3静力学第三章习题答案

1、第三章部分习题解答 3-10 AB,AC和DE三杆连接如图所示。杆 DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水 平杆DE的一端有一铅垂力 F作用时，杆AB所受的力。设AD=DB,DH二HE,BC=DE， 杆重不计。 解： 假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对象，受力如 右图所示，列平衡方程： :一 M c - 0 Fpy，2a = 0 FBy =0 取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程: M h = 0Fy a - F a = 0Fy 二 F 、Mb=0Fdx a - F 2a = 0Fpx = 2F 取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： Fy =0FAy FDy FB

2、y = 0 FAy - -F （与假设方向相反） F Dx a FBx 2a = 0 FBx = F （与假设方向相反） _Fax 2a _Fdx a = Fax = -F （与假设方向相反） F Dy匚 。卜Dx 3-12 AB, AC, AD和BC四杆连接如图所示。在水 平杆AB上作用有铅垂向下的力 F。接触面和各铰 链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力 F的位置 如何，杆AC总是受到大小等于 F的压力。 解： 取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： M c = 0 FDb-Fx=0 Fd C3-12 杆AB为二力杆，假设其受压。取杆 AB和AD构成 的组合体为研究对象，受力如图所示

3、，列平衡方程: FA Fey Fcx 载荷及尺寸如图所示。试求A处的约 取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程: M A =oFb b - F x =0 Fb Me =0 （Fb Fd） - F （x）-Fac - =0 2 2 2 解得Fac = F，命题得证。 注意：销钉 a和c联接三个物体。 3-14两块相同的长方板由铰链 C彼此相连接，且由铰链 A及B固定，如图所示，在每一平 板内都作用一力偶矩为 M的力偶。女口 a b，忽略板重，试求铰链支座 A及B的约束力。 解： 取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点 之矩为零，因此有： 、M A =oM a（Fb） _M M =

4、0 即Fb必过A点，同理可得Fa必过B点。也就是Fa和 fb是大小相等，方向相反且共线的一对力， 如图所示。 取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 、MC =0 Fa sin 45 a-FACOs45 M =0 v2m 解得：Fa（方向如图所示） a b 3-20如图所示结构由横梁 AB, BC和三根支承杆组成, 束力及杆1，2，3所受的力。 解： 支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为 F3 研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点 简化为一个集中力， 大小为2qa,作用在BC杆中点。列平 衡方程： M b = 0F3sin45 a-2qa a-M =0 l

5、 M F3 = .2( 2qa)(受压) a 选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程: 、Fx =0R 一 F3cos45 =0 M一 F12qa (受压) a 、 Fy =0 - F2 - F3sin 45 = 0 F22qa）（受拉） a F Ay /辺 F2F3 Ma Fax 选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程: Fx =0 Fax F3 COS450 = 0 Fax-(M2qa)(与假设方向相反) a 、Fy =0 FAy F2 F3 sin45 -P - 4qa =0FAy = P 4qa x M a = 0 M A F2 a -P 2a -4qa 2a

6、 F3sin 45 3a -M = 0 M A =4qa2 2Pa - M （逆时针） 3-21二层三铰拱由 AB, BC,DG和EG四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所 示。试求支座 A, B的约束力。 解： D p- FAj c lAxFB： 起1 F Fbx GF 选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程： -M a = 0 Fpy 2a -F 2a = 0 Fpy 二 F M b = 0 - FAy 2aF 2a = 0 FAy 二- F Fx=0Fax Fbx F =0(1) 由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用 于其上的力汇交于点 G,受力如图所示，画出力的

7、三角形，由几何关系可得： Fe 冷 F。 取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： FBx M c =0 FBx a FBy a-FEsin 45 a = 0 代入公式可得：FAx _ _才 3-24均质杆AB可绕水平轴A转动，并搁在半径为r的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面 上，用不可伸长的绳子 AC拉在销钉A上，杆重16N，AB =3r,AC =2r。试求绳的拉力 和杆AB对销钉A的作用力。 解： 取杆AB为研究对象，设杆重为 P,受力如图所示。列平衡方程: Z M a = 0 3r -3r -Pcos60 =0 1 2 N6.93(N) 工 Fx -0 Fax -NSin60 =0

8、 Fax=6(N) 工 Fy =0 FAy N2OS600 -P = 0 FAy -12.5(N) 取圆柱 C为研究对象， 受力如图所示。列平衡方程： Fx =0 cos300 -Tcos30 =0 T =6.93(N) 注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的 A处的约束力不是杆 AB对 销钉的作用力。 3-27均质杆AB和BC完全相同，A和B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设 静摩擦因数fs =0.353。试求平衡时二角的范围。 解: 取杆BC为研究对象, 取整体为研究对象，设杆长为L,重为P,受力如图所示。列平衡方程： LP Fn 2Lsin v -2Pcost

9、- 0 Fn = 2N 2ta nr Z 受力如图所示。列平衡方程： ，时，不论F多大，圆柱不会被挤 2 fsc任 Fl sin。 (Fl Pa)(1 cos：) 补充方程：Fs冬fs Fn， 将(1)式和(2)式代入有：tan二 ，即二辽10。 2 3-29不计重量的杆 AB搁在一圆柱上，一端A用铰链固定，一端B作用一与杆相垂直的力 F， 如图所示。试： (1) 不计圆柱重量，求证各接触面的摩擦角大于 出，而处于自锁状态。 (2) 设圆柱重为P,则圆柱自锁条件为： a FAy Fax Fsd Fnd 证明：(1)不计圆柱重量 法1： 取圆柱 为研究对象，圆柱在 C点和D点分别受到法向约束力和

10、摩擦力的作用，分别以全约束力 Frc , Frd来表示 如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则Frc , Frd等值，反向， 共线。由几何关系可知，Frc，Frd与接触点C， D处法线方向的夹角都是，因此只要 接触面的摩擦角大于-，不论F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。 2 法2 （解析法） 首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： M a = 0 Fnd Q F l = 0Fnd = F a 再取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： FncF = Fnd a B Fsc A F NC M a = 0Fnc a - F l = 0 取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆

11、柱半径为R，列平衡方程: MO =0 Fsc R Fsd R=oFsc =Fsd 、Fx =0 F NCsin - Fsccos： - Fsd = si nasi na Fsc -Fsd1 cos： Fnc1 cos： Fnd 由补充方程： Fsc fSC FNC，Fsd 岂 fSD FND，可得如果: fsc - sin : 1 cos： cta 二 tan ,fsD 丄 tan 22则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。 证明：（2）圆柱重量P时 取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力 P, C点和D点处的全约束力 Frc，Frd。 如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于 D点（如

12、图所示）。全约束力FrC与C点处法线方向 的夹角仍为，因此如果圆柱自锁在 C点必须满足： 2 si na , ot fsctan 1 +cosa2 该结果与不计圆柱重量时相同。只满足（1）式时C点无相对滑动, 作纯滚动）。 （1） 但在D点有可能滑动（圆柱 再选杆AB为研究对象，对 A点取矩可得FNC二丄F，由几何关系可得: a g I Fsc - tan F 2 a frc 二 Fl a cos 法1 （几何法） a 圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知: sin 180 a -(180-) F RC sin 因此如果圆柱自锁在 D点必须满足: fS

13、D Fl sin。 (Pa Fl)(1 cos ) 将（2）式代入可得： tanFl sin : (Pa+FI)(1+cosa) 即当同时满足（1）式和式时，圆柱自锁，命题得证。 法2 （解析法）： 取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程: Fx =0 Fnc sin -Fsecos .- -Fsd =0 Fy =0 Fnd - P - fscsin ： - fnc cos： = 0 解得: ot 丨 lFla、 Fsc = Fsd = tanF ,fNd = P (cost sin： tan ) 2 aa2 代入补充方程：Fsd _ f sd fnd， 可得如果圆柱自锁在 d点必须满足:

14、 fSD -tan 二 Fl sina (Pa Fl)(1 cos ) 即当同时满足（1）式和式时，圆柱自锁，命题得证。 3-30如图所示机构中，已知两轮半径量R = 10cm，各重P =9N，杆AC和BC重量不计。 轮与地面间的静摩擦因数fs =0.2，滚动摩擦系数=0.1cm 。今在BC杆中点加一垂直力 F。试求： （1） 平衡时F的最大值Fmax ； 当F时，两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。 解： 取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程: 占 Fx =0 玄 Fy =0 Fsd _FSE =0 、Fnd +Fne _F_2P = 0 由题可知，杆AC为二力杆。作用在

15、杆BC上的力有主动力 F，以及B和C处的约束力Fb 1 和Fac，由三力平衡汇交，可确定约束力 Fb和Fac的方向如图所示，其中：tan 3 杆AC受压。 取轮A为研究对象，受力如图所示，设FAc的作用线与水平面交于 F点，列平衡方程: M a = 0Fsd- M d = 0 M f =0(Fnd - P) R - M d = 0 Fac 取轮B为研究对象，受力如图所示，设Fb的作用线与水平面交于 f Md Fnd 一 Fsd G点，列平衡方程： 二.Mb=0M e _ F se R = 0 .二：M g = 0M e (P - Fne) Rta- 0 解以上六个方程，可得： 13 Fnd 二

16、 P F， Fne 二 P F， 44 11 Fsd = FseF， M D = M E FR 44 若结构保持平衡，则必须同时满足： Fb m d Fnd，M e Fne , Fsd 乞 fsFND， Fse 空 fsFNE 即: F min-P,丄4- R5R 36 P 4fsP 4fsP ,1-fs,1-3fs 4 R 、 因此平衡时F的最大值Fmax =0.36，此时: Fsd 二 FSE =0.091(N)， M D =M E =0.91(N cm) 3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1, 2，3杆的内力。 解： 由图可见杆桁架结构中杆 CF，FG, EH为零力杆。用剖面 SS将

17、该结构分为两部分，取上面 部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 、 Me =0 Ficosv 6 亠 Fh 4Fg 3 = 0 日=-14.58（kN）（受拉） F3 二-31.3（受拉） 二：Fx = 0- Fi sin t1 - F3 - Fh = 0 F2 =41.67（受压） Fy =0F2 斤 cost - Fg =0 3-38如图所示桁架中, ABCDEG为正八角形的一半, AD , AE, GC, GB各杆相交但不连接。 试求杆BC的内力。 解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程: v Fx =0F - Fcd =0Fcd = F （受压） G Fbc Fcd Fcg 取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程: 乞 Fx =0 送 Fy =0 Fbc cos450 Fcd - Fcg cos71