高中数学必修5数列单元测试题含解析

1、nnn1 n+1 n1 2 3 4 5n+1 nnn2 34 5n1 4 72 5 83 6 91 4 7 2 5 8 3 6 93 6 9n1nn 1nnn1110 12 10 11新课标数学必修 5 第 2 章数列单元试题一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为（ ）a34 b35 c36 d37考查等差数列的应用【解析】观察出 100 至 500 之间能被 11 整除的数为 110、121、132、它们构成一个等 差数列，公差为 11，数 a =110+（n1）11=11n+99，由 a 500，解得 n

2、364，nn*， n36【答案】c2在数列a 中，a =1，a =a 21（n1），则 a +a +a +a +a 等于（ ）a1 b1 c0 d2考查数列通项的理解及递推关系【解析】由已知：a =a 21=（a +1）（a 1），a =0，a =1，a =0，a =1【答案】a3a 是等差数列，且 a +a +a =45，a +a +a =39，则 a +a +a 的值是（ ） a24 b27 c30 d33 考查等差数列的性质及运用【解析】a +a +a ，a +a +a ，a +a +a 成等差数列，故 a +a +a =23945=33 【答案】d4设函数 f（x）满足 f（n+1）=

3、2 f ( n) +n 2（nn*）且 f（1）=2，则 f（20）为（）a95 b97 c105 d192 考查递推公式的应用【解析】f（n+1）f（n）=n21f (2) - f (1) = 121f (3) - f (2) = 22m m1f (20) - f (19) = 192相加得 f（20）f（1）= 【答案】b12（1+2+19） f（20）=95+f（1）=975等差数列a 中，已知 a =6，a =0，公差 dn*，则 n（n3）的最大值为（ a5 b6 c7 d8考查等差数列的通项）【解析】a =a +（n1）d，即6+（n1）d=0 n= dn*，当 d=1 时，n 取

4、最大值 n=7【答案】c6d+16设 a =n2+10n+11，则数列a 从首项到第几项的和最大（ ）a第 10 项 b第 11 项 c第 10 项或 11 项 d第 12 项 考查数列求和的最值及问题转化的能力【解析】由 a =n2+10n+11=（n+1）（n11），得 a =0，而 a 0，a 0，a a a =2，a =6，从而得 a =10，d=2，s =180【答案】a8现有 200 根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那 么剩余钢管的根数为（ ）a9 b10 c19 d29考查数学建模和探索问题的能力【解析】1+2+3+n200，即n( n -1) 2

5、20019 20显然 n=20 时，剩余钢管最少，此时用去 =190 根2【答案】b9由公差为 d 的等差数列 a 、a 、a 重新组成的数列 a +a ， a +a ， a +a 是（ ）a公差为 d 的等差数列 c公差为 3d 的等差数列b公差为 2d 的等差数列 d非等差数列考查等差数列的性质【解析】（a +a ）（a +a ）=（a a ）+（a a ）=2d（a +a ）（a +a ）=（a a ）+（a a ）=2d依次类推【答案】b10在等差数列a 中，若 s =18，s =240，a =30，则 n 的值为（ ）a14 b15 c16 d17考查等差数列的求和及运用【解析】s

6、=9( a +a ) 1 92=18 a +a =4 2（a +4d）=4a +4d=2，又 a =a +4ds =n( a +a ) 1 n2=16n=240n=15【答案】b二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）11在数列a 中，a =1，a =2 ana +2n2（nn*），则 是这个数列的第_项7考查数列概念的理解及观察变形能力【解析】由已知得a1n +1=1 1 1 1 1+ ， 是以 =1 为首项，公差 d= 的等差数列 a 2 a a 2n n 11an1 2 2=1+（n1） ，a = = ，n=62 n +1 7【答案】612在等差数列a 中，已知 s

7、 =10，s =100，则 s =_2 / 5100 10 11 1210011 1001 1101 1101101 110nnn n=nnnnk mn19 179 17 1nnnnnn考查等差数列性质及和的理解【解析】s s =a +a +a =45（a +a ）=45（a +a ）=90 a +a =2s =12（a +a ）110=110【答案】11013在9 和 3 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成和为21 的等差数列，则 n=_ 考查等差数列的前 n 项和公式及等差数列的概念【解析】21=【答案】5( n +2)(-9 +3)2，n=514等差数列a ，b 的前 n 项和分

8、别为 s 、t ，若考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用s 2 n an = ，则 11 =_ t 3n +1 bn 11【解】a11b11=( a +a ) 21( a +a ) 1 21 1 212 2(b +b ) 21(b +b ) 1 21 1 212 2=s 2 21 21 21 = = t 3 21 +1 32 21【答案】2132三、解答题（本大题共 5 小题，共 54 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15（本小题满分 8 分）若等差数列 5，8，11，与 3，7，11，均有 100 项，问它们有多少 相同的项？考查等差数列通项及灵活应用【解】设这两个数列分别为

9、a 、b ，则 a =3n+2，b =4n1，令 a =b ，则 3k+2=4m1 3k=3（m1）+m，m 被 3 整除设 m=3p（pn*），则 k=4p1k、m1，100则 13p100 且 1p25它们共有 25 个相同的项16（本小题满分 10 分）在等差数列a 中，若 a =25 且 s =s ，求数列前多少项和最大 考查等差数列的前 n 项和公式的应用【解】s =s ，a =25，925+9 (9 -1) 17(17 -1)d=1725+2 2d解得 d=2，s =25n+n( n -1) 2（2）=（n13）2+169由二次函数性质，故前 13 项和最大注：本题还有多种解法这里

10、仅再列一种由 d=2，数列 a 为递减数列 a =25+（n1）（2）0，即 n135数列前 13 项和最大17（本小题满分 12 分）数列通项公式为 a =n25n+4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a 有最小值？并求出最小值 考查数列通项及二次函数性质【解】（1）由 a 为负数，得 n25n+40，解得 1n4nn*，故 n=2 或 3，即数列有 2 项为负数，分别是第 2 项和第 3 项3 / 5nnnnn n n11nnn2 3nn n n1n n1 n n1nnn n n11 1nnn2 3n（2）a =n25 9 55n+4=（n ）2 ，对称轴为 n= =25

11、2 4 2又nn *，故当 n=2 或 n=3 时，a 有最小值，最小值为 2252+4=218（本小题满分 12 分）甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走 2 m，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙每分钟走 5 m（1） 甲、乙开始运动后，几分钟相遇（2） 如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙继续 每分钟走 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考查等差数列求和及分析解决问题的能力n( n -1)【解】（1）设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意得 2n+ +5n=702整理得：n2+13n140=0，解得：n=7，

12、n=20（舍去）第 1 次相遇在开始运动后 7 分钟（2）设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意有：2n+n( n -1) 2+5n=370整理得：n2+13n670=0，解得：n=15 或 n=28（舍去）第 2 次相遇在开始运动后 15 分钟19（本小题满分 12 分）已知数列a 的前 n 项和为 s ，且满足 a +2s s =0（n2），a =1（1）求证： 是等差数列；sn（2） 求 a 表达式；（3） 若 b =2（1n）a （n2），求证：b 2+b 2+b 21考查数列求和及分析解决问题的能力【解】（1）a =2s s ，s +s =2s s （n2） 12s 0，1 1 1 1 1 =2，又 = =2， 是以 2 为首项，公差为 2 的等差数列 s s s a sn n -1 1 1 n（2）由（1）1sn=2+（n1）2=2n，s =12 n当 n2 时，a =s s