三角形中线等分面积的应用

1、例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD是厶ABC的中线，过点A作AE丄BC,垂足为-BD-AE , Saadc = -DC-AE ,因为 BD = DC ,所以2 2三角形的中线把厶 ABC分成两个面积相等的三角形 利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。E,则 Sa ABD =SaABD = SaADC。因此，图1、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD的长为a,宽为b, E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G,求四边形 ABGD的面积.分析：因为E、F分别是BC和CD的中点，则连接 CG后，可知GF、GE分别是 DGC、 BGC的中线，而由SabCF =SaDCEab，

2、可图2得 Sabeg =Sadfg，所以 DGF、 CFG、A CEG、A BEG 的面积相等,问题得解。解：连接CG,由E、F分别是BC和CD的中点，所以Sabcf =Sadce =，从而得Sa41 ab abbeg =Sadfg，可得 DGF、 CFG、 CEG、A BEG的面积相等且等于X =，因此3412 ab 2abS 四边形 abgd =ab 4 X =。123例2、在如图3至图5中， ABC的面积为a（1）如图2,延长 ABC的边BC到点D ,使CD=BC,连结DA.若厶ACD的面积为 3, 则S1= （用含a的代数式表示）；（2）如图3，延长 ABC的边BC到点D，延长边CA到

3、点E,使CD=BC , AE=CA，连结DE .若 DEC的面积为S2,则S2= （用含a的代数式表示），并写出理由;（3）在BF=AB,连6）.若阴影（用含a的发现：图3图4的结 部分 代数图4F，使基础上延长FD , FE，得到 DEF-（如图 的面积为 式表示）f v面那样，将 A（5各边均顺次D延长一倍，连结所得端点,得到 DEF （如图6）,此时,我们称 ABC向外扩展了一次.10 / 6以发现，扩展一次后得到的 DEF的面积是原来 ABC面积的倍.应用：去年在面积为 10m2的厶ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模,EAF一 C . B ；：D图6H所以我们在平时的学习

4、AI1 ABC图9两等份，所以联想到作三角形E 图8.分析：可以把三角形先两等份，再把其中一勺中点ECD分成面积之比为囹:2:3的三个三角形（如图方法2:在BC边上截取 DC = 1 BC,3连结AD，然后取AB的中点P,连结BP、CP,把厶ABC向外进行两次扩展，第一次由厶ABC扩展成 DEF，第二次由 DEF扩展成 MGH （如图5）.求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2?分析：从第1个图可以发现AC就是 ABD的中线，第2个图通过连接DA，可得到厶ECD 的中线DA，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分 的面积，发现规律。解：（1 ）由CD=B

5、C，可知AC就是 ABD的中线，中线 AC将厶ABD的分成两个三角形厶ABC、 ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以Si=a ；（2）若连接 DA，贝U DA就是 ECD的中线，中线AD将厶ECD分成 CDA、 EDA， 它们的面积相等；所以 S2=2a ；（3）根据以上分析，可知 BFD、 CED、 EAF面积都 为2a;所以S2=6a;发现：由题意可知扩展一次后的 DEF的面积是 Sadef= S3+S ABc=6a+a=7a ;即扩展一次后的厶DEF的面积是原来 ABC面积的7倍。应用：由以上分析可知扩展一次后S总1=7a,扩展二次后S总2=S总i=72a,扩展三次后S

6、总3=S总2=7a,拓展区域的面积：（72- 1） X1O=48O （m2）说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形 演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结 论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。、巧分三角形例3、如图乙已知 ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个 三角形则厶PAC、A PAB、 PBC的面积之比为 1:2: 3 （如图9）.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3 ?、巧算式子的值在数学活动中,小明为了求1丄丄丄2 22 23 24值（

7、结果用n表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个2的图1011111几何图形求234n的值.2 2 2 221分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的，联想到将三角形的面积不断的平2分，所以可以构造如图 10的图形进行求解。解：如图10，设大三角形的面积为 1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形,余部分的面积为1111 1 1尸歹歹 刁歹，因此1丄二二丄=12 22 ?3 ?42门说明：此题运用 数形结合思想”借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙三角形内角和定理及外角性质的应用三角形三个内角的和

8、等于 180这是三角形内角和定理.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个内角，这是三角形外角性质.三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明.一、求三角形的内角例2（08太原）在厶ABC中，/ B=40 / C=80则/ A的度数为（）A . 30 B. 40 C. 50 D. 60解：由三角形内角和定理，得/A=180 / B- / C=180 408060 答案选 D .例3(08东营)如图1,已知/ 1=100 / 2=140 那么/ 3=解：/ 4=180 / 仁 180100=80 ,/ 5=180 / 2=180 - 140=

9、40 ,由三角形内角和定理，得/ 3=180 / 4- / 5=180 80 40 =60 ,答案选 D .说明：在求出/ 4=80后，也可根据三角形外角性质，得/ 2= / 4+ / 3,所以/ 3= / 2- / 4=140 80=60 .二、判断三角形的形状例1 （08陕西）一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7,这个三角形一定是（）A 直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形解：设三个内角分别为 2k, 3k, 5k，由三角形内角和定理，得2k+3k+5k=180 解得k=15 所以2k=30 3k=45 7k=105 所以这个三角形是钝角 三角形，答案选C.三、求角平

10、分线的夹角例4（08沈阳）已知 ABC中，/ A=60, Z ABC、/ ACB的平分线交于点 O,则/ BOC的度数为.图21解：如图2,由BO平分Z ABC，得Z 1= Z ABC;21 由 CO 平分 Z ACB，得 Z 2= Z ACB .211所以 Z 1 + Z 2=( Z ABC + Z ACB) =(180 Z A)221=丄（180 60） =602四、求三角形的外角例5（08贵州）如图5,直线I1/I2, AB丄h，垂足为D , BC与直线S相交于点C,若/ 1=30 贝U / 2=.解：如图6,延长AB交I2于点E.因为Ii / I2，由两直线平行，内错角相等，得/BEC

11、= / 3.由 AB 丄 Ii,得/ 3=90 所以/ BEC=90 由三角形外角性质，得 / 2= / BEC+Z 1=90 30 120 AL.图5B2IiAID图 6 I1说明：本题也可延长 五、比较角的大小C（CB交I1于点F，构造厶审）进行求解，完成请同学们完成.0E C 例5（08凉山）下列四个图形中/ 2大于/ 1的是（）AD71 一，.两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得/仁/2; B选项，可得 / 2大于/ 1. C选项中的/ 2与/ 1的大小关系无法确定； D 可得 /仁/ 2 答案选B.ab解：A选项中/ b利 根据三角形的外角性质, 选项中，由对顶角相等,22如图所

12、示， ACBA DEF其中A与D, C与E是对应顶点，贝U CB的对应边是A DZ ABO的对应角是3. ABC和 ABC冲，若 AB=AB , BC启BC，则需要补充条件ABC 二 A B C4如图所示，AB CD相交于O且A，联想到SAS只需补充条件_可得到BEF现需配成同样大小的ADECU已具备的另O全等三角形水平测试（1 ）湖北薛建辉一、试试你的身手1.如图所示，沿直线 AC对折， ABCW ADC重合，则 ABC, AB的对应边是, AC的对应边是 ，/ BCA勺对应角是 .C观察图形， _，则有厶5如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成i、n两块， 块为了方便起见，需带上 块

13、，其理由是 6如图所示，若只有ADL BD于点D这个条件，要证 ABD ACD则需补充的条件是 或或7如图，在 ABC中，Z BAC= 60，将 ABC绕着点A丿顺时针旋转 序0后得到 Z BAE的度数为_二、相信你的选择1.下列说法：全等三角形的形状相同；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对 应角相等；全等三角形的周长.面积分别相等，其中正确的说法为（A.E.C.D.32下列结论错误的是（）A.全等三角形对应角所对的边是对应边E.全等三角形两条对应边所夹的角是对应角C. 全等三角形是一个特殊三角形D. 如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等3下面各条件中，能使 ABC2

14、A DEF勺条件的是()A. AB= DE / A=Z D,BC= EFB.AB= BC/ B=Z E,DE= EF0. AB= EF / A=Z D,AC= DFD.BG= EF,/ C=Z F,AC= DF4. 在 ABCffiA DEF中 , AB= DE / A=Z D,若证 ABCA DEF还要补充一个条件，错误的补充方法是（）A.Z B=Z EB.Z C=Z F5. 下列说法正确的是（）A.两边一角对应相等的两个三角形全等C.两个等边三角形一定全等6. 如图所示,BE!AC CFLAB垂足分别是C. BC= EFD. AC= DFB.两角一边对应相等的两个三角形等D.两个等腰直角三

15、角形一定全等E. F,若BE= CF,则图中全等三角形有 （）A. 1对B.C. 3对D. 4对BC= BE,欲证 ABCA DBC则需补充的条件是（B.Z E=D 7.如图，AB= DBA.Z A=Z D三、挑战你的技能1. 如图，若Z DAB=Z CBA全等的理由.2. （ 1）完成下面的证明：如图，AB= AC E, F分别是AC, AB的中点，那么 ABEA ACF 证明：E, F分别是AC ,11.AE AC, AF AB22Tab 二 AC , AE 二 AF 在厶ABE和厶ACF中=ZD.EABAB的中点,坍三角形C（2）根据（1）3.如图，已知：),),. ABE = ACF

16、.),BC 请证明： EBC2A FCBBE= DF, AE= CF, AE/ CF,求证：AD/ BC的证明，若连结CEL AD于E, BFL AD于F, (1)你能说明厶4.如图，已知：能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其个条件是 ,来说明这两个三角形全等，并写出证明过程.四、拓广探索 飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时， 断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量 的数学知识，按以下要求设计测量方案.（1）画出测量方案（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）FABCBA FB在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘,A, B两点间的距(3)计算AB的距离(写出求

17、解或推理过程，结果用字母表示) 参考答案：一、ADC AD AC / DCA 2. EF, / DFE3. N B =NB或AC = AC4. Z AOC/ BOD OCOD BOD 5.1,有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等6.Z BADZ CAD ABAC BD=CD 7. 100二、1. D 2 . C 3 . D 4 . C 5 . B 6 . C 7 . D三、1 .需要再添加的条件为：Z DBAZ BAC(ASA 或Z DACZ CBD(ASA)或 AD=BC(SAS) 2 .AE 二 AF (已证)(1 )中点定义， NA=NA(公共角),(SAS)AB =AC(已知)-(2

18、)证明： ABE - ACF , BE 二 CF ;又：E , F 分别为 AC , AB 的中点， 11EC AC , BF AB，: AB 二 AC , EC 二 BF，在 EBC 和厶 FCB 中， 22BE =CF,IBC = CB EBC = FCB.EC = FB3. 证明：AE / CF , . Z AEB 二Z DFC , 180 -Z AEB =180； Z DFC ,Z AED 二Z BFC, ： BE 二 DF , BE - EF 二 DF -EF , BF 二 DE .AE 二 CF,在厶 ADE 和 CBF 中， Z AED 二 Z BFC, ADE -CBF , Z ADE 二 Z CBF ,DE =BFAD / BC .4. (1)不能，(2)添加的条件为：BD=DC或