3.3全称命题与特称命题的否定

1、3.3全称命题与特称命题的否定 【明目标、知重点】 通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律, 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 填要点 1要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，说明这个全称命题的否定是正 确的. 2 全称命题的否定是特称命题. 3 要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，说明这个特称 命题的否定是正确的. 4 特称命题的否定是全称命题. 探要点究所然 反思与感悟 全称命题的否定是特称命题， 对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否 疋. 跟踪训练1写出下列命题的否定： (1) 数列123,4,5中的每一项都是偶数

2、； 任意a, b R,方程ax= b都有惟一解； (3)可以被5整除的整数，末位是 0. 解(1)是全称命题，其否定：数列 123,4,5中至少有一项不是偶数. (2) 是全称命题，其否定：存在a, b R，使方程ax= b的解不惟一. (3) 是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是 0. 探究点二特称命题的否定 思考怎样对特称命题进行否定？ 答 对特称命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以 结合命题的实际意义进行表述. 例2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假： (1) 有些实数的绝对值是正数； (2) 某些平行四边形是菱形； 存在x, y Z

3、,使得，2x+ y= 3. 解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值 都不是正数”.由于2|= 2，因此命题的否定为假命题. (2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱 形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. 命题的否定：“任意x, y Z, 2x+沪3”. 由于当 x = 0, y= 3 时，2x+ y= 3, 因此命题的否定是假命题. 反思与感悟特称命题的否定是全称命题，否定的关键是量词的否定形式和判断词的改变. 跟踪训练2写出下列特称命题的否定： (1) 存在一个 xo R, x0+ 2xo + 2

4、0. (2)所有的三角形都不是等边三角形. (3)每一个素数都不含三个正因数. 探究点三特称命题、全称命题的综合应用 例3已知函数f(x)= 4x2 2(p 2)x 2p2 p+ 1在区间1,1上至少存在一个实数c,使得 f(c)0.求实数p的取值范围. 即 f 1 1 或 pW 7, 23 即二p或pW 3. 32 p 2 或 pw 3. 3 故p的取值范围是3p0,a1, 解析 依题意有0a2 11? a2 11 V2a/2 .2a 1 或 1a . 2. 当堂测查疑缺 1 .下列4个命题: 1 1 ：存在 x (0,),(2)xlog2x; 1 P4 :任意 x (0, 3), 1 x1

5、 (2)Vogx. 其中的真命题是( ) A . pi,P3 B. P1, P4 C. P2, P3 D. P2, P4 答案 D 1 解析取x = 2，贝U 1 1 logqx 1, logx= :log 321.p2 正确 当 x (0, *)时，(1)x1, p4正确. 2. 对下列命题的否定说法错误的是() A 命题：能被2整除的数是偶数；命题的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数 B 命题：有些矩形是正方形；命题的否定：所有的矩形都不是正方形 C.命题：有的三角形为正三角形；命题的否定：所有的三角形不都是正三角形 D .命题：存在 x R , X + x+ 2W 0;命题的否定：任意

6、 x R, x2 + x + 20 答案 C 解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是 正三角形”，故选项C错误. 3. 命题“对任何 x R , |x-2|+ |x 4|3”的否定是 . 答案 存在x R，使得|x 2|+ |x 4| 3 解析 由定义知命题的否定为“存在x R，使得|x 2|+ |x 4| 0”的否定是（） A .存在 x R, x2 x+ 2 0 B .任意 x R, x2 x+ 2 0 C.存在 x R, x2 x+ 20 D .任意 x R, x2 x+ 20 答案 C 解析的否定是“”，全称命题的否定是特称命题. 2 .对命题：

7、存在实数 m,使方程x2 + mx + 1= 0有实数根”的否定为（） A .存在实数 m,使方程x2+ mx+ 1 = 0无实根 B .不存在实数 m，使方程x2+ mx+ 1 = 0无实根 C.对任意的实数 m,方程x2+ mx+ 1 = 0无实根 D .至多有一个实数 m,使方程x2 + mx + 1 = 0有实根 答案 C 解析 若命题是特称命题，其否定形式为全称命题，即对任意的实数m,方程x2+ mx+ 1 = 0无实根. 3. “命题存在 x R , x2 + ax 4a0为假命题”是“ 16W aw 0” 的（） A .充要条件 B .必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D.

8、既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为“存在x R , x2+ ax 4a0”为真命题. 所以= a2+ 16aw 0,即16w aw 0. 所以“命题存在x R , x2 + ax 4a0,解得a3. 7判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： ( 1 )三角形的内角和为 180； 每个二次函数的图像都开口向下； 存在一个四边形不是平行四边形. 解(1)是全称命题且为真命题. 命题的否定：三角形的内角和不全为 180 ,即存在一个三角形其内角和不等于 180 (2)是全称命题且为假命题. 命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下. (3) 是特称命题且为真命题. 命题的否定：任意一

9、个四边形都是平行四边形. 、能力提升 0 ”的否定为 答案 存在Xo R，使得x0 0”的否定是“存在xo R，使得x00 C.存在 xo R , lg xo0 D .存在 xo R , tan xo= 2 2x2 0140 恒成立，故是真命题； 6若命题“存在实数x,使得x2 + (1 a)x + 10 ,如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m的取值范围是 答案 3W m0，解得m8 , 故实数 m 的取值范围是 3W m0或x bW 0”，其中a、b是常数. (1) 写出命题p的否定； (2) 当 a、 b 满足什么条件时,命题 p 的否定为真？ 解 命题p的否定：对任意实数

10、x,有x a0. x aW 0, (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集， x b0 通过画数轴可看出,a、 b 应满足的条件是 b0成立”为真， 试求参数 a 的取值范围. 解 由已知得命题p的否定：任意x 1,2, x2+ 2ax+ 2 aw 0成立. f1 W0， 设 f(x)= x2+ 2ax+ 2 a，贝U f2W0， 1+2a+2aW0, 解得 aW 3, 4+ 4a+ 2 aW 0, .命题p的否定为假，- a 3, 即a的取值范围是(一3, +). 三、探究与拓展 13. 已知命题p：存在x R,使得x2 2ax+ 2a2 5a + 4 = 0;命题q：任意x

11、 0,1，都有 (a2 4a + 3)x 3v 0若p和q中具有一个真命题，求实数a的取值范围. 解 若命题p为真命题，则有= 4a2 4(2a2 5a + 4)0，解得 K a 4. 对于命题q，令f(x)= (a2 4a+ 3)x 3，若命题q为真命题，则有f(0) 0且f(1) 0,可得0 v a v 4. 由题设知命题 p 和 q 中有且只有一个真命题, 1 4 a v 1 或 a 4, 或 0v av 4， 解得0v av 1或a=4, 故所求a的取值范围是0v av 1或a= 4. 探究点一全称命题的否定 思考1你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？ (1) 所有矩形都是平行四边形； (2) 每一个素数都是奇数； (3) 三个给定产品都是次品. 答(1)存在一个矩形不是平行四边形； (2) 存在一个素数不是奇数； (3) 三个给定产品中至少有一个是正品. 思考2全称