三重积分、重积分习题

1、2 2 2_y及Z=X +y所围成的闭区域.三重积分1将匸 卸分别表示成直角坐标， 柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果.其中门是由曲面分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面z 二；2_x _y2 及 z=x2 y，而由这两个方程所组成的方程组极易消去乙我们把它投影到xoy面上.然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把-1的边界曲面用相应的坐标表示,并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可.解 将|投影到xoy平面上，由2 22 _ x - y ,2 2z = Xy消去 z 得(x2+y2)2=2-(x2+y2),或(x 2

2、 +y 2 +2)(x 2 +y 2 -1)=0，于是有2 2x +y =1.即知，门在xoy平面上的投影为圆域 D:为此在D内任取一点 Q（x，y），过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过1 .穿入时碰到的曲面为z = x y ,离开时碰到的曲面为2_y - y （不画图，仅用代数方法也2 2 _ ； 22-易判断z=x y岂Z-2-X -y )，这是因为x2+yi)（1）直角坐标系 下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z的变化范围从而化为三重积,于是在直角坐标下，11分.因此再由 D : x2+y2 1，有 Z = X2 y2 汀2 - X? - +可表示为_1 _x _1,“ _(1 _x2

3、 兰 y 兰”1 _x2,iX2 十 y2 兰 z 兰(2 _x2 二y2,于是有11 _x22_ydx dy zdzI=二x2 旳2 .(2) 柱面坐标下2 石 22首先把门的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2 +y 2表示为z= : ,Z=2X - y表示为z= 2 ：.再由投影区域D为X 2 +y 2 1 .故0- 1, 0乞0 2 -.于是门可表示为0兰日兰2兀，*0兰P兰1, P2 兰z “2 P2.将所给三重积分中的体积元素d用d = SSddz去替换，有2 - 1 彳22Hizd：.iiizVdMz.dr d，. ? dz1= Q = 00 P(3) 球面坐标下COS用球面坐

4、标代换两曲面的方程，得曲面z=X 2 +y 2变为=Sin2 ；曲面z=,2 -x? -/ 变为2 .由I在xoy平面上的投影为 x2+y2_1知0-_2二，下边找 的变化范围.即的下界为零.又曲面z=x 2 +y 2T T正z轴在i I内，即i I内有点P,使OP与oz夹角为零,7131与xoy平面相切，故的上界为2，于是0 - 2再找的变化范围.原点在门的表面上，故取到最小值为零.为找的上界，从原点出发作射线穿过11，由于门的表面由两张曲面所组成，因而的上界随相应的的不同而不同.为此在两曲面的交线=x2 y2,二 2-x2- y2上取一点A(0 , 1,1),故A所对应的71ji ,* 当

5、4 一2时,r的上界由曲面 r=cos sin 2 所给，故这时_ co-cot csc r sin.即r的变化范围为.2,当0时，4时。2cot ，当一4因此_cos2sin72 .2.2dr d： rcos r sin dr 亠 idr d： rcosT r sin dr0 0 02 :2 :由门的特点(在xoy平面上的投影为圆域，而本身不是球或球锥)，故采用柱面坐标计算比较简单，这时2 二12_r22二 1dr rzdz d 二 r0 一0r21.20 0_2dr=2 兀 24 = 12 兀.小结(1)计算三重积分时，欲用何种坐标,就要首先把积分区域的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积

6、函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的形式.(2) 不要认为当积分区域为球体的一部分就应采用球面坐标球面坐标所适用的积分区域一般为球，两球面所围的区域，或这两种区域被圆锥所截得的部分.本题是由旋转抛物面与球面所围成的区域，一般是不宜用球面坐标的.(3) 还应注意面积元在不同坐标下的不同形式；并且在直角坐标系中，更应该强调学会使用对称性、奇偶性、切片法、换元法、投影面方程的求法等；川 zjx2 +y2+z2d“222 .计算三重积分i 1，其中i. 是由曲面x +y +z 2 =1及z= .、3(x2/)所围成的区域.分析 I 为球面和圆锥面所围成的区域故从积分区域的特点看，它适宜用球面坐 标同

7、时，被积函数中含有因式X2+y2+z2，故从积分区域与被积函数两方面来看，应选用球面坐标.22； q/ 2 + 2、解在球面坐标下，球面 x +y +z2 =1的方程为r=1，锥面Z= ： 3(x y )的方程为3.:. 二 一tan = 3 ，即 6，又z轴的正向穿过 门故的下界为零，因此 06 .y2 z2 =1,x2 一 1将门投影到xoy面，由方程组z 3(x y )消去 z 得 x2 +y 2 = 4 因此0 v2.该锥体的顶点在原点，故r下界为零，由穿线法可知1,故0辽心1. 6iiiZ.x2y2 z2dv 11 ir4 cos si n drd dvsi n cos d0Q=0=

8、 004drdji d126.1 s r 1sin r 。=2 二 2s 20 .小结 当积分区域为由球面与锥角二；0所围成的球锥体时.若锥题的顶点为原点， 且Z轴正向穿过积分区域， 则有0 -0，且r的下界为零，上界由球面的方程所给出.2 2!.!.(y z )dv,23.计算其中：是由xoy平面上的曲线 y =2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域分析：投影区域为圆域，再由于积分区域与球体无关，故采用柱面坐标，这时要注意把y,z用极坐标代换.还应注意积分区域关于平面y=0,z=0皆对称，且被积函数关于y,z皆为偶函数因此还应利用积分区域关于坐标平面的对称性与被积函数关于某相应变

9、量的奇偶性先进行化简.2解曲线y =2x或x= 2绕x轴旋转得的旋转抛物面方程为1 12*2 2*2x= 2 ( y z ),故11由抛物面x= 2 ( y z )与z=0所围成.由于被积函数分别是 y和z的偶函数，而积分区域关于平面y=0及z=0都对称，因此川(y2 +z2)dvM(y2 +z2)dvQ=4 Q，其中0 ,为0在第一卦限内的部分1 2 2X =(y z ),2x = 52 2知，I 在yoz平面上的投影为 y z 10 . 在yoz平面上0兰。兰,20兰P兰J10,2r厂兰x兰5.的投影为yoz平面上第一象限内的1/4个圆，因此有 1 ：2于是(y2 z2)dv： iii(y

10、2 z2)dv二宀小七心 4 三占 dYdxEC小，0$0Q4。40=2210 P 、宀、250:兀(5 J)PdP=202=3.小结(1)当被积函数关于某坐标平面对称，同时被积函数是相应变量的奇或偶函数时，应首先将所给积分化简，其原则为门关于平面Z=0对称，f(x,y,z)关于z是奇函数时，积分为零;f(x,y,z)关于z是偶函数时，所求积分为2门f(X，y，z)dV，其中为门被z=0所分的上半个子区域，其余类同.(2)对柱面坐标，清楚这是把积分区域投影到哪个平面时就做的相应的柱面坐标变换, 如本题，由于我们把 门投影到yoz 平面，就有 y= cos 日,z= sin 日,x=x .类似地

11、，对球面坐标也应做相应理解，即穿过轴.1的坐标轴如果不是 z轴而是x轴或y球面坐标公式x=rsi n cos日,y=rsin sin -,z=rcos也应做相应变化. f(z)dv4 .证明当f(z)连续时，1 2二 f(z)(1_z2)d z, -J并用此公式计算,；(z32 1)dz 的值，其中、x2 寸 ”1分析 积分区域见图3,题目要求把三重积分化成只剩下对z的定积分，我们可以把它看作对该三重积分先计算一个关于x,y的二重积分再计算对z的定积分.显然这种计算方法和我们前边的计算方法是不同的， 前边的计算方法(如例1, 2)是先将门投影到坐标平面 xoy 上得投影区域D,计算时先对z积分

12、再计算在D上的二重积分，比如练习题 1在直角坐标寸2I=Ddxdyzdzin 3即采用“穿线法”，本题欲先计算一个二重积分再计算定积分，应采用为“先二后一”法.亦称“切片法”，即先将门投影到z轴上得线段-1，1 在(-1, 1)上任意点z作一垂直于z 轴的平面截门得一平面区域 Dz，在每个Dz上作对X,y的二重积分，然后再把这些积分值 累加起来，既再对 z从-1到1积分.解 由门的表面方程为 x2 y2 z2 = 1知，zL1,1丨，既门在轴上的投影为线段-1,1 L在-11内任取一点z，过z作垂直于z轴的平面截 二得一平面区域 Dz :2 2 2 2X y乞1 -Z .于是Dz的面积为二1

13、- Z 因此1 1 12f (z)dz 二 dz 11 f (z)dxdy 二 f (z)dz 11dxdy -二 f (z)(1 z )dzQ-i DZDZ11111 (z3 z2 z 1)d-二(z3 z2 z 1)(1 - z2 )dz 5 二当 f(z)=z 3 z2 z 1 时，有1= 8小结“切片法”适用于被积函数为某变量的一元函数，而垂直于相应坐标轴的平面截-1所得截面面积易求 表示出时的情形一般的，若被积函数为X的一元函数f X时，作垂直于X轴的平面；被积函数为y时, 作垂直于于z轴的截面.5.求底圆半径相等的两个直交圆柱面2 2 2 2 2 2X y R及X z = R所围立

14、体的表面积分析该两圆柱面直交时所围立体处在八个卦限内.其表面为8 2个面积相等的曲 面，我们只经计算其中一个曲面面积即可.要注意计算曲面面积时，要找其在坐标面内的 投影区域要注意向哪个坐标面作投影要依 据曲面方程而定解为计算该住体的表面积.我们只须计算图y轴的截面；被积函数为 z时， 作垂直4阴影部分的面积 S1再乘以16即可.该曲面的方程为z= - R2 -X .它在xoy面上的投影为czJ222D= (X, y)x y 咗 R ,x -0, y - O.:xx- R2 _x2于是si(X 、2 ) dxdy =2 2 2 2xd R - xr j r2rdxdy dx .dy=R2=0 o

15、 R2x22故 S=16Si=16R .确定选用何种坐标，一般要从积分区域与被积函数两方面考虑，通常可参阅下表采用坐标积分区域的特点被积函数的特点球面坐标球，或球被圆锥面所截得的球锥体(特殊情况下为半球体),或两冋心球面所围的立体 及被圆锥面所截得的主体.2丄2丄2f(x +y +z )或被积函数2 2 2含有因式x +y +z柱面坐标不适用球面坐标，但积分区域在坐标面上 的投影适用于极坐标者2丄22丄2丄2f(x +y ), f(x +y +z)2丄2或被积函数含因式x +y直角坐标其他情形6 设均匀柱体密度为P,占有闭区域qx,y,z)x2+y2 R2gzh求它对于位于点M0(o, 0, a)(a h)处的单位质量的质点的引力分析 用公式求引力时，要注意利用当三常数时.以及立体对坐标面的对称性，来简化计算.解 门是一位于xoy面上方的圆柱体，它关于 xoz面yoz面都是对称的，因此有F x =F