极值点偏移讲义

1、极值点偏移问题讲义一、极值点偏移的含义众所周知，函数f ( x)满足定义域内任意自变量 x 都有 f ( x ) = f (2 m -x )，则函数f ( x)关于直线x=m对称；可以理解为函数f ( x)在对称轴两侧，函数值 变化快慢相同，且若f ( x)为单峰函数，则x=m 必为 f ( x)的极值点.如二次函数f ( x)的顶点就是极值点x0，若f ( x) =c的两根的中点为x +x1 22，则刚好有x +x1 2 =x20，即极值 点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移 .若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f ( x )的极值点为 m ，且函数 f ( x )满足定义域内x

2、=m左侧的任意自变量 x 都有 f ( x) f (2m -x ) 或 f ( x) f (2m -x )，则函数f ( x )极值点m左右侧变化快慢不同 .故单峰函数f ( x )定义域内任意不同的实数x , x12满足f ( x ) = f ( x ) 1 2，则x +x1 22与极值点 m 必有确定的 大小关系：若x +xm 1 22，则称为极值点右偏 . 如函数g ( x ) =xe x的极值点x =10刚好在方程g ( x) =c的两根中点x +x122的左边，我们称之为 极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数f ( x)存在两个零点x , x12且x1x2，求证

3、：x1+x 2 x 20（ x 为函数 0f ( x)的极值点）；2. 若函数f ( x )中存在x , x12且x1x2满足f ( x ) = f ( x ) 1 2，求证：x +x 2 x 1 20（ x 为函数 0f ( x )的极值点）；3. 若函数f ( x)存在两 个零点x , x12且x1x2，令x0=x +x122，求证：f ( x ) 0 0；4. 若函数f ( x)中存在x1, x2且x1x2满足f ( x ) = f ( x 12) ，令 x0x +x= 1 22，求证：f( x ) 0 0.二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数f ( x)的极

4、值点x0；（2）构造一元差函数f ( x)= f ( x +x ) - f ( x -x )0 0；（3 ）确 定函数f ( x )的单调性；（4 ）结合f (0) =0 ，判断 f ( x )的符号，从而确定f ( x +x ) 0、f ( x -x ) 0的大小关系.口诀：极值偏离对称轴 ，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随 . 2、抽化模型答题模板：若已知函数f ( x)满足f ( x ) = f ( x ) 1 2，x0为函数f ( x)的极值点，求证：x +x f ( x ) = f ( x ) - f ( x ) =00 0 0，从而得到：x x0时，f ( x +x

5、) f ( x -x ) 0 0.（4 ）不妨设x1x x0时，f ( x +x ) f ( x -x ) 且 x x f x -( x -x ) = f (2 x -x ) 1 2 0 2 0 0 2 0 0 2， 又 因 为x x1 0，2 x -x x 0 20且f ( x) 在 ( -,x )0上单调递减，从而得到x 2 x -x 1 02，从而x1+x 2 x 20得证.（5 ）若 要证明x +x x +x f ( 1 2 ) 0 ，还需进一步讨论 12 22与 的大小，得出x +x1 22所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为x +x 2

6、 x 1 20，故x +x1 2 x ，由于 f ( x ) 在 ( -,x ) 2上单调递减，故x +xf ( 1 2 ) 0 2.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2 ）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f ( x )的单调性、极值点，证明f ( x +x ) 0与f ( x -x )（或 f ( x) 与 f (2 x -x ) 0 0）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如x +x 2 x 1 20或x +xf ( 1 2 ) 0 2的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题 .题型二利用对数平均不等

7、式两个正数 a 和 b 的对数平均定义： l ( a , b) =a -b ln a -ln b a( a =b ).( a b ),对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：b( +1)ab l(a , b ) a +b2（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a=b时，等号成立 .只证：当ab时，ab l ( a , b) b .证明如下：（i）先证：ab l ( a , b ) 不等式 ln a -ln b a -b a a b 1 a ln - 2ln x 1)ab b b a x b构造函数1 2 1 1f ( x) =2ln x -( x - ),( x 1) ，则 f (x) = -1- =-(1- )x x x 2 x2.因为x1时，f(x) 0，所以函数f ( x) 在 (1,+)上单调递减，故f ( x) f (1) =0，从而不等式 成立；（ii）再证：l ( a, b ) a2( -1)2(a -b) a 2( x -1) a ln ln x (其中x = 1) a +b b a ( x +1) bb构造函数g ( x )=ln x -2( x -1)( x +1)1 4 ( x -1)2,( x 1) ，则 g (x) = - =x ( x +1)2 x ( x +1)2.因为x1时，g(x