二项式定理典型例题

1、二项式定理典型例题-典型例题一n1例1在二项式、.X的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有2jx理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：r2n 3rTr 1 Cn(. X)nrl2VxC1nF X2r4前三项的r 0, 1, 2.11 11 1視玄：瑕r X +14cn, t3c-2 24 8由已知：2U ti t3n1S (n1), n 8通项公式为/16 3r1 _Tr ! C； -rX r 0, 1, 2 & T为有理项，故163r是4的倍数， r 0, 4, 8.依次得到有理项为 Ti x1,

2、 To C；丄x x, T9 cswx1 x2.2182s256说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 I的取值，得到了有理项.类似地，C 一 2 3）回的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为3n .典型例题四例4 （1 ）求（1 x）3（l X）展开式中x的系数；（2）求（x - 2）6展开式中的常数项.（1）可以分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题, 视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式.3105然后合并同类项：解：(1)(1 X) (1 X)展开式中的X可以看成下列几种方式得到,3io

3、c55用（1 x）展开式中的常数项乘以（1 X）展开式中的X项,可以得到45用（1 x）3中的X?乘以（1 xy展开式中的3CoX5：C3 223x C10XX3可得到3x 2 6x3 3C；咲5 ;用（1X）3中的(C: 0C10 3C10C； o)x563x5 .(2)xX2)5121、X12展开式的通项公式ThC； 2C、2)12C： x6，可得展开式3102X项乘以（1 X）展开式中的X项可得到CX5，合并同类项得X项为的常数项为C； 2924说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合并 项转化为二项式展开的问题来解决.典型例题五例5求（1 x X2）

4、6展开式中灯的系数.（1 X）、展开式中的一次项乘以（1 X）：展开式中的X项可得到（3x） （C： ox1）2 6）不是二项式，我们可以通过1把它看成二项式展开.解：方法-：(1X2 6 X )x2(1 X)X6(1X6)6(1x)5X2 15(1x) 4X4其中含X5的项为C： X56C；x5 15c4x56x.含X项的系数为6.方法二：(1 X26X )16(Xx)1 6(xX2)15 (x22 X )20(x x )15 (x其中含x的项为20(3)x5515(4)x 6x:5 6x分析：（1 X XX X (1 x) X 或 1 (xX)222方法3:本题还可通过把 (1 xX2)

5、看成6个1 x X相乘，每个因式各取一项相乘Cc C可得到乘积的一项，X项可由下列几种可能得到.5个因式中取X, 个取1得到CeX .3个因式中取X. 一个取2X,两个取1耀到3132Ce CsX ( X ).1个因式中取X,两个取X2,三个取1傅到C6 C; X ( X2)2 .合并同类项为(c6 C6C3c6c5)x556x ,5：5项的系数为6.1 2求(1Cn 2CnnCn证：)Cn c3亠2(2nl 1).n 1(2)分析：典型例题六二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 解决这两个明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的徨题的关键是通过组合数公式 从而

6、使用二项式系数性质将等式左边各项变化的等数固定下来,Cn Cn Ccn2n解：(1) kCn左边nC innk! (ri- k) (k 1)4 X)2n2r ,展开式的常数项为1 )nC2n ；当x 0时，X Y令 2n 2r 0,得 n同理可得，展开式的常数项为无论哪一种情况，常数项均为令n20 ,2n咲j(1)nC2n.(1)nC2n.1,2,3,，逐个代入，得n典型例题十例11 X1Vx10的展幵式的第3项小于第4项，则X的取值范围是分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.10 910 9 81X(T X 0).2 13 2 1 3x8解得0 X 56

7、48 .9 X的取值范围是X 0 X s 7648 解：使vx丄有意义，必须x 0；3 X1依题意，有Ts T4,即G2, C、X) 3Cw(x)vx3X典型例题十二例12已知(XQ： 1)的展开式中有连续三项的系数之比为1 ：2 :3,这三项是项？若展开式的倒数第二项为 112, 求X的值解： 设连续三项是第k、kl 、k 2项fkN且k 1 ),则有1kk：c：】1： 2cn一 cn:3,n!即nIn!1： 2：3(k 1) ( n k1) ! k! (nk)!(k1) ( nk 1) !1111 0 Q(n k) ( n k1) k(nk)k(k1)k(n k)1k1(n k) ( n

8、k1)2nk 12k(k 1)2(k 1)2k(n k) 3(n k) 3n 14 , k 5所求连续三项为第 5、6、7三项.又由已知，CjJx那H2 .即x10g2X 8 .两边取以2为底的对数，(logzx)3 , log2x .3 ,33X 2 ,或X 2说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.典型例题十三例13(1 2x)的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出 n,再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项.解：丁6 C； (2x)5 , T；

9、 C： (2x)6,依题意有C； 25 c626 n 8 .- (1 2x)的展开式中，二项式系数最大的项为Ts Cs(2x)! 1120X1 .设第r 1项系数最大，则有2c8c8 2r c80, 1,2, ,8 ).系娄最大的项为丁61792 X5 , T7 1792X6 .说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负 变化情况, 一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例题十四例14设f(X)(1 x)m (1 x)n(m,

10、 n N ),若其展开式中关于X的一次项的系数和为11,问m, n为何值时，含X项的系数取最小值？并求这个最小值.2分析根据已知木件得到x的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.1 1Cn2 Km2解：Cm Ci n m 11.m n2 n)22m n 11110 2mn 2 n 29911n 55nN,4 n5或6 , m 6或5时，X2项系数最小，最小值为25 .说明：二次函数(x ”)2 99的对称轴方程为x119艮p x 5. 5,由于5、 6品巨,5、6距5. 5最近，所以(n H)225. 5等距离，且对n99处取得2的最小值在n 5或n 64典型例题十五例1

11、5若(3xI)7&7X1aex6解：令x 0,则aoa7 ；a3a5a? ai Q6.令 x 1,贝!J a?27 128a?129令x 1,则ft7 a6a5a3 2ai由得:2di83a5a?丄128(2矿8256由J得:a2286a7as aia3a?SiQ.O)a6a5aia3Q2ai1-1282说明：(D8128.本解法根据问题恒等式特点来用用于恒等式.(2) 一般 地，的系数和为g (1):对于多项式g (x) (pxao )“特殊值 法. nq) ao a/这是一种重要的方法，它适2a2xanXn , g (x)的各项1g (x)的奇数项的系数和为一 g(l) g ( 1) _1

12、g(x)的偶数项的系数利为g(l) g( 1)典型例题十六3除以7的余数555515除以8的余数是r 7的项就是余数.分析(1):将2彳分解成含7的因数，然后用二项式定理展开,解：2 3(23)10 3(8)10 3(7 I)10 3GO) 710o 加 9C907 Cw 37 Cl79 Cw7scw 2又余数不能为负数，需转化为正数- 230 3除以7的余数为5应填：5分析(2):将55写成(561 )55,然后利用二项式定理展开.解：555515(56 1)55 15C555655 c555654C5： 56 C黑 1515除以8的余数，即14除5容易看出该式只有C555 1 514不能被

13、8整除，囲吐55以8的余数，故余数为6应填：典型例题十七例17 求证：对于n N ,n证明：展幵式的通项r! nr1 n(n1)(n2) (nr1)-)(1 彳(1 ). n rn n1展开式的通项Tr1 Cn(n 1)r r!(n 1)r(1由二项式展开式的通项明显看出Tr1 Tr1所以11n说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明.例18在（x23x 2） 的展开式中x的系数为（）.典型例题十八A. 160 B分析：本题考杏.240 C. 360 D. 800解法1:由（X?二项式定理的通项公式的运用应想办法将三项式转1匕

14、为二项式求解.525得 Tki Cs(x2 3x)5C5 2k (x25k3x)再一次使用通项公式得,Tn C5k 2k Csr k 3rx10 2k这里0 k令 10 2k所以r4，由此得到x的系数为C；243 240解法2:由（X23x 2)5 (x 1)5(x 2)5 ,知（X 1） 5的展开式中x的系数为C；常数项为（X5442）的届幷式中X的系数为C5 23x 2)0(x”3x)2,因此原式中X的系数为c5 25 Cs 21 240 .解法3:将 （x 3x 2）看作5个三项式相乘,展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取 3x的系数3,从另夕卜4 个三项式中取常数项相乘所得的积，即

15、C5 3 Ci 24 240 . 应选B.典型例题十九例19已知3X 的展开式中x的系数为一，常数a的值为 4分析：利用二项式的通项公式.解：在x通项公式为Tr1的展开式中,9rr aC；-根据题设，3r29根据题意16应填：493,所以r8代入通项公式，9Tgax7162 c94 a 以 所9 4例 20(1)求证：1 3Ci3_ C23Cs(l)n3n(2)n(2)若(2x、. 3)1 a0 aix a2x2 a3x31X 9 求 (do0.281)(312a?)的值.分析：（1）注意观察（1 x）r 1 C ： x C; xC : x的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明.（2）注意到

16、（阪a2 ai）2(ai a3)_(Qo il SL2&3（a0 ai a? a3 ai）, 再用赋值法求之.解：在公式（1 x）n 1 C： X Cn2x2c；xn中令x 3,即有(1 3)n 1 Cn( 3)1 C； ( 3)2C： ( 3)1 3 Cn 32 Cn(l)n 3n 等式得证.在展开式(2x .3)令x 1，得ao 原式(aaia?令 x 1, a0 ai a2 i(2,3)4 (说明：注意“赋值法”a0 aiX a2xa3x32a3aiXa3 a4a4)(a0中,ai (2x、3尸;2 3)4.a2 a3 a4)在证明或求值中的应用赋值法的模式是. 在某二项展开式. 如(a

17、 bx)n a0ax a2X2a* 或(a b)“Can c： an1b C： an2b2C； b中，对任怠的x A ( a, b A)该式恒成立，那么对 A中的特殊值，该工也定成立.特殊值x如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强.般取X0, 1,1较多.一般地，多项式f(X)的各项系数和为f(1),奇数项系数和为1尹f(1),偶次项系数和为 2f (1)f(1).二项式系数的性质c 2C nC C：c nc n2：及 C C：C：c：C； C；2 的证明毓是赋值法应用的范例.典型例题二十例21若n N,求证明：32r 324n37能被64整除.分析：考虑先将3 $拆成与

18、8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开.解：32n 3 24n 373 32n 2 24n 373 9nl 24n 37 3 (8 l)nl 24n 373 C i 8n 1 Ci i 8n C/Zi 8nl C； i 8 C： : 24n 378nl Cn r 8n C： 2 x8n 1(n 1) 8 1 24n373 8nl C： ! 8n C： 2! 8n 1 C： , 82(8n 9) 24n372 263 828n 1 Cm 8n2 Cn2i 8n3 C； 1 3(8n 9) 24n 373 648nl C； i8n2 C2i 8n3 64 ,8nl , C； i 8n 2, C：

19、i8“ 均为自然数，上式各项均为64的整数倍.原式能披64整除.说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的牙口式，再展开证之 该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷.992典型例题二十二例22已知(x空3x2);的展开式各项系数和比它的二项式系数和大(1) 求展开式中二项式系数最大的项；(2) 求展开式中系数最大的项.分析：先由条件列方程求出 n(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r(1 3)n 22n,而展开式的二项式系数的和为解：令x1得展开式的各项系数之和为2n.有 222n 992 n 5(1) Tn 5，故展开式共有2

20、T Cf(xA)3 (3x2)22T4 Cf(xA)2 (3x2)3Cn6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.90x6 ,22270X3(2)设展开式中第rc52匕/35r(x)1项的系数最大.10 4r2 rr r V r(3x) Cs3 入 J，Cs 3r Cs3r故肓 c5 3c53解得Ts Cs (x3)1 (3x2)1 405x*说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同.前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组； 解不等式组时可能会求出几个r,这时还必须算出相应项的系数后再比较大小.例 23 求证:(l)Cntm CiCm1CnPC典型例题二十三 (1 3)nC3Cn32c：3nC：(2) C 32c：34c：3ncn2 4nl 2nl(n 2K , n N*)分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用