第二章 随机 信号分析

1、第二章 随机信号分析 analysis for random signal n 2.1 概率、随机变量、概率分布 probability, stochastic variable , probability distribution n 2.2 随机变量的数字特征 digital stencil of stochastic variable n 2.3 随机过程及统计特性 random processes and statistical stencil n 2.4 高斯过程和白噪声 gaussian processes and white noise n2.5 平稳随机过程通过线性系统 sta

2、tionery random processes across linear system n2.6 窄带随机过程 narrowband random processes 2.1 概率、随机变量、概率分布 probability, stochastic variable , probability distribute 一.概率（probability) 随机事件概率性质： （1） p(a)0 （2） 0p(a)1 （3) 事件a和b p(a+b) 表示事件a或b至少有一发生概率 p(ab) 表示事件a和b同时发生概率（联合概率） p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab) n n ap a

3、 n lim)( 返 回 上一页 下一 页 （4）条件概率 (conditional probability) 一个事件出现条件下，另一事件发生的概率 即 p(b/a) 表示a发生时，b发生的概率 p(a/b) 表示b发生时，a发生的概率 p(ab)=p(a)p(b/a)=p(b)p(a/b) （5）统计独立性 (statistical independent) p(ab)=p(a)p(b) 上一 页 二、随机变量 (stochastic variable ) 离散随机变量 随机变量 连续随机变量 三、概率分布函数和概率密度函数 (probability distribution and de

4、nsity function) 1.概率分布函数 (probability distribution function) f(x)=pxx f(x) 表示随机变量x的取值小于及等于x的总概率 上一 页 (1) 若x1xx2 ，则 px1xx2 = pxx2-pxx1 = f(x2)-f(x1) (2) 当x1x2时，f(x2)f(x1) (3) 0f(x)1 当 f(x)=1 f(x)=0 x x 上一 页 f(x)的性质 ( properties of f(x) ) f(x) 的性质： （1）f(x)0 （2） =1 （3） = - = f(b)-f(a) = paxb dxxf)( b d

5、xxf)( b a dxxf)( a dxxf)( 上一 页 返 回 2.概率密度函数 (pdf :probability density function) f(x1)= ; f(x)= dx xdf)( 1 ( ) x f x dx 一、数学期望(mean) 1 ( )ii k i e xx p x )()()( 11 iiiixpxgypyye k i k i 2.连续随机变量 dxxfxgxge dxxfxe )()()( )( 返 回下一 页 2.2 随机变量的数字特征 digital stencil of stochastic variable 1.离散随机变量 （1） （2） （

6、3） （4）当 x,y统计独立时，则 cce xcecxe yexeyxe yexeyxe 上一 页 3.数学期望的性质(properties of mean) 2 )(xexexd （1） （2） （3） （4） （5）若x,y统计独立，则 2 2 2 )(xexexexexd )()(2yeyxexeydxdyxd 0cd xdccxd 2 ydxdyxd 上一 页 二、方差 (variance) yexexye yeyxexexyb )()( yx xy yxb ydxd yxb , 上一 页 三、协方差和相关系数 1.协方差 (covariance) 2.相关系数（归一化协方差）(co

7、rrelation coefficient) 相关性:若 ，则x，y线性不相关 独立（independent）与相关（correlation） 统计独立 不相关 不相关 统计独立 1| 0xy 一定 不一定 上一 页 相关系数性质 （the properties of correlation coefficient ） 上一 页 四、几种典型的概率分布 (several representative probability distribution) 1 , ( ) 0, axb fxba else f(x) ab 1 0ab x 例如：正弦波振荡源所产生的振荡波形的初始相位是在（0，2）上均

8、匀分布的随 机变量。 1.均匀分布 (uniform distribution) 若 x在 (a,b) 区间服从均匀分布，其概率密度为 2. 高斯分布 (gaussian distribution) 2 2 2 )( exp 2 1 )( ax xf 上一 页 若均值 ，0a 称为 标准正态分布。方差 ，1 2 3.瑞利分布 (rayleigh distribution) 2 22 exp(),0 ( ) 2 0, xx x f x else 返 回 上一 页 一、随机过程(random processes) 概念 返 回 下一 页 2.3 随机过程及统计特性 random processes

9、 and statistical properties 确知过程 随机过程如 噪声y=n(t) y=sin t 如 事物变化 定义2: 随机过程就是依赖于时间参数的一族随机 变量. ( )( ) itt ，i=1,2,n 上一 页 定义1: 随机过程就是一个全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定时 间函数，而随机性就表现在出现哪一个实现是不确定的. ( )( ) itx t ，i=1,2,n 这些特性是否随时间变化？ 上一 页 二、随机过程的统计描述 (statistical descriptive of random processes) 任何随机过程总是由具有某种统计性质的物理 因素

10、所支配，这些物 理因素的统计特性必然体现在每一个样本波形中. 随机过程统计特性包括以下几方面： 随机过程在任一时刻取值（随机变量）的概率分 布函数是什么？ 过程围绕什么均值起伏变化的？ 对均值的偏离程度？ 波形变化快慢程度？ 1.数学期望(mean) 1( )( ; )( )etxfx t dx a t 2.方差 (variance) 上一 页 )()()( )()( 222 2 ttate tatetd 上一 页 3.自相关函数(autocorrelation ) )()()( 2121 ttettr， 表示在两个时刻对同一随机过程抽样的两个随机值的相关程度。 若随机过程(t)的统计特性与时

11、间起点无关，则称(t)为严平稳随机过程。 返 回 下一 页 三、平稳随机过程（ stationery random processes ） 2.广义（宽）平稳随机过程 1.狭义（严）平稳随机过程. ( )eta (1)与时间无关 (3) ( ,)r t tr 仅与时间间隔有关 (2)与时间无关 2 td 解:（1)s(t)的数学期望 a(t) 0( )cos()a te at 00coscost-sinsintae 00coscossinsinat eat e 00 11 coscossinsin 22 atdatd 0 狭义 广义 广义 狭义 一定不一定 例：考察随机信号 的平稳性,其中a,

12、 是常数，相位是在区间（- ，）上均匀分布的随机变量. 0( )cos()s tat 0 上一 页 3.广义与狭义的关系 (2) s(t)的自相关函数 00( ,)cos()cos()r t te atat 2 000coscos(22 ) 2 a et 22 000coscos(22 ) 22 aa et 2 0cos 2 a )(r 可见: 数学期望与 t 无关，自相关函数 与 有关，故随机信号s(t) 为广义平稳的。)(),(rttr 上一 页 1.集平均与时间平均 (ensemble averages and time averages) 集（统计）平均：随机过程(t)对于任意 给定时

13、刻t1,在(t1)的集合域求平均。 时间平均：对于固定的样本值，在其整 个时间内求平均。 上一 页 四 、各态历经性 (ergodicity) 2.各态历经性平稳随机过程 指过程中任一实现,好象经历了过程所有可 能状态,又称遍历性。 3.各态历经性过程数字特征 设x(t)为(t)的一个样本函数，则： te 2 2 1 ( )lim( ) t t t x tx t dta t (1) 2 2 )()()( 1 lim)()( t t t rdttxtx t txtx )(ttr ， (2) (3) 交流平均功率(ac average power) 22 )(td 返 回 上一 页 5.各态历经性

14、平稳过程数字特征物理意义 atxtea)()( (1) 直流分量(dc components) )()( 22 txte (2) 平均功率(average power) 4.各态历经性的实质： “统计平均”化为“时间平均” dc average power average power ac average power 22 ( )( )reta 2 (0)( )ret 2 (0)( )rr 返 回 下一 页 五、平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 1.相关函数的性质 )()( rr （1）偶函数 )(r （2） 与数字特征关系 )0(| )(|rr （3） 若(t)=s(t)+n(t)具有各态

15、历经性的平稳随机过程， 其中: s(t) 是周期为t的信 号, n(t) 为噪声,它的均值为零. 则: (t)的自相关函数 包含有与信号s(t)相同周期的周期分量. )(r 该性质常用于相关接收: 即从背景噪声中区分出信号,在空间通信中应用较为广泛. 上一 页 (4)周期性 如图是一个自相关仪： t t 1 )(tx )(r delay line delay= 图: measurement of correlation functions integrator (lowpass filter) 上一 页 2.功率谱密度 (psd) 上一 页 若 ( )( )ttff t 2 1 ( )lim|

16、( )|ft t pf t 则: 1、功率谱密度 2 |( )|tf 为能量谱密度其中 (1) 确知非周期功率信号功率谱密度 )( f p 2 111 ( )lim|( )| 22 ft t spdfd t 2 |() | ()lim t t ef p t （2）平稳随机过程的功率谱密度 ( )p 1 () 2 spd 上一 页 则f(t)的平均功率为： 设 f(t)为平稳随机过程(t)的一个样本函数，则 2. 维纳-欣钦定理 (wiener-khintchine theorem) ()() 1 ()() 2 j j pred rped 解: 0 2 ( )cos 2 a r 例: 求随机信号

17、 的功率谱和平均功率。 0( )cos()s tat 上一 页 平均功率： 2 (0) 2 a sr 00 0 ( )p 2 2 a 返 回 上一 页 00 2 ()() 2 a 0 2 ( )( ) cos 2 j j pred a ed (4) 高斯过程经线性系统后仍是高斯过程. 返 回下一 页 2.4 高斯过程和白噪声 一、高斯过程（正态过程）( gaussian processes) 1.定义 (definition) 随机过程(t)的任意n维分布服从高斯分布，称(t)为高斯过程. 2.性质 (properties) (1)高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、 方差及两两之

18、间的相关系数决定. (2)高斯过程若是广义的,也是狭义平稳的. (3)高斯过程在不同时刻取值是不相关的,是统计独立的. （1）功率谱密度 (psd) 0 ( ) 2 n p() 双边功率谱密度(图1) 0( )pn 单边功率谱密度(图2) 0 ( )p 0 2 n 图1 0 ( )p 0n 图2 上一 页 二、高斯白噪声 (gaussian white noise) 特点：高斯型分布、遍历性和平稳性。 1.白噪声 (white noise) (2)自相关函数 (autocorrelation function) 001 ( )( ) 222 j nn red )(r 0 ( ) 2 n 0 （

19、1）理想低通白噪声 低通信道 (lowpass channel) 1 ( ) 0 h | else ( )h 1 0 上一 页 2.带限白噪声（有色噪声） 自相关函数 (autocorrelation function) 0 ( )2 0 n p | else 0 ( )p 0 2 n 01 ( ) 22 j n red ,.)2, 1( k k 在时， 0)(r 上一 页 功率谱密度 (psd) )( 2 0 sa n （2）理想带通白噪声 0 ( )2 0 n p 00| 22 bb else 0 0( )()cos 22 a n bb rs 返 回 上一 页 2.5 平稳随机过程通过线性

20、系统 stationery random processes across linear system )(ti )()(whth 0( )( ) ()ithtd 线性系统 )0()()(0htetei 二、 自相关函数 0( ) t 0( ,)() ( ) ( )ir t trhhd d )(0r 返 回 下一 页 0( ) t 一、 的数学期望 与时间无关 仅与有关 可见：输出随机过程也是广义平稳的。 三、 的功率谱密度 0( ) t 2 0( ) |( )|( )iphp 例：试求功率谱密度为 的白噪声通过理想低通滤波器 后的功率谱密度、自相关函数及噪声功率.设理想低通传输特性可表示为： 0 2 n 0 ( ) 0 j t k e h |h else 上一 页 解: 22 0|() |hk |h 00 1 ( )( ) 2 j rped 2 00 4 h h j k n ed 2 00 () 2 h ah k n s 噪声功率: 2 2 00 000(0) 2 h h k n nrk n f 返 回 上一 页 自相关函数： |h 2 )()()( 0 2 0 2 0 nk hpp i 功率谱密度： 一、基本概念 (basic conception) 1.窄带随机过