全国奥数完美的正方形专

1、第二十二讲 完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各 边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和 菱形的一切性质矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相 似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间 的区别与联系连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形 联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数 形结合思想熟悉以下基本图形，基本结论：例题精讲【例 1】 如图，若四边形 ABCD

2、 是正方形， CDE 是等边三角形，则 EAB 的度数 为思路点拨 图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算注 可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大我们熟悉的 “七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、 平行四边形的 7 块，用它可以拼出许多巧妙的图形， “七巧板”是我国古代人民智慧的结晶【例 2】 如图，在正方形 ABCD 中， O是对角线 AC、BD 的交点，过 O作 OCOF， 分别交 AB、BC 于 E、F，若 AE=4 ，CF=3，则 EF的长为 ( )A 7B 5C4D 3ABCD 中， E、F 是 AB 、BC 边上两点，且 EF=AC+FC ，DG

3、EF思路点拨 AE、CF、EF 不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使 分散的条件集中到同一个三角形中【例 3】 如图，正方形 于 G ，求证： DC=DA 思路点拨 构造 AE+FC 的线段是解本例的关键【例 4】 已知正方形 ABCD 中，M 是 AB 的中点， E 是 AB 延长线上一点， MN DM 且交 CBZ 的平分线于 N(如图甲 )- 86 - / 5(1) 求证： MD=MN(2) 若将上述条件中的“ M 是 AB 中点”改为“ M 是 AB 上的任意一点” ，其余条件不 变 (如图乙 )，则结论“ MD=MN ”还成立吗 ?如果成立，请证明：如果不成立，请说明

4、理由思路点拨 对于图甲，取 AD 中点 F，通过构造全等三角形证明 MD=MN ；这种证法 能否迁移到图乙情景中去 ?从而作出正确的判断注 探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求数学解题中的探索 活动可从以下几个方面进行：(1) 在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2) 通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3) 构造逆命题对于例 3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1) EDF 等于多少度 ?(2) 怎样证明明逆命题 ?例 4 改变点的位置， 赋以运动， 从特殊到一般， (1) 的结果为 (2) 的猜想提供了借鉴的依据， 又为猜想设置了

5、障碍，前面的证明思路是后面的证明模式【例 5】 操作：将一把三角尺放在边长为 l 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P在对 角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B ，另一边与射线 DC 相交于点 Q探究：设 A，P 两点间的距离为 x(1) 当点 Q在边 CD 上时，线段 PQ与线段 PB之间有怎样的大小关系 ?试证明你观察得 到的结论；(2) 当点 Q在边 CD上时，设四边形 PBCQ的面积为 y，求 y与 x之间的关系式，并写 出 x 的取值范围；(3) 当点 P在线段 AC 上滑动时， PCQ 是否可能成为等腰三角形 ?如果可能，指出所 有能使 PCQ 成为等腰三角形的点

6、Q 的位置，并求出相应的 x 的值； 如果不可能，试说明理由。思路点拨 本例是探究式的操作型试题， 第 (1)问需抓住滑动中 BPQ 是直角这一不变 量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第 (3) 问需要在操作中 观察出使 PCQ 是等腰三角形的两种情形注 数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说 明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操 作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论同步练习1如图， P是正方形 ABCD 内一点，将 ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与 CBP重合， 若 PB=

7、3 ，则 PP =2如图，正方形 ABCD 中， E 为 CD 边上一点， F 为 BC 延长线上一点， CE=CF ，若 BEC=60 ，则 EFD 的度数为 3如图， POQ=90 ，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 B在 OP上，C在 OQ上，且- 87 - / 5 OBC=30 ，则 A、D到 OP的距离分别为4如图，正方形ABCD 中，CEMN ，若 MCE35，则 ANM的度数是5如图， E是边长为 l的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点， 且BE=BC ，P为 CE上任意 一点， PQ BC 于点 Q，PRBE 于点 R，则 PQ+PR 的值为 ( )ABCD6如图，

8、在四边形ABCD 中，AB=BC ，ABC= CDA=90，BE AD 于 E，S四边形 ABCD 8 ，则 BC 的长为 ( )A 2B 3C 3D 2 27如图，在正方形 ABCD 中， C为CD上的一点，延长月 C至 F，使 CF=CE，连结 DF， BE 与 DF 相交于 G，则下面结论错误的是 ( )A BE=DFBBGDF C F+CEB=90 D FDC+ ABG 908如图，已知正方形 ABCD 的面积为 256，点 F 在 AD 上，点 E 在 AB 的延长线上， Rt CEF 的面积为 200，则 BE 的值是 ( )A 15B12C 11D 109 (1)如图甲，若点 P

9、为正方形 ABCD 边 AB 上一点，以 PA为一边作正方形 AEFP ，连 BE 、DP ，并延长 DP 交 BE 于点 H，求证： DH BF；(2)如图乙， 若点 P 为正方形 ABCD 内任一点， 其余条件不变， (1)的结论是否成立 ?若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由10如图， P 为正方形 ABCD 的对角线 BD 上任一点， PFCD，PEBC，C、F 分别为 垂足，探索 AP 与 EF 的关系11如图，正方形 ABCD 中，AB= 3，点 E，F分别在 BC、CD上，且 BAE=30 ，DAF=15 ，求 AEF 的面积- 88 - / 512如图，已知BD 相交于

10、M 、E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点， AE、AF 分别与对角线N，若 EAF=50 ，则 CME+ CNF=正方形的中心为 O，OC=4 2 ，则 BC 边的长为22和 DEFG 都是正方形，面积分别为 7 2和 11 2，14如图， A 在线段 则CDE 的面积等于 15如图，将边长为 平得折痕 FG，若 GF 的长为 13cm， 16将一个正方形分割成 n个小正方形 (n1) ，则 n 不可能取 ( )A 4B 5C 817如图，正方形 ABCD 中， BAP=20 ，则 AQP=(A 65B 6018如图， ABCD 是边长为 若 SEFGH= 2 ，则 b

11、a 等于 (BG 上， ABCD cm212cm 的正方形ABCD 折叠，使得 A 点落在边 CD 上的 E 点，然后压 则线段 CE 的长为 D9P、Q 分别是 BC、 CD 上的点，若 PAQ=45 ， )C 35 的正方形，D70EFGH 是内接于 ABCD的正方形， AE=a ，AF=b ，33 D 2 A B2C 13如图，在 Rt ABC 中，C90，AC=3，以 AB 为一边向三角形外作正方形 ABEF ，19如图， BF 平行于正方形 ADCD 的对角线 AC，点 E 在 BF 上，且 AE=AC ，CFAC ， 则BCF 等于( )A 150B135C 105D 12020图

12、甲中，正方形 ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为 17， 10，13，图乙中， DPQR 为 矩形，对照图乙，计算图甲中六边形 ABCIGH 的面积21如图，在正方形 ABCD 中，P是 CD 上一点， 且 AP=BC+CP ， Q 为 CD 中点， 求证： BAP=2 QAD - 89 - / 522如图，有 4个动点 P、Q、E、F分别从正方形 ABCD 的 4个顶点出发，沿着 AB、BC、 CD、DA 以同样的速度向 B、C、 D、A 各点移动(1) 判定四边形 PQEF 的形状；(2) PE 是否总是经过某一定点，井说明理由；(3) 四边形 PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少 ?23如图 a，D 为线段 AE 上任一点，分别以 AD 、DE 为边作正方形 ABCD 和正方形 DEFG ，连结 BF、AG 、CE、BG、BE、BG、BE 分 别交 AD ，DC 于 P、Q 两点(1) 找出图中三对相等的线段 (正方形边长相等除外 )； 找出图中三对相等的钝角；找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗 ?(2)如图 b，当正方形 ABCD 和正方形 DEFG 都变为菱形，且 GDE= ADC 时， (1)中的 结论哪些成立，哪些不成立 ?请对不成立的情况说明理