dy24xacda中，圆心到直线距离dr.故直线与圆相切，仅有一个公共点，a正确；b中，由得13x218x90，0，直线与椭圆相交，有两个交点，b错误；c中，由于直线平行于双曲线的渐近线，故只有一个交点，c正确；d中，由得x22x50，这里0.故直线与抛物线相

6、切d正确，故应选acd.11若ab0，则axyb0和bx2ay2ab所表示的曲线不可能的是下图中的()abd方程化为yaxb和1.从b，d中的两椭圆看a，b(0，)，但b中直线有a0，b0矛盾，所以b不可能；d中直线有a0，b0矛盾，也不可能；再看a中双曲线的a0，b0，但直线有a0，b0，也矛盾，所以a也不可能；c中双曲线的a0，b0和直线中a，b一致所以c是可能的，故应选abd.12已知点m(1,0)，a，b是椭圆y21上的动点，当取下列哪些值时，可以使0()a3b6c9d12abc设a(x0，y0)，且0.因为()22(x01)2y，将a点坐标代入椭圆，得y1，所以y1代入上式可得(x0

7、1)212x022(2x02)所以()min，()max9.对照选项可以取abc.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13抛物线y28x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为_由抛物线y28x可得其焦点为(2,0)，又双曲线1的渐近线方程为xy0，所求距离为d.14与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为_1法一：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)又点(3，2)在双曲线上，故1.又a2b216420，得a212，b28，则双曲线的标准方程为1.法二：设双曲线的标准方程为1(4kb0)的离心率为，双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个

8、交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆c的标准方程解因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb.所以yb，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆c的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆c的方程为1.18(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点p，求抛物线的方程和双曲线的方程解依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点p在抛物线上，62p.p2，所求抛物线的方程

9、为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点p在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.19(本小题满分12分)已知f1，f2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点，p是椭圆上一点(1)求|pf1|pf2|的最大值；(2)若f1pf260，且f1pf2的面积为，求b的值解(1)|pf1|pf2|100(当且仅当|pf1|pf2|时取等号)，|pf1|pf2|的最大值为100.(2)s|pf1|pf2|sin 60，|pf1|pf2|，由题意知：3|pf1|pf2|4004c2.由得c6，b8.20.(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线c：

10、x24y，过点m(0,2)任作一直线与c相交于a，b两点，过点b作y轴的平行线与直线ao相交于点d(o为坐标原点)(1)证明：动点d在定直线上；(2)作c的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点n1，与(1)中的定直线相交于点n2.证明：|mn2|2|mn1|2为定值，并求此定值解(1)证明：依题意可设ab的方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有x1x28，直线ao的方程为yx，bd的方程为xx2，则交点d的坐标为.又x1x28，x4y1，则有2，即d点在定直线y2上(x0)(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0

11、.设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y，得x24(axb)，即x24ax4b0，由0得(4a)216b0，化简整理，得ba2，故切线的方程为yaxa2.分别令y2，y2，得n1，n2，则|mn2|2|mn1|2428，即|mn2|2|mn1|2为定值8.21(本小题满分12分)设椭圆1(ab0)的右顶点为a，上顶点为b.已知椭圆的离心率为，|ab|.(1)求椭圆的方程(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆交于p，q两点，l与直线ab交于点m，且点p，m均在第四象限若bpm的面积是bpq面积的2倍，求k的值解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知得.又由a2b2c2，可得2a3b.由|ab|得

12、a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点p的坐标为(x1，y1)，点m的坐标为(x2，y2)由题意，x2x10，点q的坐标为(x1，y1)由bpm的面积是bpq面积的2倍，可得|pm|2|pq|，从而x2x12x1(x1)，即x25x1.易知直线ab的方程为2x3y6，由方程组消去y，可得x2.由方程组消去y，可得x1.由x25x1，可得5(3k2)，两边平方，整理得18k225k80，解得k或k.当k时，x290，不合题意，舍去；当k时，x212，x1，符合题意所以k的值为.22(本小题满分12分)已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1(1,0)，f2(1,0)，点a在椭圆c上(1)求椭圆c的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆c有两个不同交点m，n时，能在直线y上找到一点p，在椭圆c上找到一点q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)设椭圆c的焦距为2c，则c1，a在椭圆c上，2a|af1|af2|2，a，b2a2c21，故椭圆c的方程为y