专题 圆锥曲线测试解答题历年全国卷理科原题

1、绝密启用前精选2017-2018学年度圆锥曲线测试题理科考试范围：xxx;考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明、单选题1 .已知抛物线C : y2uuu/ LUV4x的焦点F，直线I与C交于A、B两点，且2BF FA，则直线I的斜率可能为（A. 2.2 B. .2C. 12x2 .已知椭圆E ： -ya2每 1的左右焦点分别为F1,F2，过右焦点F2作x轴的垂线，交b椭圆于代B两点.若等边 ABF1的周长为4一3，则椭圆的方程为（2 2x y A.322 x2y ,2

2、x2y ,2 x2y ,B.1C.1D.13623941的离心率为 2卫，且一个焦点与抛物线3x2 8y的焦点相同，则此双曲线的方程是（）2y 2 AA. x 132xB.412C.2x D.124.若中心在原点，焦点在 y轴上的双曲线离心率为、3，贝y此双曲线的渐近线方程为（）A. y x B. yC. y 、2x1D. y x21 a 0的左、右焦点，过点F,且与x轴垂2x5 设点FF2分别是双曲线 C：ra直的直线I与双曲线C交于A, B两点.若ABF?的面积为 6，则该双曲线的渐近线方程为7 一个椭圆中心在原点，焦点Fi, F2在x轴上,P 2/. 3是椭圆上一点，且A.y3xB. y

3、xC.3y2xD. y2x26.若点P到点F4,0的距离比它到直线x50的距离小于1,贝U P点的轨迹方程是（)A.2y16x2B. y32 xC.2y216xD. y32xPF,、F,F2、PF2成等差数列，则椭圆方程为（）2 x22 2x y x2y2A.1B.1c.18616 68422xD. 一164x8 .设F, F2是椭圆一162y121的两个焦点,p是椭圆上的一点，且 p到两焦点的距离之差为2，则 PF1F2是（）A.直角三角形B.锐角三角形 C.斜三角形D.钝角三角形A. 1 B. 2C. 2D.2 210 如果椭圆X T 1的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是A. x 2y

4、 30B. 2x y 3 0C. 2x y 3 0D. x2y 30,离心率为仝.3216.设F为抛物线C: y 2x的焦点,A, B是抛物线C上的两个动点第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题2 2x y11 过点M 1,1的直线与椭圆1交于A,B两点，且点M平分弦AB ,43则直线AB的方程为2 212 .已知圆C: x 3 y 4及点A 3,0 , Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为 .13 若椭圆两焦点为 F1 4,0 , F2 4,0，点P在椭圆上，且PF1F2的面积的最大值为12,则此椭圆的方程是.三、解答题214 已知抛物线

5、的标准方程是 y 6x.(1) 求它的焦点坐标和准线方程；(2) 直线I过已知抛物线的焦点且倾斜角为45,且与抛物线的交点为 A B，求AB 的长度(I)若直线 AB经过焦点F，且斜率为2，求AB ;(n)若直线l: x y 40,求点A到直线l的距离的最小值17 .(本小题满分14分)2 2已知椭圆C：L.爲a2 b21(a0)过点A 2,0，且离心率为精选(I)求椭圆C的方程；(n)设直线y kx 13与椭圆C交于M , N两点.若直线x 3上存在点P，使得 四边形PAMN是平行四边形，求k的值.2 218.已知椭圆C : 2 占 1 a b 0的左右焦点分别为 Fi, F2 ,若椭圆上一

6、点P满 a b3足PF1PF2 4，且椭圆C过点1,-，过点R 4,0的直线l与椭圆C交于两2点 E,F .(1) 求椭圆C的方程；(2) 若点E是点E在x轴上的垂足，延长 EE交椭圆C于N，求证：N, F2F三点共线.2X 219 如图，A,B是椭圆C :y 1长轴的两个端点，P,Q是椭圆C上都不与 代B4重合的两点，记直线 BQ,AQ, AP的斜率分别是kBQ, kAQ, kAP ._ 二 | - 二.0lr()求证：kBQ ?kAQ4(2)若kAP 4kBQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标20 设?、？?分别是双曲线?-?= 1的左、右焦点.若点？在双曲线上，且?= 0 , 求|

7、碍?+ ?的值.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考参考答案1. A【解析】设A、B两点坐标分别为A Xi, y-i B x2,y2uuv uuvQ 2BF FA2 1X2,y2Xi1,yi,Xi12 1X2, y2y?由题意，设直线AB的方程为y代入抛物线方程得:ky2 4y 4k 0，因为直线与抛物线有两个交点,所以=16 16k20，Y1 Y2把2y2代入即可解得2叮2，故选A.答案第3页，总21页2. A【解析】由题意可得等边ABF1的边长为3，则AB写由椭圆的定义可得2a AF1 AF24 ”32*3332, 3，即 a x3，由 F1F2 2c22，即有 c 1，则

8、ba2 c2、2，32X则椭圆的方程为-32y1，故选A .23. Ac 2【解析】由已知得抛物线的焦点为0,2 ,所以n 0,m 0, c 2,所以，双aV32曲线的方程是 X2 1.故选A.34. B【解析】因为离心率eJ3，所以ab2-y 2，又焦点在 y轴上，所以渐近线方程为ay子，故选B.5. D【解析】设Fic,0,Ac, yo2小c，则Ta2yo_22a-2 ab2a2. 2- yo又 S abf22c2 yoAB坐 2.6 ,aba2o2：2 1该双曲线的渐近线方程为选Db点睛:双曲线的渐进线是双曲线的重要性质之一, 为主。求双曲线的渐近线方程时，可利用也是高考的常考点，题型一

9、般以选择题或填空题c2 a2 b2转化为关于a,b的方程或不等式，其中常用到双曲线渐近线的斜率与离心率的关系，即aa-1。6. C【解析】 因为点P到点4,0的距离比它到直线 x 50的距离少1,所以将直线x 50右移1个单位，得到直线 x 40，即x 4,可得点P到直线x 4的距离等于它到点 4,0的距离，根据抛物线的定义，可得点P的估计是以点 4,0为焦点，以直线x 4为准线的抛物线,设抛物线方程为y2 2px，可得卫 4，得2p 16，所以2 F1F2PF1 PF2 2a，所以 a 2c，2设椭圆的方程为务aa2c1(a b 0)，则ab2c2 ，4詈12 a2解得 a 2 .2, c

10、2, b2x26，故椭圆的方程为一81，故选A.2点睛：本题考查了椭圆的标准方程的求解及其几何性质的应用，对于求椭圆的标准方程的 基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然 后再根据a,b,c的关系，求出a,b的值，同时解答中注意椭圆定义的应用，其中利用待定系数求解圆锥曲线的方程是常见的一种求解轨迹方程的重要方法.8. A【解析】由椭圆的方程，可得 a2 16,b2 12，所以c2 a2 b2 16 12 4，则 Fi 2,0 ,F2 2,0，由椭圆的定义得 PF,PF2 2a 8，又P到两焦点的距离之差为 2，不妨设PF, PF2，则PF,PF2 2，解得

11、 PF, 5, PF2 3，又 F/5|x1 x24x2(n)设 A xo,yo ,则点A到直线l距离dX。yo4答案第15页，总21页由A是抛物线C上的动点，得yo 2x。,所以当yo 1时，dmin即点A到直线l的距离的最小值点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一， 尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用.2x 217. (1)y4，或2【解析】试题分析

12、:2 2(I)由椭圆C :7a b1过点A 2, o，可得a 2，再由离心率为乜结合a2b2 c2，可求得b 1，从而可得椭圆 C的方程；（n）设直线 PA的方程为本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考y k x 2 ，则 P 3,k， PAk2 1 ，由 2/ 3， 得x2 4y24,4k21 x2 8、3kx 80，由韦达定理弦长公式结合PA MN ，可得答案第19页，总21页16k456k2330，解方程即可求得的值试题解析：(I)由题意得因为 a2 b2 c2，所以b 1，2所以椭圆C的方程为y2 1 .4(n)若四边形 PAMN是平行四边形，则 PA/MN，且 PA MN

13、 .所以直线PA的方程为y k x 2，所以 P 3,k， PA、k21 .设 M 为， ， N x2,y2x2kx 3,4y24,得 4k2 1 x2 8 3kx 8 0，由0，得k21.2且 x-ix28 尿 xx 82 ， x1x2 2 .4k2 14k21所以 MN%X24x2164k4k2322 1因为 PA MN所以1 GW 324k2整理得 16k456k233 0,解得k乎，或k f 经检验均符合0，但k2PAMN是平行四边形，舍去.所以k 3，或k22y31 (2)见解析2x18.( 1)C:4【解析】试题分析： (1)由椭圆定义可得 PF1 PF2 2a 4，再通过点在椭圆

14、上求得b23，进而得椭圆方程；(2 )由题:知直线1的斜率必存在，设l的方程为yk x4占)八、EX1,%,FX2,y2,N捲,y1,直线与椭圆联立得34k22 x32k2x64k2120,由题可得直线FN方程为yy1yy1xX1,x2x)由*kx1 4,y2 kX24化简直线FN方程为k x 4 k x 4y k x-!4- x x-!，令y0,可得直线FN过点1,0 ，进而x2%得证 试题解析:(1 )依题意,PRPF22解得3，故椭圆C：24(2)由题知直线xi, yi,F4k2x232a 4，故 a 2，将 1,-2I的斜率必存在,X2, y2 , N xi,32k2x64k2yi12

15、由题可得直线FN方程为y1y2,y2X2直线FN方程为x1令y 0，整理得x1x2c 64k2 122空83 4k2I的方程为y k x 4 ，y联立3y20,0,X1XX-IX2X1k x2 4 kX2X1X1X2X132k23 4k2又椭圆C的右焦点坐标为F219. (1)见解析(2)直线PQ:2代入42yb21 中,k x4y2X24 得 3x21232k23 4k24k212 ,64 k2122 ，3 4k2x1 4x x2x1x2 4 为x1 x2 8243 4k232k2 24 32k23 4k2X21，即直线FN过点1,0，1,0，三点N,F2,F在同一条直线上.x ty 6恒过

16、定点6,055【解析】试题分析：(1)用坐标表示kBQ,kAQ，利用点在椭圆上易得结果;(2)由(I知:kBQkAP4kAPaqi .设 PQ :x ty m, 联立方程得：2 2t 4 y2mty2 m40 ,借助韦达定理表示kAP kAQi，从而得到m-,故5直线PQ:x ty5恒过定点试题解析:(I)设 Q xi, yi , Q B 2,0 ,A 2,0 ,kBQ kAQyi.yix12 x-i22 yi2Xii(n)由(【)知： kgQ kAP4设 P x2, y2，直线 PQ： x ty代入 x2 4y24，得 t24 y2mtyi y2 厂,yiy2i 得:iiikAP kAQkA

17、P kAQi44Xim,22mty m 40,m24yiy20,丄2t i yiy2m 2 t yiy2.2 2t i m 4m 2 t 2mt2 2m 2 t2 40,6Q m 2，二上式解出：m -,5直线pq：x ty 5恒过定点-，。点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值答案第i4页，总2i页问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推 理，到最后必定参数统消，定点、定值显现20. 2v10【解析】试题分析：根据双曲线的定义|?+

18、 |?= 2?= 2。因为？?？?？= 0，则？?丄 ?所以焦点三角形?为直角三角形，根据勾股定理得：|?2 + |縈瞰2 = |省?？在由 |?+ ? =+ ?2可求.试题解析：由双曲线 ？- ?= 1 知：？?(- v10, 0), ?( vTq, 0),2?= 2 vTq, 2?= 2， ?= 0，A |?2 + |?2 = |?=?4? = 40，（?+ ?2 = |的2 + 內2 + 2? ?= 40，|?+ ?= 2 価.? ?点睛：双曲线？容-音=1上任意一点？与双曲线的左右焦点？,？?构成焦点三角形 ?，在解焦点三角形的相关问题时，常有技巧：（1）双曲线的定义：|?- ? =

19、2?三角形的余弦定理：|?|2 = |?2 + |?2- 2|?|?cos?圆锥曲线解答题（历年全国卷理科）1、(2017 全国 I)2x已知椭圆C :a0），四点 R（1,1），巳（0,1），巳（.3G），P4(1）中恰有答案第#页，总21页三点在椭圆C 上.（1 ）求C的方程;(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A、B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1证明：I过定点.2、（2017 全国 U）2X 设0为坐标原点，动点 M在椭圆C :y2uuu_UUJUNP .2NM1上，过M做x轴的垂线，垂足为 N，点P满足(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线Xumr uuu3上,且

20、OP PQ1 .证明：过点P且垂直于0Q的直线I过C的左焦点F3、(2017全国山)已知抛物线C : y22x，过点(2,0)的直线1交C于A、B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(1 )证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4, 2)，求直线I与圆M的方程.4、(2016 全国 I)设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A，直线I过点B(1,0)且与x轴不重合，I交圆A于C、D两点,过B做AC的平行线交AD于点E.(I)证明 EA EB为定值，并写出点e的轨迹方程。(u)设点E的轨迹为曲线C1,直线I交C1于M、N两点，过B且与I垂直的直线与圆交于P、Q两 点.，求四边形 MPNQ面

21、积的取值范围。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考5、（2016 全国 U）2 2X y已知椭圆E :=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为 k ( k 0)的直线交E于A、t 3M两点，点N在E 上, MA NA(I)当t=4时，AM AN时，求 AMN的面积(u)当2 AM AN时，求k的取值范围。y kx a （a 0）交于M、N两点(n) y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有OPMOPN ?说明理由。6、(2016全国山)答案第19页，总21页8 （ 2015 全国 n）已知椭圆C : 9x2 * 4 y2l与C有两个交点A、2m (m 0)，直线I不过原点O且不

22、平行于坐标轴,B，线段AB中点为M(I)证明：直线 OM的斜率与l的斜率的乘积为定值。(H)若l过点,m ，延长线段0M与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求3此时l的斜率；若不能，说明理由、(2014全国I)已知点A(0,2X2），椭圆 E ： 2a2y_b21(a b 0)的离心率为F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2、33O为坐标原点.(I)求E的方程;(u)设过点A的动直线I与E相交于P, Q两点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程.10、（2014 全国 U）设F-F2分别是椭圆C： x2a2b 0的左，右焦点，m是c上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个

23、交点为N.(I)若直线 MN的斜率为3，求C的离心率;4(H)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN 5 F1N，求a,b.11、（ 2013 全国 I）已知圆M : (x+ 1)2 + y2=1，圆N: (x- 1)2 + y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C(I)求C的方程;(D) l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.12、( 2013全国D)2x 平面直角坐标系xOy中，过椭圆m ：二a2 y b21(a b 0)右焦点的直线x y . 30交m于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1(I )求M的方程(

24、D) C,D为M上的两点，若四边形 ACBD的对角线CD丄AB，求四边形ACBD面积的最大值13、(2012全国新课标)2设抛物线C： x 2 py ( p 0)的焦点为F，准线为I，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交I于B，D两点。(I)若 BFD 90， ABD的面积为4、2 ,求p的值及圆F的方程；(II)若A、B、 F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m , n距离的比值。14、(2011全国新课标)uuir uuu在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0, 1)，B点在直线y 3 上, M点满足MB/OAuuir uun uuir urnMA AB MB BA，M点的轨迹为曲线 C。(i)求C的方程;(n) P为C上的动点,I为C在P点处的切线，求 O点到I距离的最小值。15、(2010全国新课标)2 2x y设F1、F2分别是椭圆E :二 r 1(a b 0)的左右焦点，过点F1斜率为1的直线I与E交a b于A、B两点，且AF2、AB、 BF2成等差数列。(i)求E的离心率;(U)若点P(o, 1)满足PA