射影面积法求二面角

1、射影面积法（凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（ cos）求出二面角的大小。S斜例1、 如图, 在底面是一直角梯形的四棱锥 S-ABCD中，AD BC, ABC=90 ， SA平面 ABC， SA=AB=BC=，11AD=2 . 求面 SCD与面 SAB所成的角的大小。解法 1：可用射影面积法来求， 这里只要求出 SSCD与 SSAB即可， 故所求的二面角应满足 cos =1= 12 1 1 = 61323 22 例 2（ 2008 理）如图，在三棱锥 P ABC 中，AC BC 2 ， ACB 90 ，AP BP AB ， PC A

2、C （）求证： PC AB ； （）求二面角 B AP C 的大小；下载可编辑C解：（）证略（） AC BC， AP BP， APCBPC 又 PC AC ， PC BC 又 ACB 90 ，即 AC BC ，且 AC PC C ，BC 平面 PAC 取 AP中点 E 连结 BE，CE AB BP ， BE APEC 是 BE在平面 PAC 的射影，CE AP ACE是 ABE在平面 ACP的射影，于是可求得：AB BP AP AC2 CB22 2 ， BE AB2 AE26 ，11AE EC2 则 S射 S ACE AE?CE 2? 2 1，11S原 S ABE AE?EB 2? 6 3设二

3、面角 B AP C 的大小为 ，则 cos面角 B AP C 的大小为3arccos练习 1： 如图 5，E 为正方体 ABCDA1B1C1D1的 棱 CC1的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1所成 锐角的余弦值 .2答案：所求二面角的余弦值为 cos = ） .3图5下载可编辑PBPA2 AB2 2 2, PF21PC 12 AB2 BC2 PA2 ,sin PBFPF2, PBFPB 2 4即平面 BEF 与平面 BAP 夹角为 .4方法二：平移平面法如果两平行平面同时与第三个平面相交， 那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补 . 利用此结论可以平移某一平面到合

4、适的位置以便作出二面角的平面角 如图二：取 BC的中点 G，连接 FG,EG .E,F 分别是 AD,PC 的中点， EG AB,FG PB .又 FG EG G,AB PB B,平面 EFG 平面 BAP.二面角 B EF G 的大小就是平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小 .可以证明 BFG 为二面角 B EF G 的平面角，并求出其大小为 .4方法三：射影法S利用公式 cos ，其中 S表示二面角的一个半平面某个多边形的面积，S 表示此S多边形在另一个半平面射影的面积，表示原图形与射影图形所成的二面角2. 如图一，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 AB

5、CD ，AP AB 2, BC 2 2, E，F分别是 AD，PC的中点.（1） 证明： PC 平面 BEF ；（ 2）求平面 BEF 与平面 BAP夹角的大小 . 题（ 1）解略；题（ 2）中平面 BEF 与平面 BAP夹角即为平面 BEF 与平面 BAP所成的锐二面角 .方法一：垂面法 在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得 的图形便是二面角的平面角 .如图一： PA 平面 ABCD， BC 平面 ABCD, PA BC .又 BC AB,AB PA A , BC 平面 BAP.又 BC 平面 PBC , 平面 PBC 平面 BAP.由题（ 1）， PC 平面 B

6、EF ， PC 平面 BEF ， 平面 PBC 平面 BEF .所以 PBF 是所求二面角的平面角下载可编辑记平面 BEF 与平面 BAP 夹角为 ，则 cosS BAHS BEF所以4，即平面 BEF与平面 BAP夹角为 4.3. 已知 ABC 是正三角形， PA 平面 ABC 且 PA=AB=a求, 二面角 A-PC-B 的大小。如图三：取 PB的中点 H，连接 FH ,AH ,F 为 PC 中点 ,FH BC,AE BC .由解法一知， BC 平面 BAP,FH 平面 BAP， AE 平面 BAP,点F 、 E在平面 BAP的射影分别为 H、 A. BEF 在平面 BAP 上的射影为 B

7、AH . 可以证明 BEF 和 BAH 均为直角三角形 .HF BC,AE BC,HF BC 1 BC, 四边形 HFEA 为平行四边形， EF AE.B 思维 二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作下载可编辑平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。解 1 ：（三垂线定理法）取 AC的中点 E，连接 BE，过 E做 EF PC,连接 BFPA 平面 ABC， PA 平面 PAC平面 PAC 平面 ABC, 平面 PAC 平面 ABC=ACBE 平面 PAC图1 由三垂线定理知 BF PCBFE 为二面角 A-PC-B的平面角设

8、PA=1,E为 AC的中点， BE= 3 ,EF= 224tan BFE= BE 6EFBFE =argtan 6解 2 ：（三垂线定理法）FMA 为二面角 A-PC-B 的平面角设 PA=1， AM= 2 ,AF= AP.AE 212 PE 7下载可编辑sinFMA= AFAM427FMA =argsin427P图3由射影面积公式得， COSS PEC 7S PBC 7argcos4. 在单位正方体中，求二面角 A A1C B 的度数。A1B1C1D1 ABCD解 3：（投影法）过 B作 BE AC于 E, 连结 PEPA 平面 ABC， PA 平面 PAC平面 PAC 平面 ABC, 平面

9、 PAC 平面 ABC=ACBE 平面 PACPEC 是 PBC在平面 PAC上的射影设 PA=1,则 PB=PC=2 ,AB=11, 7S PEC , S PBC44下载可编辑三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面 角的平面角，进而求解。解法一. 作 AO A1C,取 A1B的中点 M ,连结OM .AM .AMA1BAM BCA1B BC BAM平面 A1BC由三垂线逆定理知OMA1CAOM 为所求二面角 AA1CB 的平面角在 Rt A1AC 中AOAA1A1CACA1CsinAOM AAMOAOM 60二射影法利用斜面面积和射影面积的关系：S射影S斜面cos为斜面与射影所成二面角的平面角）直接求解。解法二、