导数解答题精选含答案

1、一、导数与单调性(一)含参数函数的单调性11.已知函数f(x)=_x2 ax+(a 1) Inx，讨论函数f (x)的单调性，求出其单调区间。2解：f(x)的定义域为f (x)(0,2 x).令f xa 1ax0 得：为 1, x?a 1ax a 1(1)若 a若a若a(x 1)(x 1 a) x 1 x a 1x 1; f(x)00 x0即a 1时，f(x)0此时f(x)在(1,)单调递增，在(0,1)单调递减0即 a 1时，1 即 a 2 时,f (x)0,故 f(x)在(0,x11,即 1 a2时，x 1 ;由 f(x)0得, 若0 0 得-a+12）单调递增，在（0,，或:（舍去）上单

2、调递减；（10 分）综上，当aS0时，f （X）在（0, +8）单调递增;当1v av 0 时，f (x)在当 aw- 1 时，f （乂）在（0,（J_, +8）单调递增，在 3,+ a）单调递减； “ 上单调递减.a+112 分)（二）单调性的逆用21.若函数f(x) x1 In x21在其定义域内的一个子区间（k 1,k1）内不是单调函数,则实数k的取值范围A. 1,C . 1,i，2【答案】B【解析】试题分析:函数的定义域为（0,）,所以k 10即k 114x21占，、11f (x) 2x，令 f (x)0，得x或x（不在定义域内舍）2x2x22由于函数在区间(k-1,k+1）内不是单调

3、函数，1所以-(k1,k11)即 k 1 k1,22解得 1 k 3,综上得1 k 3，答案选B.2 2 2ax2.已知函数f(x) ，在x= 1处取得极值2.x b(I) 求函数f(x)的解析式；(n) m满足什么条件时，区间(m,解析：(1)已知函数f(x)=J ,x b2m 1)为函数f (x)的单调增区间?2a(x b) ax(2 x)f (x)(7又函数f (x)在x=1处取得极值f (1) f(1):,即-a(1 b) 2aa0,4分1.当 a=4,b=1, f (x)4(x2 1)4x(2 x)T2 J72(x 1)0, x 1时,f(x)(2)由 f (x)1时，f (x)4x

4、 x2 1 .24(x1) 4x(2x)0f (x)4(1农0 ,x2)f (x)在 x1处取得极值所以f (x)2 2(x 1)4x4的单调增区间为x 1x 1.1, 1.分10若(m, 2m1)为函数f(x)的单调增区间，则有m2m2m1,111,m,解得 1 m 0.3.已知函数1, 0时，(m, 2m 1)为函数f (x)的单调增区间.1 2f (x) In x ax 2x .2(1)若函数f (x)在x 2处取得极值，求实数 a的值;精选(2)若函数f (x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围;3【答案】(1) a - ； (2) a 1 ；.4【解析】试题分析：(1)求出函数的

5、导数 f(X),根据题意解关于 a的等式f(2) 0,即可得到实数a的值；1 2x(2) 由题意，不等式f (x) 0在(0, +m)内恒成立，等价转化为 a 1仝在(0, +m)x内恒成立，求出右边的最小值为-1，即可得到实数a的取值范围；(3)原方程化简为1 23123一 xXlnx b 0,设g( x)x一 xlnxb,(x 0),利用导数研究g(x)的单424调性得到原方程在1, 4上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b的不等式组并解之，即可得到实数 b的取值范围.试题解析：(1)由f (2)0可得a(2)函数f (x)的定义域是(0,)函数f (x)在定义域内单调递增1f (

6、x)ax 2 0在(0,)上恒成立x1 2即a 2 在(0,)上恒成立x xxa 1、含参数函数的极值与最值，恒成立问题1 已知函数f (x) (ax 2)ex在x 1处取得极值.(1 )求a的值；(2)求函数f(x)在m,m 1上的最小值；f(X2)| e.(3)求证：对任意x1、x2 0,2，都有| f (x1)(m 2)em m 1【答案】(1)a=1 ； (2) f (x)mine0 m 1 ; (3)见解析.八 m 1_(m 1)e m 0【解析】试题分析：(1) f (x)aex (ax 2)ex (ax a 2)ex,1由已知得f (1) 0,即(2 a 2)ex 0，解得a=1

7、.3当a=1时，f(x) 在x=1处取得极小值，所以a=1.4(2) f (x) (x 2)ex, f (x) ex (x 2)ex (x 1)ex,令 f (x)0 得 x1，令 f (x)0 得 x1,所以函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1,)上单调递增，5当 m 1 时，f (x)在m,m 1上单调递增，f (x) minf(m) (m 2)em ； 当0m2，即 h (x)为.- (10分)x h (x)在1 , + a)上单调递增，h (x) Sh (1) =0 g (x)芳(x)在x 1 , +8)上恒成立.(12分)4.(本小题满分14分)已知函数f(x) Inx -.x(

8、1 )若a0试判断f (x)在定义域内的单调性；3(2) 若f(x)在1,e上的最小值为-,求a的值；2(3) 若f (x) x2在1,上恒成立，求a的取值范围【答案】(1) f x在0, 上是单调递增函数；(2) a二-、.e ； (3) a 1.【解析】试题分析：(1 )由题意知f x的定义域为0,，求导数知f x 0, f x 在 0,上是单调递增函数；(2)讨论a1 ；ae;e a1,等几种情况,通过研究函数的单调性、确定最小值，建立方程求解 .(3)由已知得到a xln x3x ,令 g xxln x x ,h xg x1In x3x2,h x116x2x6xx通过讨论函数的单调性明

9、确g xg11得解试题解析：(1)由题意知f x的定义域为0,，且f (x)=丄+弓二 J5, a0,x x x- f x 0,故f X在0,上是单调递增函数4分(2)由(1)可知,x ax 若a1,则x a 0,即 f x 0在1,e上恒成立，此时f x在1,e上为增函数33二 f X min =f(1)=-a= 2，a=-2(舍去)6 分 若ae,则x a 0,即f x 0在1,e上恒成立，此时f x在1,e上为减函数a3e二 f X min =f(e)=x 2,应用“表解法”，讨论x，f(x)，f(x)的对应关系，即得=, a=-(舍去)8 分e 22 若e a1,令f x 0得x a,

10、0, f在1, a上为减函数；在 a, e上为增函数，(3)x min =f (-a) = In(-a)+1= f,a 2In x- x .又x- f(x)0af (x) =x - a - 1+(x 0)根据题意可得,fa= 一 1.(II) / f (x) =x 一 a 1+卫=_(扯-1)(x0)永I 当a 1时，由f(x) 0可得xa或Ov xv 1；由 f( x)v 0 可得 0 v xv 2a f (x)在(2a, + a)上单调递增，在(0, 2a) 上单调递减 当 0 v av 1 时，由 f( x) 0 可得 x 1 或 0 v xv a; 当a=1时，在区间(0, + ) 上

11、 f，(x)为恒成立.当a 1时，f (x)在(0, 1), (a, + a)上单调递增，在(1, a) 上单调递减； 当0v av 1时，f (乂)在(0, a), (1, + a)上单调递增，在(a, 1)上单调递减; 当a=1时，f (乂)在(0, + a)上单调递增.当aO时，f (乂)在(1, + a)上单调递增，在(0, 1)上单调递减.(III )当 a=2 时，f (x)I-|?-,由(II)问知，f (幻在(0, 1), (2, +a)上单调递增，在(1, 2)上单调递减; f (x)的极大值为f (1)= -二f (x)的极小值为f ( 2) =2ln2 - 4,当m( 2

12、ln2 - 4,-上)，函数方程f (x) =m在(0, + a)上有三个不同的实数根，2因此实数m的取值范围是(2|n2 - 4,-22.(本小题满分12分)已知函数f(x) a1nx bx图象上点p(1,f(1)处的切线方程为 2x一 y 一 3=0.(1)求函数y f (x)的解析式及单调区间;1 一(2)若函数g(x) f(x) m 1n4在-,2上恰有两个零点，求实数 m的取值范围.e【答案】(1)f(x)4lnx x ；单调增区间为(0,J2),减区间为J2,+) ； (2)(2,4 2ln2).【解析】试题分析：(1 )由导数的几何意义知切线的斜率为点P处导数，点P也在切线上，构

13、造方程组可得函数y f(x)的解析式，再由函数的解析式进行求导，判断导数大于零和小于零的区间，即函数的单调区间；(2)易知函数g(x) f (x) m 1n4=4ln x x2 m In 4,令2 2g(x) 0 ,分离变量 m=x 4ln x ln 4 ,构造新的函数(x)=x2 4ln x ln 4,对新函数求导判断函数的单调性，再求出新函数的端点值和极值，从而可得实数m的取值范围.试题解析：切点 p(1,f (1)在直线 2x y 3=0 上， f (1) =1.af (x)2bx,由已知得xf a 2b 2f (1) b 1a=4,b=-1.f (x) 4ln x x2(2) f (x

14、)的定义域为(0,).g(x) f (x)m1n4 =4i nx-x2+m-l n4令 g (x) =0,得 4lnx-x2+m-in4.=0m=x2-4lnx+ln4 .2142x24记(x) x 4in x in 4.则(x) 2xxx当 x (1, .2)时，(x) 0,e(x)单调递减;当 x ( .2,2)时,(x) 0,(x)单调递增.1 1()4 2i n2,(2) 2,4 2in2.e e由题意,2 m 4 2 in 2 .单调增区间为(o, J2),减区间为J2, + )3.设函数 f (x) x2m lnx , h(x) x2 x a。(I)当 a=0 时,f (x) h(

15、x)在(1，+m)上恒成立，求实数 m的取值范围;(n)当 m=2时，若函数k(x) f (x) h(x)在1, 3上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围；(川)是否存在实数 m，使函数f (x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存 在，求出m的值，若不存在，说明理由.解：(I)由 a=0, f (x) g(x)可得 minx x,即m 1分in xx记，则f (x) g(x)在(1 , +m)上恒成立等价于 m (x)min in xin x 1八求得 (x)2 2分in x当 x (1,e)时；(x)0; 当 x (e,)时，(x)0 故(x)在x=e处取得极小值，也是最小值,即 (x)min(e) e，故 m e. 4分x 2ln x a ,(n)函数k(x) f (x)