2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课时分层作业：1.4.1　第2课时空间向量与垂直关系

1、好好学习，天天向上课时分层作业（七)（建议用时：40分钟）一、选择题1u（2，2,2）是平面的一个法向量，v(1，2,1)是平面的一个法向量，则下列命题正确的是（）a，平行 b，垂直c,重合 d，不垂直buv(2，2,2)（1,2,1)2122210，uv,平面平面。2已知直线l1的一个方向向量a（2,4,x)，直线l2的一个方向向量b(2,y,2)，若a6，且l1l2，则xy的值是（)a3或1 b3或1c3 d1a由条件可知a6，且ab44y2x0,解得或，xy1或3.3在四棱锥p。abcd中，底面abcd是平行四边形,(2，1，4）,(4,2，0)，(1,2，1),则pa与底面abcd的关

2、系是(）a相交 b垂直c不垂直 d成60角b因为2(1)(1）2（4）(1）0，所以;因为a4（1）220（1）0，所以，又a，所以apabcd。4已知a(1,1,2），b（1，0,1），设d在直线ab上,且2,设c，若cdab,则的值为（）a b c db设d（x，y，z),则(x1，y1，z2），(2,1，3）,(1x,y,1z），2，d，23(1)0，.5.如图所示，在正方体abcd。a1b1c1d1中，e，f分别在a1d，ac上,且a1ea1d，afac，则（）aef至多与a1d，ac之一垂直befa1d,efaccef与bd1相交def与bd1异面b建立以da，dc，dd1所在直线分

3、别为x,y，z轴的空间直角坐标系(图略），不妨设正方体的棱长为1，则（1，0，1），（0,1，0)(1,0，0)(1，1,0)，e,f，0,0，efa1d，efac.二、填空题6已知三点a（1，1，0)，b(1,0,1），c（0,1，1),则平面abc的单位法向量为_或三点a（1，1，0)，b(1，0,1)，c（0，1,1),则(0，1，1），(1,0，1）令平面abc的法向量为n（x,y，z），可得，即，xyz，平面abc的法向量n（x，y,z)为单位法向量,x2y2z21，解得xyz，故平面abc的单位法向量是或.7设平面与向量a(1,2,4)垂直，平面与向量b(2，3，1）垂直，则平面与

4、的位置关系是_垂直由题意，ab(1，2，4)(2，3，1）2640,ab，根据平面与向量a（1，2，4)垂直,平面与向量b（2,3，1）垂直，。故答案为垂直8已知（1,5，2），(3，1,z），若,(x1，y，3）,且bp平面abc，则_.，0,352z0，z4.(x1，y，3)，且bp平面abc,即解得故。三、解答题9。如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点求证：am平面bdf.证明以c为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，则a（，0）,b（0，0),d(，0,0），f(，1），m.所以，(0, ，1),(,，0）设n(x,y,z)是平

5、面bdf的法向量，则n，n，所以取y1，得x1，z.则n(1,1，)因为。所以n ,得n与共线所以am平面bdf。10。如图,在正四棱柱abcda1b1c1d1中,底面边长为2,侧棱长为4，e，f分别是棱ab，bc的中点求证：平面b1ef平面bdd1b1。证明以d为坐标原点，da，dc，dd1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，由题意,知d（0，0，0），a(2，0,0),c（0，2，0)，b1(2，2，4),e(2，0)，f(,2,0)，则（0，4)，（,，0）设平面b1ef的法向量为n(x,y，z)则ny4z0,nxy0，得xy,zy，令y1，得n.又平面bdd1b1的

6、一个法向量为(2，2,0)，而n1(2)1200，即n，平面b1ef平面bdd1b1。11（多选题)已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点，如果（2，1，4），（4，2,0），（1，2，1）对于下列结论正确的有（)aapabbapadc是平面abcd的法向量dabc由于12(1）2（4)(1）0，4(1)220(1)0，所以a、b、c正确，又（2,3,4）(1,2,1)，不满足，d不正确，故选abc。12.（多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,abcda1b1c1d1是棱长为1的正方体,给出下列结论中，正确的是（）a平面abb1a1的一个法向量为(0，1，0)b平面b1cd的一个法向量

7、为（1，1，1）c平面b1cd1的一个法向量为（1，1，1)d平面abc1d1的一个法向量为(0,1，1)ac(0,1,0)，abad，aa1ad，又abaa1a，ad平面abb1a1，a正确；(1，0,0),而（1,1，1)10，（1，1，1)不是平面b1cd的法向量，b不正确；c中易证ac1面b1cd1且(1,1,1），c正确，d中，因(1,0，0），(0，1，1)0，又(0,1,1)，且（0,1，1）（0,1,1)0，d不正确13(一题两空)已知空间三点a(1，1，1),b(0,0，1），c(1，2，3)，若直线ab上存在一点m，满足cmab，则点m的坐标为_,若n(x，y,z）为平面a

8、bc的法向量，则xyz_。443设m（x，y，z），(1，1，0),(x，y，z1)，（x1,y2，z3)，由题意，得，x,y，z1，点m的坐标为，又（2,1，4)nxy0且n2xy4z0,令x1，则y1，z，xyz11443。14.如图所示，在直三棱柱abc。a1b1c1中，底面是以abc为直角的等腰三角形,ac2a，bb13a，d是a1c1的中点，点e在棱aa1上，要使ce面b1de，则ae_.a或2a建立如图所示的空间直角坐标系，则b1（0,0,3a)，c（0，a，0），d。设e(a,0，z)(0z3a)，则（a，a，z），（a,0，z3a），.又a2a200，2a2z23az0,解得z

9、a或2a。故aea或2a.15。如图，在三棱锥p。abc中，abac，d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上，已知bc8，po4，ao3,od2。(1)证明：apbc；(2）在线段ap上是否存在点m,使得二面角a。mc.b为直二面角？若存在，求出am的长；若不存在请说明理由解(1）证明：如图，以o为坐标原点,建立空间直角坐标系，则o（0，0,0），a(0，3，0)，b(4,2，0)，c（4，2,0），p（0，0，4）(0，3,4)，（8,0，0),由此可得0,所以，所以apbc。(2）假设存在满足题意的点m，设，01,则（0，3,4)(4，2，4)(0,3，4)(4，23r,44），(4，5,0),(8,0,0）设平面bmc的法向量为n1（x1，y1，z1),平面apc的法向量为n2(x2，y2，z2)由得令y11可得n1.由可得令y24可得n2（5,4，3)