全国优秀导学设计方案北京丰台二中

1、25.2旋转变换教学设计北京市义务教育课程改革实验教材数学第 18 册北京市丰台二中 赵燕一、教学内容解析（一） 指导思想与理论依据新课程标准 在义务教育的三个阶段都非常强调图形运动的教学， 并且明确指出在数 学教学中， 应当注重发展学生的空间观念和几何直观 . 从课程内容的安排来讲， 统筹地思考、 恰当地引入图形运动和图形操作（包括几何作图）可以很好的落实几何直观的教育价值 . 同 时课标在课程设计思路中指出，义务教育阶段数学课程设计要： “在呈现作为知识与技能的 数学结果的同时， 重视学生已有的经验， 使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、 构建数 学模型、寻求结果、解决问题的过程 . ”

2、建构主义理论告诉我们， 知识是学生自主建构的， 不是老师教给的， 通过自己的探究与 实践构建自身知识体系符合学生的认知发展规律 .基于这样的思考， 本节课通过实例， 调动学生关于旋转的已有知识和生活经验， 在此基 础上， 经过逐步抽象，得出旋转变换的定义， 随后又采用从特殊到一般的方式，与学生共同 归纳出旋转变换的性质 . 教学设计力求学生对运用图形变换的观点学习几何有所感受，同时 在学生已有的知识与经验的基础上，逐步渗透变换的思想 .（二） 学习内容分析利用图形变换的理论与方法讨论初等几何， 是用图形运动的观点处理综合几何的一种重 要途径.第25章主要介绍了四种变换：平移变换、 旋转变换、

3、轴对称变换和位似变换， 是学 生第一次较为系统的学习图形变换的理论， 主要是向学生渗透变换的思想， 理解变换的基本 性质，而不要求严格的几何证明 .本节课是初中数学“空间与图形”中的内容：第18册第 25章第 2 节旋转变换 .本节课是在学习平移变换的基础上， 对图形变换的进一步探究， 旋转变换不改变图形的形状和大小， 属于保距变换， 是刚体运动的一种 . 旋转变换是一类非常基础而又应用十分广泛的图形变换， 其体现出来的变换思想在其他学科领域也多有涉及， 可为学生将来的学习打下基础 . 基于此， 学生对旋转变换的认识不能仅是停留在生活经验的层面上，而应有较为系统而深入的认识， 因此确定 本节课

4、的重点是旋转变换的概念和性质 .二、学生学情分析对于实际生活中物体的运动现象，学生并不陌生. 在小学阶段，学生已经感受过平移、 旋转和轴对称现象， 并体验过简单图形的运动， 而且通过初一和初二的学习， 接触过简单图 形（如三角形、平行四边形等）的运动，因此学生已经对旋转变换有了一定的了解，只是还 不能清晰而准确的把握旋转变换的概念和性质 .学习平移变换时学生已经经历了概念抽象和性质归纳的全过程， 概念和性质的得出需要 学生具有一定的抽象概括能力和合情推理能力.对于本节课旋转变换的学习，在抽象概念的环节，通过情景的创设及演示， 师生共同努力可以得到旋转变换的概念； 在归纳性质的环节， 通过对特殊

5、图形旋转前后性质的总结， 推广得到一般的平面图形旋转的性质， 学生学习的主 要困难在于认识到图形绕旋转中心的旋转，归根结底是图形上的每一个点绕旋转中心的旋 转，需要教师的帮助才能实现学生认识上的突破 .基于此，确定 本节课的教学难点是性质的归纳 . 为了突破难点采取的方式是将将难点分 解，逐步突破，在归纳性质的过程中不断深化认识 .三、教学目标设置义务教育阶段的课程总目标要求学生“经历图形的抽象、分类、性质讨论、运动、位置 确定等过程， 掌握图形与几何的基础知识和基本技能， ” 并且“探索并理解旋转平面图形的 平移、旋转、轴对称” .根据课程标准及上述分析，确定本节课的教学目标是：（1）通过实

6、例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质，并能按要求作出 简单平面图形旋转之后的图形；（2）经历对旋转变换图形的欣赏、分析、画图等过程，掌握有关画图的操作技能；（3）感受从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维过程，逐步提升合情推理能力和抽象 概括能力 .（4）从观察和操作的过程中感受数学的运动美，提高学习兴趣 .四、教学策略分析（一） 教学方法本节课采用启发讲授， 探究学习、 类比学习等教学方法， 使学生在认识旋转变换的同时， 体会数学学习的一些常用方法，如抽象、从特殊到一般、类比等 .（二） 教学手段选择多媒体辅助教学，同时借助几何画板，直观、 形象地再现平面图形旋转的过程，为 学生

7、自主探究和发现新知提供必要的技术支持 .五、教学过程（一）直观感知，形成概念 1直观感知：感受现实生活中的旋转现象通过问题引发学生对旋转变换本质属性的思考： 问题（ 1）：你还知道物体的其他运动方式吗？ 问题（ 2）：你能举例说明吗？问题（ 3）：这种运动方式具有哪些共同特征？ 学生充分发言，给出丰富的实例，学生举出实例之后，教师分别展示实物（钟表和玩具汽车）和图片 （风车） ，请学生具体感受这类物体的运动，然后归纳物体运动的共同特征.【设计意图】 通过具体实例充分调动学生的感性认识， 同时请学生思考旋转这类物体运动的 特点，为旋转变换概念的抽象作铺垫 .图12抽象：从物体的旋转现象到平面图形

8、的旋转变换（1）物体抽象为平面图形类比上节课的作法，引导学生把实例中的物体抽象为平面图 形，抽象的方法是通过物体的主视图，从而把物体抽象为平面图形选取钟表指针的旋转（图片展示）和风车的旋转（图片展示） 为例，分别把指针和风车的扇叶抽象为平面图形 .【设计意图】 从空间到平面的抽象是研究数学问题的重要手段， 同时把空间中物体的运 动抽象为平面内图形的运动， 使学生对转动现象的定性认识上升到定量的刻画， 形成系统而 精确的认识，为进一步学习作准备 .3形成概念在图 1 中，隐去风车的图片，得到风车扇叶的外部轮廓，接着再隐去三个扇叶的外部 轮廓，从而简化为一个扇叶的外部轮廓，演示所得到的平面图形（线

9、段和四边形）的旋转， 同时提出问题：你能结合这些特征给出平面图形旋转变换的定义吗？ 师生共同分析得出旋转变换的定义 .旋转变换： 在平面内， 将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度， 得到一 个新的图形，这样的图形运动称为旋转变换 .旋转现象在生活中随处可见， 但是越直定义中要求“绕一个定点”转动，这是学生容易忽略的要素，需要教师引导与强调。 【设计意图】 抽象对于学生来讲不是一件容易的事，观的事物，越是与我们日常生活联系密切的事物就越难抽象.要想用简练的语言叙述概念，就必须抓住概念的本质，教学中采取的策略从具体到抽象，同时通过课件演示图形的旋转， 帮助学生摒除干扰，获得本质 .

10、4剖析概念（1）旋转前后图形全等 旋转变换不改变图形的形状和大小，这是与平移变换共有的性质 .（2）三要素 分析定义中涉及的关键词，提炼出旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 在图 4 中指出三要素图4（3）图形的旋转点的旋转 将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度，意味着图形上的每个点 同时沿顺时针或逆时针方向转动相同的角度，即图形上每个点的运动都遵循了相同的规律 通过下面的问题使学生体会到这一点：问题 2：点 C 到点 C的运动路线是什么？问题 1：任意在 OA 上取一点 C，对应点 C在哪？问题 3：任意在 OB 上取一点 P，对应点 P 在哪？4）旋转变换是可逆变

11、换旋转变换属于正交变换， 是可逆变换的一种， 虽然初中生的认知基础不足以理解， 但还 是可以根据下面的问题来渗透这一思想： 问题：如何从 OAB旋转得到 OAB ？【设计意图】在剖析中加深对概念的理解（二）观察操作，探索性质运动前后图形全等， 是平移和旋转所共有的特征， 那么对于旋转变换而言， 又有哪些特 有的性质呢？下面我们类比上节课得到平移变换性质的方法，探讨旋转变换的性质 . 1动手操作，探索性质 动手操作 1：A如图 5，点 A 绕点 O 顺时针旋转 90，请作出点 A 的对应点 A.图5请学生分析并展示作图方法， 对于点的旋转可以根据概念借 助圆规画出点的运动路径，并最终确定点 A

12、的对应点 A， 如图 6 的图形 .A图6动手操作 2： 如图 7，利用直尺、圆规，以平面内任意一点为旋转中心O，任意选取旋转方图7向和旋转角，作出 ABC 绕点 O 旋转之后的 ABC在学生完成作图的基础上，请学生思考：结合作图过程，并观察图形，找出旋转前后 的不变量 .分析：小组交流之后，请学生代表展示，展示之后适时追问，使学生明确下面的问题 首先请学生思考：如何完成“从点的旋转到三角形的旋转”的作图问题？引导学生认 识到：三角形旋转之后仍然得到与原三角形全等的三角形，故此只需确定顶点的对应点即 可.其次，旋转中心 O 的位置有三种：三角形外、三角形边上、三角形内.下面各图的旋转中心是点

13、O ，旋转方向是顺时针ACOC在学生展示的基础上，师生共同总结出结论：对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角2从特殊到一般：验证结论，获得性质类比平移变换性质的归纳过程， 关于旋转变换性质的结论同样需要推广到一般情况， 上利用几何画板验证结论 .（1）任意选取旋转中心，验证性质（几何画板演示）教师引导学生有序思考，旋转中心可能在三角形外、上、内三种位置点 O 在三角形外部旋转角为 78JHIABBACOA = 2.57 厘米OA = 2.57 厘米AOA = 78 BOB = 78 图8点 O 在三角形边上OA = 3.34 厘米OA = 3.34 厘米AOA = 78

14、 BOB = 78 图9点 O 在三角形内部COA = 2.97 厘米OA = 2.97 厘米AOA = 78 BOB = 78 图10（2）任意改变旋转角，验证性质（几何画板演示） 教师引导学生有序思考，旋转角可能是锐角、直角、钝角、平角、优角等.改变旋转角的大小，观察图形，探讨结论是否成立，具体图形省略 .（3）从三角形到其他平面图形在动手操作 1 中，已经探讨了点的旋转， 由此可以知道， 对于平面图形上的每一个点来 说，其旋转一定角度的图形都可以与操作 1 中类似，从而可以知道结论成立 . 而任何一个平面图形都是由点构成的， 根据上面的讨论， 我们可以得出平面图形旋转变换的 性质：对应点

15、到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 .【设计意图】 性质是通过观察特殊图形归纳得到的， 并不要求学生进行严格的证明， 而且学 生现有的知识也不足以进行严格的证明， 但是从学生自身的发展以及对数学思维的渗透角度 来讲，需要让学生明确归纳得到的性质需要具有普适性， 体会数学中从特殊到一般的思想方 法，为进一步学习打下基础 .此处采取的策略是师生共同分析，借助几何画板演示实现一般 化的推广 .D（三）解决问题，巩固知识例 1 如图， ABC 是等边三角形， D 是 BC 上一点， ABD 经过旋转后到达 ACE 的位置 .请回答：（1）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？（2）如果

16、 M 是 AB 的中点，那么经过上述旋转后， 点 M 的对应点是哪个点？（3）如果 N 是 AE 的中点，那么点 N 是由哪个点旋转得到的？答案：（1）点 A；逆时针旋转了 60；（ 2）AC 的中点；（3）AD 的中点【设计意图】第（ 1）问是对旋转变换概念和性质的直接应用，学生容易得出.通过对第（ 2）问的思考，使学生进一步体会到旋转变换是“全等变换” ，也就是说旋转前后图形上点与点 的相对位置不会发生变化，从而对旋转变换不改变图形的形状和大小有更进一步的认识.通过第（ 3）问使学生体会到旋转变换是可逆变换，ABD 上的任意一点都在 ACE上有对应点，反过来 ABD 上的任意一点都在 AC

17、E 有对应点 .例 2 请按照题目要求完成作图（1）如图为 44 的正方形网格， 每个小正方形的边长均为 1，将三角形 OAB 绕点 O 逆时针 旋转 90，画出 OAB 旋转后的图形 O AB.BAOBBAAO答案：见上面右图分析：有两种作图方法可以选择： （ 1）利用概念借助圆规画图； （2）利用性质画图 .对比两 种方法，指出在网格中利用性质画图更为简洁 .（2）如图，ABC绕点 A旋转之后， 点 B的对应点为 B， 请确定点 C 对应点点 C，并画出旋转之后的图形 追问：如何作出简单平面图形旋转之后的图形？分析： 确定旋转方向和旋转角： 顺时针旋转 90，然后作出图形 .关于作图方法，

18、 在学生交流的基础上， 教师进行评价， 达成共识：根据题目要求确定旋转中心、旋转方向、旋转角和对应点 . 【设计意图】通过例 2的教学， 使学生在动手画图的过程中， 理解旋转变换的性质，掌握有 关画图的操作步骤，认识旋转图形的形成过程，为运用变换进行图案设计作铺垫 第（ 1）问的目的是使学生会按题目给出的旋转方向、旋转角度画出旋转后的三角形.第（ 2）问是在第（ 1）问的基础上，使学生能根据题目给出的一组对应点及旋转中心确定旋转方向和旋转角度（顺时针旋转 90），并画出旋转后的三角形（四）知识小结，布置作业知识小结：（1）本节课你学到了哪些知识？（2）这些知识是通过什么方法得到的？（3）应用知识解决问题的过程中，需要注意什么问题？（4）对比分析平移变换和旋转变换的异同： 【设