导数题型分类大全.

1、导数题型分类(A)题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则(一)导数的定义：函数y = f (x)在X0处的瞬时变化率lim = lim2 Ax 2 ，即f(xox) f (x)称为函数y = f (x)在X处的导数，记作f/(X。)或y/f/(X0)= lim f(X0f(X0)如果函数y = f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数, 应着一个确定的导数此时对于每一个 x ：= (a,b),都对 f (x)。称这个函数f/ (x)为函数y = f(x)在开区间内的 导函数，简称导数，也可记作y/，即f/(x) = y/ = f(x：x) f(x)lim0-X导数与导函数都称为

2、导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数= f(x)在X0处的导数y/f/(x)，从而构成了一个新的函数，就是导函数fx)在x0处的函数值，即y/1.函数y = f x在x = a处的导数为A,求片叩f a 4t - f a 5t。=f /(Xo)。2.求y二罕2在点X =3处的导数。x +3(二)常见基本初等函数的导数公式和运算法则c -0(C为常数);(Xn)二nxnJ,n N ;(ex)X(a )二 a I n a ；(In x)(sinx) =cosx;1法则法则 , , 一JX1 : u(x)_v(x) =u(x)_v(x) 法则 2： 3:u(x) = uv(x)

3、(cosx) = - sin x;1(log x) log ea x aIIIu(x)v(x) = u (x)v(x) u(x)v (x)(理)复合函数的求导：若(x)v(x) -U(X)V (x) , , 、 c、()(V)2(x)()()(V(X)“)y = f (u),u =F(X)，则 yx = f (x)L (x)如，(esinx) =； (sin ex) =公式(xn)/ = nxn4的特例：(x)、; |丄=,(Jx) =.lx丿题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义：函数y = f (X)在X。处的导数是曲线 y二f (X)上点(x,f(X0)处的切线的斜率因此，如

4、果f (x0)存在，则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0)处的切线方程为第18页共15页例1 若函数f(x)满足，f (x-x f (1) xx,则f (1)的值3ax例2.设曲线y =e在点(0,1)处的切线与直线x 2y0垂直，则a =.练习题1.曲线y=4x_x在点-1，-3处的切线方程是y=x_22 若曲线f(x) =x4 _x在p点处的切线平行于直线3x_y =0，则p点的坐标为 (1, 0)43若曲线y =x的一条切线I与直线x 4y-8 = 0垂直，则|的方程为4x- y-3 =04 .求下列直线的方程：(注意解的个数)3 2 2(1) 曲线y二x x1在P(-1,1

5、)处的切线；(2)曲线y二X过点p(3,5)的切线;解:(1)；点P( -1,1)在曲线 y =x3 -X2 -1上,y/ = 3x2 ：-2x . k = y/ x 才=3 2=1所以切线方程为(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为 A(x0，y0)，则y0 =x。2又函数的导数为y/=2x ,所以过A(x0，y0)点的切线的斜率为k 4卜之=肌,又切线过A(x0，y0)、P(3,5)点，所以有2X0 =心x。3，由联立方程组得,X0 二1 环X。二 5y25，即切点为(1, 1)时，切线斜率为=10 ；所以所求的切线有两条，方程分p处切线倾斜角的取值范围为0,寸,A . 1,

6、2B. 1,0C. 0,1刘=2X0 =2;；当切点为(5, 25)时，切线斜率为 匕=2x 别为 y _1 =2(x -1)或y -25 =10(x -5),即y =2x -1 或y =10x -255.设P为曲线C： y= x2+ 2x+ 3上的点，且曲线 C在点则点P横坐标的取值范围为()6.下列函数中，在(0, +8)上为增函数的是(A.y=si nxB.xy =xeC.3y 二 xXD.y=l n(1+x) x7.设f(x),g(x)是 R 上 的可导 函数，f (x), g (x)分 别 为f(x),g(x)的 导数，且f (x)g (x) f (x)g (x) ： 0 ,则当 a

7、xf(b)g(x)B.f(x)g(x)f(b)g(b)C.f(x)g(a)f(a)g(x)D.f(x)g(x)f(b)g(a)题型三：利用导数研究函数的单调性1.设函数y= f(x)在某个区间(a,b)内有导数，如果在这个区间内，贝yy= f(x)在这个区间内单调递增；如果在这个区间内，则 y二f (x)是这个区间内 单调递减2.求函数的单调区间的方法：(1)求导数 y、f (x) ；(2)解方程 f (x) =0；(3)使不等式f (x) . 0成立的区间就是递增区间，使f (x) 0成立的区间就是递减区间3若函数y = f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)_O在(a,b)恒成立.

8、例：1.函数y = xcosx sinx在下面哪个区间内是增函数()(D) (2 二，3 二)/ 、，兀3兀3兀5兀(A)(2，y )( B)(二，2 二)(C) (y，)2.函数f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是 3.已知函数f(x) =ex -ax+1在r上单调递增,则a的取值范围是 题型四：利用导数研究函数的极值、最值。22 已知函数y (x) =X(X c)在X =2处有极大值，则常数 c=65.已知函数f (x)a的取值范围是(1. f(X)二X - 3x? 2在区间-1,1 L的最大值是2=X3 ax2 (a 6)x 1有极大值和极小值，则实数A.-1 v av 2B.a

9、v -3 或 a6 C.-3 v av 6 D.a v -1 或 a2作业和练习：1已知函数f(x) = x2-2ax a在区间(汽1)上有最小值，贝U函数g(x)二丄在区间(1, x+R)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数2 已知函数f (x) = ax3 bx2 -3x在x二1处取得极值，求过点 A(0, 16)作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程3 .已知函数f (x) = xln x(1) 求f(x)的最小值(2) 若对所有x 1都有f(x) ax-1,求a的取值范围1 24.已知函数f(x)= x -lnx,其中a为大于零的常数. 2a(1) 当a=1时，

10、求函数f(x)的单调区间和极值(2) 当1,2时，不等式f(x)2恒成立，求a的取值范围y=3x+15.已知函数 f(x) =x3 - ax2 - bx - c,过曲线y二 f (x)上的点p(1, f (1)的切线方程为(I)若函数f (x)在x = -2处有极值，求f (x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数 y = f(x)在3, 1上的最大值；(川)若函数y = f(x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b的取值范围322解：(i)由 f (x) = x ax bx c,求导数得 f (x)二 3x - 2ax b.过y二f(x)上点P(1, f)的切线方程为： y - f (1

11、) =f (1)(x -1),即y (a b e 1) =(3 2a b)(x -1).而过y二f (x)上 P1, f的切线方程为y = 3x 1.3 +2a +b =3故 ggd即严+ba e =d/ y = f (x)在x = -2时有极值，故f (-2) =0,. -4a - b = -12 由得a=2 , b= 4, e=5.f(x) =x3 2x2 -4x 5.(2) f (x) =3x2 4x-4 = (3x -2)(x2).2一3 乞x：:2时,f (x)0;当2 Ex 时，f (x)：:0;当3当 x _1 时，f (x)0. f(x)极大二 f(2)=133又 f(1)=4

12、,. f(x)在3, 1上最大值是 13。2f (x) = 3X 2ax b,由知 2a+b=0。依题意当当詣一2时,f(x)mimin二 f (-2) =12 2b b _0, b当-2江泪时,f(x)mimin212b f -0,贝V0 辽 b 乞 6. 12综上所述，参数b的取值范围是0：=)3丄26.已知三次函数f(x)=x ax bx c在x=1和x = T时取极值，且仁一2)=一4(1)求函数y (X)的表达式;f (x)在2, 1上恒有 f (x) 0，即 3x2 - bx b 一 0.1 时，f (x)min = f (1) =3 b b 0, b 一 6 6 求函数y =f

13、(x)的单调区间和极值； 若函数g(x) = f(x-m) Fmg 0)在区间m-3, n上的值域为由6，试求m、n应满足 的条件.2解. f (x) =3x 2ax b，由题意得，匕一1是3x2 0x5=0的两个根，解得，a, b=_3 .3再由“卫)=4 可得 c = _2 . f (x) =x - 3x_2 .2(2) f (x) =3x _3=3(x 1)(X_1),当 x 0 ；当 x =-1 时，f (x) =0 ；当1 ex -0f( x)(3分幣曲【门在日处凰得极 口时即卞时 p 在【0 1 +a _th( k) c 0,在 f 1+, +) _th ( x J 0/所以hl買

14、)在t 0, 1*白)上単调劇，在t 1+a. +)上单加壇；(7分 当 1+a Ot所以函数h)O在f (b *e)上車调谨増.盼)C III)正口 *电上存正1点和*便雾代) g( )咸辽I即1 + 吕p* + 1由 h(e) = e+a,2&e -1因为空一e- 1，e- 1e2 + l所a ar； 0分)e- 1 当1 + ai,即宜笔D时h( x)在1,创上单调谨増所臥hD 棗小值为h(1) j ih( 1) =1+1+3。可得恥-2 ；( 当“ 1+a 8i即X a e-191,可得hf )0虽小值为旗1+a)因为 CK ln( 1 +a) 1 j所以0 a1n( 1 +a) 2此

15、时.he 或a0；当 为:X ：: X2时，f (x) V0；当 x X2时，f (x) 0因此Xl是极大值点，X2是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。题型五：利用导数研究函数的图象y =X3 _4x +1的图像为2 函数 3(A)D )3 方程2x3 -6x2=0在(0,2)内根的个数为y422-2-2-4yd64W0 2入 -2-44A、0 B 、1C、2题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1322f(x) = x 2ax -3a x b,0 ： a ： 1.1 设函数3(1)求函数f(x)的单调区间、极值(2)若当x a 1，a 2时

16、，恒有1 f (x) 4 a，试确定a的取值范围2 2解.(i)f (x) = _x +4ax-3a =-(x-3a)(x-a)令 f(x)=O 得 X! = a, x=3a列表如下：f(x)极小 .极大f(x)在a, 3a） 上单调递增，在（-g,玄）和（3a, +8）上单调递减x 二a 时,4 3f极小(x) = b a3，x - 3a 时f极小（x） = bx(-g , a) a(a, 3a)3a(3a , +8)f (x)- 0+ 0-1 ）求a、b的值与函2123)= 94a+ b = 031f (1) = 3+ 2a+ b = 0 得 a =2 ,2 2(2) f (x) = x

17、*4ax 3a . 0 a 1 对称轴 x = 2a ca+1 f (x)在a+1 , a+2上单调递减.fMax - -(a 1) 4a(a 1)-3a2 =2a-1fmi -(a 2)2 4a(a 2)-3a2 =4a-4依题 I f (x) | - a ：= I fMax - a I f min - a 即 |2a-1|_a,| 4a - 4 |_ a4 _a -1 a的取值范围是解得 5,又 0 ： a ：1f (x)= 3x2 x 2=( 3x + 2) (x 1),函数f (x)的单调区间如下表:x2(-比,2 .已知函数f (x) = x3+ ax2 + bx+ c在x= 3与x

18、= 1时都取得极值数f (x)的单调区间 )232(3 , 1)1(1, +)f (x)+0一0+f (x)极大值极小值2 2所以函数f （x）的递增区间是（一:,3 ）与（1, + ：）,递减区间是（一 3 , 1）22(2) f (x)= x3 2 x2-2x + c, xw 1, 2，当 x=- 3 时，f (x) = 27 + c为极大值，而f (2)= 2+ c,贝U f ( 2)= 2 + c为最大值。要使 f (x) f (2) = 2 + c,解得 c2题型七：利用导数研究方程的根1.已知平面向量a=(3, 1).卞=(2,3T).(1)若存在不同时为零的实数x = a+(t2

19、 3)b , y =-k a+tb , x 丄 y ,试求函数关系式k=f(t);据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况.解: (1) V X 丄 y X y =0即a +(t2-3)(-ka +tb )=o.2整理后得-k a +t-k(t2-3)a b +(t2- 3) b =o2=0, a =4,上式化为-4k+t(t2-3)=0即 k= 4 t(t2-3)(2)讨论方程14 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线1f(t)=4 t(t2-3) 与直线y=k的交点个33t(-m, -1)-1(-1,1)1(1,+ m)f (t)+0-0+F(t)/极大值极小值/

20、f(t)的变化情况如下表:令 f (t)=0.1当t= 1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2 .解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f 、是 fz (t)=4 (t2-1)=4(t+1)(t-1).1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=2 函数f(t)=4 t(t2-3)的图象如图13 2 1所示,可观察出：1 1(1)当k 2或kv 2时,方程f(t) k=0有且只有一解；1 1当k= 2或k= 2时，方程f(t) k=0有两解；1 1 当一2 v kv 2时,方程f(t) k=0有三解.2已知函数f(x)二kx3 -3(k 1)x2 -2k24,若f (x)的单调减区间为

21、(0, 4)(I) 求k的值；(II) 若对任意的t -1,1,关于x的方程2x2 5x f (t)总有实数解，求实数a的取值 范围。解: (I) f (x3kx2 -6(k 1)x 又 f(4)=0,. k = 14分(II) f (t) =3t2 -12t 一1 ： t : 0时f (t)0;0 ： t : Wf (t) : 028a25且 f (-1) = 5, f (1) = 3, . f (t) _ -52x 5x a _88a 25丿厂肩刀曰 丿15. _8 8题型八：导数与不等式的综合1设a,函数dax在1,二）上是单调函数.（1）求实数a的取值范围；（2） 设 x0 1, f（

22、X） 1,且 f（f（x0）=x0，求证：f（X0）= X0.解: （1） y = f（X）=3x2 -a诺f（x）在H,上是单调递减函数，贝y须y ： 0,即a 3x这 样的实数a不存在.故f（X）在1上不可能是单调递减函数.若f（x）在1 7上是单调递增函数，则a 3x2,由于 x 1 : ,故3x -3.从而 0a 3.（2）方法1、可知f（X）在1 =上只能为单调增函数.若1 X。 f（X。），则f（X0） c f （f（X。）= X 矛盾，若 1 w f（X0）CX0,则 f （f（X0） 3,又0caw3 二 x0+x0u+u +1 a023f(x)=(x +：)(x+a)2 已知

23、a为实数，函数2(1) 若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求 a的取值范围(2) 若(-1)，(I)求函数f(x)的单调区间X XE(10)1 f(xiHf(x2)K5(n)证明对任意的 冷x2 (-|,0)，不等式16恒成立323323* f (x) = x ax x a . f (x)二 3x2ax解：22,函数f(x)的图象有与x轴平行的切线， f(x)=0有实数解2，所以a的取值范围是(八，-2 刁 U；)3.：=4a2 -4 30 a2= 3(x+*)(x + 1)9293af (x) = 3x x4f (x) 由 f(x) Qx :： -1 或 2 ； 由(-, 1),(1

24、，母)(1,丄)f(x)的单调递增区间是2；单调减区间为2a3已知函数f (x) = In x -一x(1)当a 0时，判断f (x)在定义域上的单调性3若f (x)在1,e上的最小值是，求a的值;22_设g(x) = In x-a，若g(x) : x在(0,e上恒成立，求a的取值范围题型九：导数在实际中的应用1 .请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 0到底面中心01的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设 001 为 x m，则 1 ： x ： 4由题设可得正六棱锥底面边长为：3 -(X-1)=y8 + 2x

25、QF ,(单位:m故底面正六边形的面积为:,(单位：m100 =第20页共15页(16 12x x3)2(单位:V (x) = 口 (8 2x x2 )(x 1)1-帐篷的体积为:2332V(x)(123x2)求导得2。令V(X) 0，解得X = -2 (不合题意，舍去)，X = 2 ,当 1：x：；2 时，V(x) 0 , V (x)为增函数；当 2 ： X :： 4 时，V(x) :： 0 , V ( X)为减函数。.当x = 2时，V (X)最大。答：当OO1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为 16 3 m3。2 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度 X (千米/133yx x 8(0 ： x E 120).小时)的函数解析式可以表示为:128000 80已知甲、乙两地相距 100千米。(I )当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?解:当X =40时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时,(1x40 一2x40 +8)x2.5=17.5要耗没 12800080(升)。100(II )当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升,