全等三角形知识点梳理

1、第十二章全等三角形杨1全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边对应边相等。 2全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角对应角相等。证明三角形全等基本思路：三角形全等的判定(1)三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或 sss1.如图，abad，cbcd，求证：(1)abc adc；(2)bd.证明：(1)连接 ac，在abc 与adc 中，abc adc(sss)(2)abc adc bd.2.已知在四边形 abcd 中，ab=cd,ad=bc,求证 ad 1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺 拼接(a，b，d 三点共线，abcb，ebdb，a

2、bcebd90)，连接 ae，cd，试确定 ae 与 cd 的关系，并证明你的结论解：结论：aecd，aecd.fabcb，证明：延长 ae 交 cd 于 f， abe 与cbd 中abecbd， ，bebd，abecbd(sas)，aecd，eabdcb，dcbcdb90，eabcdb90，afd90，aecd.2.在abc 和cde 中，ca=cb,cd=ce,acb=dce=90，ae 与 bd 交与点 f（1） 求证：ace bcd（2） 求证：aebd1,利用 sas 证明全等，ac=bc dc=ec bcd=ace2，全等得到角相等 cae=dcbcab+eab+abc=90dcb

3、eab+abc=90三角形全等的判定(3)两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边角或 asa两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或 aas求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等如图，ad 为abc 的中线，且 cfad 于点 f，bead，交 ad 的延长线于点 e，求证：becf.证法 1：ad 为abc 的中线，bdcd.bead，cfad，bedcfd，bedcfd90.在bed 与cfd 中bdecdf，bdcd，bedcfd(aas)，becf.证法 2：1 1 adbe adcf， abd 2 acd 2且 s (等底同高

4、的两个三角形面积相等)，abd acd1 adbe adcf，becf.2 2三角形全等的判定(4)斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“hl” 如图，e，f 分别为线段 ac 上的两点，且 deac 于点 e，bfac 于点 f，若 abcd，aecf，bd 交 ac 于点 m. 求证：bmdm，memf.证明：aecf，aeefcfefafce.在abf 与abfabcd，cde 中afce，cde(hl)，bfde.deac，bfac，dembfm90.bfmdem，在bfm 与dem 中bmfdme，bfde，bfm dem(aas)，bmdm，me

5、mf.角的平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等文字命题的证明方法：a. 明确命题中的已知和求证；b. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；c. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程方法总结：（1） 角平分线的性质是证明线段相等的另一途径（2） 在已知角平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两 边的垂线段是常用的辅助线1.在abc 中，ad 是abc 的角平分线，e，f 分别是 ab，ac 上一点，并且有edfeaf 18

6、0.试判断 de 和 df 的大小关系并说明理由解：结论：dedf.证明：过点 d 作 dgab 于点 g，作 dhac 于点 c，ad 是abc 的角平分线，dgdh.dgadha90，gdhbac180，edfeaf180，gdhedf，gdhedhedfedh，gdefdh.dgedhf90，在dge 与dhf 中，dgdh，gdehdf，dge dhf(asa )，dedf2.如图， abc 中，d 是 bc 边上一点，连接 ad，过点 b 作bead 于点 e，过点 c 作 cfad 交 ad 的延长线于点 f，且 becf. 求证：ad abc 的中线利用 aas 证明全等bde=

7、fbde=cdfbe=cf利用全等证明垂直此类题目中必有垂直，利用垂直角度和是 90，再根据全等转换一个角，达到另外的两个角度和是 90，得到第三个角是 90，进一步证明线的垂直关系。1. 将两块全等的直角三角形如图 1 摆放，其中dce=acb=90d=a.2. (1)求证:abde;3. (2)将图中的 adce 绕点 c 顺时针旋转 45得到图 2,交于点 n,de,bc 交于 m.求证:cm=cn 4.5.第一问中延长 ab 交 de 于 f， 已经知道全等， 知道垂直， 就可以将 d+e=90转化为a+e=90得到afe=90 进而证明了垂直第二问中，利用 asa 证明相等旋转角度是

8、 45mcd=dca=45a=d cd=ca得到cmdcna(asa)从而证明 cm=cn2.如图，已知等腰 rtoabc 和等腰 rtacde,ac=bc,cd=ce,m,n 分别为 ae,bd 的中点 (1)判断 cm 与 cn 的位置关系和数量关系:(2)若cde 绕 c 旋转任意角度，其他条件不变，则(1)的结论是否仍成立试证明， 几何证明中常见的“添辅助线”方法一.连结:构造全等三角形或等腰三角形1:如图,ab=ad,bc=dc,求证:b=d.1. 连结 ac 构造全等三角形2. 连结 bd 构造两个等腰三角形2:如图,ab=ae,bc=ed, b=e,amcd,求证:点 m 是 c

9、d的中点.连结 ac、ad 构造全等三角形3:如图,ab=ac,bd=cd, m、n 分别是 bd、cd 的中点，求证： amb anc连结 ad 构造全等三角形二.角平分线上点向两边作垂线段:构造直角三角形,得到距离相等1:如图,abc 中, c =90o,bc=10,bd=6, ad 平分bac,求 点 d 到 ab 的距离.过点 d 作 deab 构造全等的直角三角形且距离相等2:如图,abc 中, c =90o,ac=bc,ad 平分bac,求证:ab=ac+dc过点 d 作 deab 构造了全等的直角三角形且距离相等3:如图,梯形中, a= d =90o,be、ce 均是角平分线,求

10、 证:bc=ab+cd.过点 e 作 efbc 构造全等的直角三角形且距离相等三.垂直平分线上点向两端连线段构造直角三角形,得到斜边相等abc 中,abac ，a 的平分线与 bc 的垂直平分线 dm 相交于d，过 d 作 de ab 于 e，作 dfac 于 f。求证：be=cf连接 db,dc 垂直平分线上点向两端连线段四.倍长中线：中线延长一倍构造直角三角形,得到斜边相等ad 是abc 的中线，求证延长 ad 到点 e，使 de=ad，连结 ce.如图，在abc 中，d 为 bc 的中点 (1)求证：abac2ad；(2)若 ab5，ac3，求 ad 的取值范围五.截长补短1.已知在abc 中，c=2b, 1=2 求证:ab=ac+cd 在 ab 上取点 e 使得 ae=ac，连接 de在 ac 的延长线上取点 f 使得 cf=cd，连接 df2.如图所示，已知 adbc，1=2，3=4，直线 dc 经过点 e 交 ad 于点 d，交 bc 于点 c。求证：ad+bc=ab在 ab 上取点 f 使得 af=ad,连接 ef3.如图，在四边形 abcd 中，abad，bad120，badc90.e，f 分别是 bc， cd 上的点，且eaf60.探究图中线段 be，e