A20004021中南大学朱双厅郭帅成王再兴解读

1、2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设

2、置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：中南大学参赛队员（打印并签名）：1.朱双厅2. 王再兴3. 郭帅成指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：刘心歌日期：2009 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：制动器试验台的控制方法分析摘要本文通过深入分析瞬时转速与瞬时扭矩等可观测量，解决了制动器试验台的控制方法问题，提出了相应的控制方法

3、。针对问题一，根据等效转动惯量的定义，建立了等效转动惯量模型，即：模r2，进而型一，利用车的动能与等效转动动能相等，求得等效转动惯量 求得等效的转动惯量约为52 kg.m2针对问题二，根据题目提供的飞轮的直径，厚度和密度，利用转动惯量的定义，建立模型二，给出了飞轮的转动惯量计算公式 J =1/2 T R4 - r4 D，得出三个飞轮的惯量分别为：30 kg.m2， 60 kg.m2， 120kg.m2 ;由于基础惯量为10kg.m2，因此机械惯量有23 =8种组合，分别为为：10，40，70，130，100， 160，190，220。有两个补偿值符合要求，故电动机2个补偿转动惯量为52-40=

4、12 kg m2 和 52-70=-18 kg m2。针对问题三，本文建立驱动电流关系模型（模型三），得到驱动电流与可观测量 角速度和扭矩的三个关系式：I =1.5*（ J等一 J机）dw ， dtI =1.5*（ L J等，I =1.5* J等-J机L。根据题目给定的数据，可求dtJ等J机得驱动电流为：174.78A和- 262.17A。针对问题四，本文从能量误差的大小进行评价。求得能量差的表达式为： E=1/2*（3-匹*丄）*w 2，根据题目提供的数据，算出整个过程的能量差的相对35 P误差为5.6%，并画出能量差随时间变化曲线，路测和试验台测试时的能量曲线。 评定结果为整个过程总体考虑

5、路测能量在消耗上大致符合试验台检测的能量消 耗，但起始时电流供应不足，导致起始时的能量偏差较大。针对问题五，根据模型三得出电流的表达式为I =1.5*（ J等- J机厂其中二J/J机，首先测出制动器扭矩L1与时间t的关系式。由此可得到电流I与时 间t的关系式，测得上一个点的 L与w便可求得那个点的电流，由此可知那个 时间点t1，将（t1+0.01）代入I的关系式中，便可求得下一个时间点的电流。但 这个方法要求所有过程没有误差，因此抗干扰能力差。冋题六是对冋题五的一个补充，为了解决抗干扰能力差的冋题，在冋题六中 提出了模型六。由于种种因素的影响，使台试系统的能量与路试时有偏差， 模型 六就是在下

6、一个时间点补偿或减少上一个时间点损失或获得的能量，可得下一2 p时间段应施加控制电流大小为I ( t+0.01) I ( t+0.01) (la -*) Wa b a关键字：等效惯量电流关系模型抗干扰电流补偿模型问题重述1.1 问题背景汽车的行车制动器 （以下简称制动器） 联接在车轮上， 它的作用是在行驶时 使车辆减速或者停止。 制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一， 直接影响 着人身和车辆的安全。 为了检验设计的优劣， 必须进行相应的测试。 在道路上测 试实际车辆制动器的过程称为路试， 其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的 速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制

7、动踏板， 使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下； 在这一过程中， 检测制动减速度等 指标。为了检测制动器的综合性能， 需要在各种不同情况下进行大量路试。 但是， 车辆设计阶段无法路试， 只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟 试验。惯量是制动器试验台中的重要试验参数,惯量模拟精度直接影响试验结果的准确度。 最直接的惯量模拟方法是机械模拟， 即在主轴上安装惯性飞轮， 使其 惯量与车辆折算到轮边的惯量一致， 通过电动机驱动旋转来模拟汽车行驶动能。 ， 但是机械惯量必然存在级差， 不能精确地用机械惯量模拟试验， 本文考虑用一种 惯量模拟的能量补偿法，通过控制电动机输出功率来补偿带模拟惯量

8、储存的动 能，从而实现惯量的模拟。1.2 相关信息等效的转动惯量是指车轮承受的载荷在车辆平动时具有的能量 （忽略车轮自 身转动具有的能量）等效折算到试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量， 与此能量相应的转动惯量；试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯 量；飞轮组由若干个飞轮组成， 使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上， 这 些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。 一般假设试验台采用的电动机 的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N - m ；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。工程实际中常用的计算机控制方法是： 把整个制动时间离散化

9、为许多小的时 间段，比如 10 ms 为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与 /或瞬时扭 矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。评价控制 方法优劣的指标是能量误差， 指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制 动器在制动过程中消耗的能量之差。1.3 需要解决的问题（1）设车辆单个前轮的滚动半径为 0.286 m,制动时承受的载荷为6230 N，求 等效的转动惯量。（2）飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m 0.1568 m,钢材密度为 7810 kg/m3,基础惯量为 10 kg m2, 问可

10、以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为-30,30 kg m2,对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯 量？（ 3）建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动 5.0 秒后车速为零,计算驱动电流（4） 对于与所设计的路试等效的转动惯量为 48 kg m2，机械惯量为35 kg m2, 主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况， 用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。（5） 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一

11、个时间段观测到的瞬时转速与 / 或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法， 并对该方法进行评价。如 果有不足，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。问题分析2.1制动原理慣性电轮聖动电机图2.1制动器试验台结构示意图模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动 过程尽可能一致。如图2.1所示，制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱 动主轴旋转的电动机、施加制动的制动器、底座以及测量和控制系统等组成。被 试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时通过提供反向的扭矩使主轴减 速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速 后电动机断

12、电同时通过提供扭矩做功补偿转动惯量，当满足设定的结束条件时就 称为完成一次制动。（模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一 致）2.2等效转动惯量（模型一）分析等效转动惯量从能量角度的定义，车轮承受的载荷在车辆平动时具有的 能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效折算到试验台上飞轮和主轴等机构转 动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量，已知车轮的半径R和车轮所承受的 载荷G,假设车的速度为V,利用等效折算等式即可求出等效转动惯量；2.3机械惯量与相应的补偿惯量（模型二）根据转动惯量的定义：J二mr2，利用微元法可以求出已知外半径 R,内半径 r,厚度D,材料密度圆柱环相对中心轴的转动惯

13、量的计算公式；因机械转动惯 量和等效转动不相等，电动机补偿惯量就是等效转动惯量和机械转动惯量的差值，补偿惯量为正表示电动机加与转速同向转矩，做正补偿，否则反向，做负补 偿；2.4电动机驱动电流模型(模型三)要建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型， 由题目信息可知，试验 台工作时主轴的瞬时转速n与瞬时扭矩L是可观测的离散量，由制动原理可知瞬 时扭矩L为制动器对主轴的扭矩Li和电动机对主轴的扭矩L2的合扭矩。由于假 设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比(比例系数取为1.5A/N m，即要找电动机提供的扭矩L2与可n和L的关系；利用动力学方程L = Ji 和试验台上制动器对主轴的

14、扭矩和路试时制动器对主轴的扭矩相同， 建立方程组 求解；2.5计算机控制方法评价模型(模型四)评价控制方法优劣的数量指标是能量误差的大小；可以考虑路试和试验架上试验过程任一时刻t能量的差，则单位时间内消耗的能量的差为能量差对时间的 一阶导；利用等效转动惯量可求出路试时制定器在制动过程中消耗的能量；利用机械转动惯量可求出飞轮和主轴上的动能，利用瞬时转速与或瞬时扭矩可表示出电流提供的等效转动惯量上的动能；画出能量差曲线图和取整个过程能量误差大小 进行评价；2.6计算机控制方法(模型五)由于路试时是以恒定的力踏下制动踏板，所以对于一个制动器其开始制动到 制动力达到稳定状态其变化曲线是一定的，假设为

15、Li(t)，一般Li(t)前段时间递 增，而后达到稳定；由于制动器的扭矩 L(t)变化已知，故车轮的角速度也可求 出；利用模型三中求出的驱动电流与可观测量 n，L之间的两个关系式可递推出 相连两个时间段的电流I之间的递推关系；已知前一时间段的瞬时扭矩可求出相 应时间段的电流Ik，从而可求出本时间段的电流大小Ik+i ；2.7完善的计算机控制方法(模型六)考虑到前一时间段的提供的驱动电流补偿等效转动能量与飞轮的转动动能的合能量与路测中能量的会有偏差(可能是由阻力变化或其它因素干扰产生)，若继续用模型五，则产生的偏差不能消除，就会像第四问中的两条能量曲线一样 无法重合；此时需要重新建立一个更加完善

16、的模型；此时需要在设计时，计算机要记录下前 10ms时间点补偿的驱动电流，记为 It，前10ms那个时间的时间点上的La与na是可观测的三、模型假设(1) ，不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差；(2) ,不考虑能量补偿时间对惯量模拟的影响，考虑补偿时间等于实际制动时间;(3) ，不考虑飞轮的惯量加工误差，风阻及轴承损耗等阻力引起的扭矩对实验的影响考虑是一个常数，等效在制动器中；（4）,载荷考虑是车和载货的自重，不考虑其他因素对载荷的影响;（5），假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比;四、符号说明变量含义m表示飞轮质量，m表示第i个飞轮的质量n表示车轮和主轴的角

17、速度w表示车轮和主轴的角速度Ei表示汽车的能量E2表示飞轮等效模拟能量L表示主轴上的瞬时扭矩Li表示制动器的扭矩，路试是汽车制动扭矩L2表示电动机提供扭矩J机表示机械转动惯量J等表示等效转动惯量Jo表示基础转动惯量I表示电动机电流p表示车轮和主轴的角加速度五、模型的建立和求解5.1等效转动惯量模型（模型一）（1）符号说明G:表示汽车承受的载重，G=6230 N；r :表示车轮的半径，r= 0.286 m；（2）模型一建立根据等效转动惯量从能量角度的定义，车轮承受的载荷在车辆平动时具有的 能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效折算到试验台上飞轮和主轴等机构转 动时具有的能量，与此能量相应的转动惯

18、量；首先表示出车辆以速度V行驶时的能量:巳=1/2 Ggv2 =1/2Gg (rw)按照转动动能公式的定义，得出表达式:2E2 = 1/ 2 J 等 w根据（5.1.1）和（5.1.2）联立可得,J 等 w2 = %(rw)2由此得出汽车运行时的等效转动惯量表达式:(5.1.1)(5.1.2)(5.1.3)(5.1.4)27带入问题一中给出的数据，取重力加速度 g=9.8ms，则可解得:% =6230N /9.8NLkg=635.71kg可求解得等效转动惯量：J等=%r2 =635.7仆0.2862 = 52kgm25.2机械惯量与相应的补偿惯量模型（模型二）（1）符号假设2R=1 m；2r=

19、0.2 m；R:表示飞轮的外半径,r:表示飞轮的被半径,D:表示车轮的厚度，Di表示第i个车轮的厚度，D1 =0.0392 m, D2 =0.0784 m,D3 =0.1568 m；3?:表示飞轮的材料密度，? =7810 kg/m ； Ji :表示第i个飞轮的转动惯量，i =1,2,3 ；（2）模型二建立在理论力学的参考文献中查得圆柱环对中心轴的转动惯量方程为:(5.2.1)(5.2.2)(5.2.3)J =1/2 m （R2 r2）又有圆环的质量公式：m：iR2-r2 D根据（5.2.1）和（5.2.2）联立可得：J -1/ 2 T -R4 -r4 D把R, r, Di，所给的数据带入得求

20、解可得:2 2 2J1 =3 0. 0k）gmJ2=6 0.0k）gmJ3=1 2 0.0cm已知基础转动惯量为：J0 = 10.00kg m2根据排列组合可得，可组成的机械惯量有 23 =8中情况；各分组详细信息如下表：表一：飞轮的组合方式及转动惯量组合J0J0+J1J0 * J2J0 + J3J + J +J2J0 + J1+J3J0+J2+J3J *+2+3J机(kg m2)104070130100160190220由于电动机的补偿转动惯量范围是：（-30，30），所以可选取J+Ji和J0+J2两个组合：（1）当选取J0+J1时，补偿转动惯量是52-40=12kg m2，此时电动机为正补

21、偿;在正补偿时，电动机提供的扭矩与飞轮的转速方向相同，做正功，J等J机;此时 J0 =10kg m2， J 30kg m2， J机二 40kg m2， J等二 52kg m2（2）当选取J0+J2时，补偿转动惯量是52-70=-18 kg m2，此时电动机为负补偿；在正补偿时，电动机提供的扭矩与飞轮的转速方向相反，做负功，J等舟J机 ；此时 J0 =10kgm2， J1=60kgm2， J机二 70kgm2，J等二 52kgm25.3电动机驱动电流模型（模型三）（1）符号说明：1 :表示试验台上制动器对主轴的扭矩产生的角加速度；：2 :表示试验台上电动机对主轴的扭矩产生的角加速度；（2）模型三

22、建立路试时车辆的运动过程是：发动机带动车轮转动，当速度达到设定值时关闭 发动机，脚踩刹车由制动器进行制动。实验台上机械惯量制动系统的工作过程是： 由电机调速系统控制电机带动惯量飞轮转动，当转速达到设定值时切断电源，然后由制动器控制系统控制制动器对惯量飞轮进行制动。要建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，试验台工作时主轴的瞬 时转速n与瞬时扭矩L是可观测的离散量；由于假设试验台采用的电动机的驱动电 流与其产生的扭矩成正比（比例系数取为1.5 A/N m，即要找电动机提供的扭矩L2与可n和L的关系；根据图2.1的试验台上制动工作原理图，路试和试验台上制动器提供的制动 扭矩是一样的，从而路试车轮和试验时的主轴的角加速度也相同；首先建立路试时汽车制动的动力学方程：L, =J等上（531）在试验台上，飞轮制动的动力学方程L=J 机上（5.3.2）在试验台上，制动器对飞轮提供的制动方程：L, = J 机（533） 在试验台上，电动机对飞轮提供的制动方程：L J机（ 5.3.4）其中齢和j与1之间和L,和L2与L之间满足：当电流为正补偿时二-当电流为负补偿时二 -2（ 5.3.5）当电流为正补偿时L = L, -L2当