高中数学选修2-2知识总结

1、函数值的改变量()()选修 2-2 基本知识、方法考点总结 一、导数复习：1. 平均变化率:函数的平均变化率=函数值的改变量 自变量的改变量=f(x +dx )-f ( (x+dx)-xx)=f(x +dx ) dx- f(x)注 1：其中 dx 是自变量的改变量，可正，可负，但不可零。 注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2. 函数的瞬时变化率 =limdx 0f(x+dx)-f( (x+dx)-xx)=limdx 0f(x +dx) dx-f(x)注 1：当 存在极限时，极限值叫做瞬时变化率，并把这个变化率叫做导数，即：lim 自变量的改变量 dx0f(x +dx) dx

2、- f(x)= f (x)或记作y x注 2：函数的瞬时变化率可以看作是物体运动的瞬时速度3. 导数定义： limdx0f (x+dx)-f(x) dx= f (x),导数概念易考，所以必须理解4. 八个求导公式： 函数y =c导函数y =0不定积分y =x n (nn* )y =nxn -1x n dx =1n +1x n +1 +cy =xm(x 0,m0,mq)y =mxm-1(n-1)y =ax(a0,a 1)y =a x ln a强记a x dx =a xln a+cxy =ex =log x (a0,a 1, x 0 a)xy =e1y =x ln a强记e x dx =e x+c

3、y =ln xy =1x1xdx =ln x +cy =sin xy =cos xy =cos xy =-sin x符号不要忘记cos xdx =sin x +csin xdx =-cos x +c5. 导数的几种应用：（1） 求曲线在某点的切线斜率及其切线方程（分两类） :曲线在点 x , f (x)处的切线方程为： y-f(x )=f (x )(x-x )0 0 0 0 0曲线过点（ m,n）的切线方程：设切点为 x , f (x) 表达出 y-f(x )=f0 0 0(x )(x-x ) 代入点（ m,n） 0 0（2） 求出 x f(x )及 f (x ) 最后代入 y-f(x )=f

4、 (x )(x-x )即可 0 0 0 0 0 0求单调区间 : 解 f (x)0得 f (x)增区间，解 f (x)g(x)先构造函数 f(x)=f(x)-g(x)只需证 f(x) 0二、积分复习（导数的逆运算）1、积分定义：f x dxa= limn i =1f xi)b-na。此时称函数在区间a,b上可积。【其中f (x)叫做被积函数， a 叫积分下限，b叫积分上限，f (x)dx叫做被积式】2、常见的导数和定积分运算公式：若 f(x)，g (x)均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g (x)=f (x)g (x)f(x)g(x) =f (x)g(x)+ f(x)g (x)积的导

5、数运算商的导数运算(x)=cf (x)特别地： cf f (x) f (x)g(x)-f (x)g (x) =g x g x特别地： 1 -g (x) =g x g x（记准了）复合函数的导数y =y u x ux（易错处）对两层复合必须熟悉，能口算和差的积分运算baf(x)g(x)dx=b ba ag(x)dx特别地： bkf(x)dx= kbf(x)dxaa积分的区间可加性bf(x)dx=cf(x)dx+bf(x)dxa3、微积分基本定理：如果 f (x)=f(x)，且a cf (x)在a,b 上可积，则f x dx=f (x)b=f (b)-f(a)，aa【其中f(x)叫做f (x)的一

6、个原函数，因为(f(x)+c)=f(x)=f(x)】关键在于正确利用求导公式寻求被积函数的一个原函数4 定积分的应用（ 1） 用积分的几何意义求面积：基本步骤为画图形 求交点 写积分 算面积 注意：根据情况灵活选择用 x 型或 y 型求面积或利用几何意义求特殊的积分： 39 -x 2 dx0（ 2）定积分在物理中的应用：位移的导数为速度，速度的导数为加速度： s(t) =v(t); v(t) =a(t)反之 s(t) = v (t )dtv(t)=t2a(t)dtt1t1变力做功：w=bf(x)dx这里 f(x) 是关于位移 x 的函数a三、推理与证明nn0)2 1. 合情推理（1）归纳推理是

7、由特殊到一般的推理；（2）类比推理是由特殊到特殊的推理；2. 演绎推理：是从一般性的原理（定义，性质定理，判定定理，公理，公式等）出发，推出某个特殊情况下的结论，我们 把这种推理称为演绎推理，又称为逻辑推理 ,简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。3.三段论：三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提，小前提，结论4、综合法：由因导果用此法需要审清每个已知条件及隐含条件，全盘考虑，更有赖于学生的解题方法经验5、 分析法：执果索因，由结论入手寻求其成立的充分条件，俗称逆推5、 反证法步骤： 假设命题的反面成立， 以此为依据结合已知条件 经过演绎推理，推出矛盾，从而说明假设不成立，即原 命题成立。

8、难在矛盾的不可预知性常见否定词表（理解性的看看即可，不用抄）：正面词语等于( =)大于( )小于( )至多个至少个至多一个至少一个否定词语不等于( )不大于( )不小于( )至少n +1个至多n -1个至少两个一个没有正面是都是全是所有任意任意存在词语两个否定不是不都是不全是某些某个某任意词语两个7、数学归纳法解题步骤：一个与自然数相关的命题，如果（ 1）当 n 取第一个值 n 时命题成立；（2）在假设当n =k (kn , k n+ 0时命题成立的前提下，推出当n =k +1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正数成立。注意事项： 必须理解原命题含义初始值并不都是

9、 1 开始的两凑：凑假设，凑结论（得具有目标意识） 难在由 n=k 到 n=k+1 命题的变化数学归纳法易和数列结合考察四、复数复习1、基本概念复数的单位为 i，它的平方等于1，即 i =-1 复数及其相关概念：.复数：形如 a + bi 的数（其中 a，b r）；实数：当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a；虚数：当 b 0时的复数 a + bi；纯虚数：当 a = 0 且 b 0时的复数 a + bi，即 bi.34复数 a + bi 的实部与虚部： a 叫做复数的实部， b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数） 复数集 c全体复数的集合，一般用字母 c 表示，其分类：复 数 a +

10、bi ( a , b r )两个复数相等的定义： 整 数 有 理 数 实 数 ( b = 0) 分 数 无 理数 ( 无 限不循环 小数 ) 纯 虚 数 ( a 0)虚 数 ( b 0) 非 纯 虚 数 ( a = 0)2 2 22 2221 21 2121 21 21 2n+14243a +bi =c +di a =c且b =d（其中，a，b，c，d，r）特别地a +bi =0 a =b =0 两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小 .*若 a , b, c c，则 ( a -b ) +(b -c ) +( c -a ) =0是 a =b =c的必要不充分条件 .（当 ( a -b ) =

11、i，(b -c ) =1, ( c -a ) =02、复数与坐标、方程时，上式成立）复平面内的两点间距离公式： d = z -z .其中 z ，z是复平面内的两点z 和z1 2所对应的复数，d表示z 和z 1 2间的距离.由上可得：复平面内以 z0为圆心， r为半径的圆的复数方程： z -z =r0（r f0）.常见曲线方程的复数表示形式：z -z0=r表示以z0为圆心，r 为半径的圆的方程.z -z = z -z 12表示线段 z z 1 2的垂直平分线的方程. z -z + z -z =2a（a f 0且2a f z z ）表示以z ，z 为焦点，长半轴长为 1 2 1 2 1 2z ，z

12、）.1 2a 的椭圆的方程（若2a = z z 1 2，此方程表示线段z -z - z -z =2 a （0 p 2 a p z z ），表示以z ，z1 2为焦点，实半轴长为 a 的双曲线方程（若2a = z z 1 2，此方程表示两条射线）.绝对值不等式：设 z ，z1 2是不等于零的复数，则z - z12 z +z12 z + z12.z - z z -z z + z 1 2 1 2 1 2.仅仅了解，实数范围内的也有类似不等式3. 共轭复数的性质：z +z =z +z 1 2（和的共轭等于共轭的和）z -z =z -z 1 2（差的共轭等于共轭的差）z 1z2=zz12（ z 02）

13、z z =z z （商的共轭等于共轭的商） 1 2 1 2（积的共轭等于共轭的积）zn=( z )n以上性质课本上没有但如果了解有时会方便计算（仅仅了解即可）（以下必须掌握）z +z =2a ， z -z =2bi （ z =a + bi）z z=|z |2=|z |2（最易错）4、复数的四则运算：若两个复数 z =a +b i，z =a +b i，1 1 1 2 2 2（1）加法：z +z =(a +a )+(b +b )i； （2）减法：z z =(a a )+(b b )i；1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2（3）乘法：z z =(a a b b )+(a b +a b )i（按多项式展开即可）1 2 1 2 1 2 1 2 2 1（4）除法：z ( a a + b b ) + ( a b - a b ) i 1 = 1 2 1 2 2 1 1 2z a 2 + b 22 2 2（类似于无理数除法的分母有理化 虚数除法的分母实数化：分子分母同时乘以分母的共轭复数 ）； （5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）复数的乘方复数的乘方：z =z zz. z ( n n )nm n m n m n m nn nn对任何