基本不等式均值不等式技巧

1、基本不等式习专题之基本不等式做题技巧基本知识】1.（1）若a,bR，则a2 b2 2ab (2) 若 a,b22R，则ab a b （当且仅当 a2时取“ =”）2. (1) 若 a,bR*，则 a b ab (2) 若a,b2R*，则 a b 2 ab（当且仅当 a时取“ =”）(3) 若 a,bR ，则 abab2当且仅当 ab 时取“ = ”）(4) a3 b3c3 3abc3abc ab333c (a、b、c R )，当且仅当 a = b = c 时 , “号成立；abc 33 abcabcabc33(a、 b、c R ) , 当且仅当 a = b = c 时,=”号成立 .4.若 a

2、,b R，则(a b)2b （当且仅当 a b 时取“ =”）2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3） 熟悉一个重要的不等式链：112ab技巧讲解】技巧一：凑项(增减项)与凑系数( 利用均值不等式做题时， 条件不满足时关键在于 构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造)1：已知 x 5 ，求函数 y44x2 1 的最大值。 4x 52. 当 时，求 y33：设 0 x ，求函数2x(8 2x) 的最大值。y 4x(3 2x)

3、 的最大值。4、求函数 y2(x 1)2 (x 1)的最小值。5 已知 x 0,y，且满足 3x 2y12，求 lg xlg y 的最大值 .6已知 x，y 为正实数，且 x 2y2 1，求 x 1 y 2的最大值 .7 若 a,b,c 0且 a(a b c) bc 42 3,求 2ab c 的最小值 .技巧一答案：1 解：因 4x 50 ，所以首先要调整”符号，又(4x 2)1 不是常数，所以对 4x 2 4x 5要进行拆、凑项，4x 0， y4x 214x 55 4x51 3 2 3 14x当且仅当4x11 ，即 x5 4x1时，上式等号成立，故当x 1时， ymax 1 。评注：本题需要

4、调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。2 解析：由 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值， 此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 2x (8 2x) 8 为定值，故只需将 y x(8 2x) 凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号 当 x2时， y x(8 2x) 的最大值为 8。评注： 本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。3、解： 0 x 3 2x 0 y24x(3 2x) 2 2x(3 2x)2x 3 2x2当且仅当2x3 2x, 即0,3 时等号成立。24 解析：yx2(x 1)2 (x 1)(x1)

5、12(x11)2 1(x 1)x12x122(x 1)2 1(x1)x 1 x 1 13 2 2 2(x 1)2 1号成立，故此函数最小值是325。25 x 152，当且仅当x2112(x 1)2(x 1)即 x 2时，评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。 通常要通过添加常数、 拆项(常常是拆底次的式子) 等方式进行构造5、分析 lg x lg y lg( xy) , xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式 x y 是否3x 2y定值， 而已知是 3x与 2y 的和为定值 12 ，故应先配系数，即将 xy变形为 6 ，再用均 值不等式 .解： x

6、0,y 0lg x lg y lg( xy )lg3x 2y6lg3x 2ylg21 1262lg6当且仅当 3x 2y，即 x 2,y 3时，等号成立 . 所以 lg x lg y的最大值是 lg 6.6 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式1同时还应化简 1 y 2 中 y2 前面的系数为 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（ 分离。2 ，a 2b 2 ab 2x 1 y 2面将 x，2 y 2 分别看成两个因式：2xy2x 2(12 y2 )2x 2y2 2 212即 x 1 y 234 27 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b 2 a

7、b +b 来解决 . 换个思路，可考虑将 2a b c 重新组合，变成4 2 3 ，于是就可以利用均值不等式了(a b) (a c)，而 (a b)(a c) 等于定值x12 y2解：由 a,b,c 0,知2a b c (a b) (a c)2 (a b)(a c) 2 a2 ab ac bc2 4 2 3 2 3 2, 当且仅当 b c, 即 b c 3 1 a时，等号成立 .故 2a b c的最小值为 2 3 2.技巧二 ： 分离或裂项1. 求 y x 7x 10（x 1）的值域。 x12求函数 y=（1+x） 的值域 .x1）的项，再将其（x 1+2x）当 , 即 时, y 2 （x 1

8、）2、解：可将上式转化为44 5 9 （当且仅当 x1 时取“”号）。 x1（x+1）y（ x 1）-11+2（x+1-1）（ x+1 ）2（x+1）2-3（x=11）+1 （x1+1）+2（1+x）-3当x-1时，x+101 +2 （1+x） 2 2，此时 y x+1）当x01+2（1+x）=-x+1）12 2-3所以值域为：（-11 +2（-1-x） -2 2,此时 y （-x-1）11， - ,+ ）2 2-3 2 2+312 2+3技巧三 ：换元x2 7x1、求 yx110（x 1） 的值域。x2y2、求函数2x 5 的最大值 .3、已知正数 x、y 满足 8x11 1，求 x 2y

9、的最小值。y4、已知 x，y 为正实数，且x 2 y2 1，求 x 1 y 2 的最大值 .参考答案：1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x 1，化简原式在分离求最值。（t 1）2 7（t 1）+10 t2 5t 4 y = t当 ,即 t=时, y 2t5 9（当 t=2即 x1时取“”号）。评注：分式函数求最值， 通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利A用不等式求最值。即化为 y mg(x) B(A 0,B 0) ， g( x)恒正或恒负的形式，g(x)然后运用基本不等式来求最值。2 分析 可先令 x 2 t ，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不

10、等式来 解决.解：令 x 2 t,t 0,x t 2 2,则2t21(t当 t 0时， y0)0;当 t 0时， y24当且仅当 2t = 2、已知 a，b 为正实数， 2baba30，求函数 yab 的最小值 .，即 t2时，取等号t2所以x3时,取最大值为 2.243、解法三 ：(三角换元法)82 sin x8x令x则有2sinx12 cos x1y2ycosxx 2y828csc2 x22sec x28(1 cot2 x)2 2 22(1 tan2 x) 10 8cot2 x 2tan2 x22sin xcos x10 2 (8cot2 x) (2tan2 x) 18，易求得 x 12,

11、此时y 3时“ =”号成立，故最小值 是 18。技巧四：消元(转化为函数最值，此时要注意确定变量的围)8111、已知正数 x、y 满足 x y ，求 x 2y 的最小值2y3、设 x,y,z为正实数， x 2y 3z 0，则 xz 的最小值是 .令 t b+1，1t0 得， 0b0，W23x2y2 3x 2y 102 3x 2y 10( 3x )2( 2y )2 10(3x2y) 20 W 20 2 5 解析：注意到 2x 1与5 2x 的和为定值。y2 ( 2x152x)2 42 (2x 1)(52x) 4(2x 1) (5 2x) 8又 y 0 ，所以 0y 2 2当且仅当 2x1=52x

12、 ，即 x3 时取等号。2故 ymax2 2 。注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x) x的单评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。 总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些 变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。调性。1：求函数 yx 5 的值域。 x2 42、若 x 、yR ，求f (x) x4 (0 x 1) 的最小值。x1 解：令 x2 4 t(t2)，则 y2xx22 54 x21t (t 2)因 t 0,t 1 1 ，但 tt1 解得 t t1不在区间 2,，故等号不成立，考

13、虑单调性。单调递增，所以在其子区间2, 为单调递增函数， 故 y所以，所求函数的值域为5,2,2 解法一 ：(单调性法)由函数 f(x)bax(a、bx0)图象及性质知，当 x (0,1时，函数 f (x) x44 是减函数。x证明：任取 x1,x2(0,1 且 0 x1x21 ，则 f (x1)44f (x2) (x1 x2) ( ) x1 x2(x1 x2) 4x2 x1x1x2(x1 x2)x1x2 4x1x2 0 x1 x2 1 ， x1x20, x1x2 4 x1x20，则 f (x1) f (x2)f (x1) f (x2)，即 f (x)4x 4 在 (0,1上是减函数。x故当x

14、 1时， f (x)44 在 (0,1上有最小值x5。解法二 ：(配方法)因0 x时，f(x) x2 x 0且单调递减，则 f(x)44 在(0,1上是减函数，当 xx1，则有 f (x) x 4xx)2x)2 4 ，易知当 0 x 14 在 (0,1 上也是减函数，即解 法 三 ：( 导 数 法 ) 由f(x)1时， f (x)44 在 (0,1上有最小值x5。4 得 f (x)x1 42 ， 当 x (0,1 x时，4f (x) 1 2 0，则 函 数 f(x) x24f (x) x在 (0,1上有最小值x在 (0,1上 是减 函数。故当 x 1时，5。解法四 ：(拆分法) f(x) x

15、当 x 1时“ =”号成立，故此函数最小值是4 (0 xx11) (x 1) x5。2x13 5 ，当且仅1评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。练习：1、 y 2sin xsin1x,x 2, )sinx 2分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3a 3b 定值，因此考虑利用均值定理求2. 若实数满足 ab 2，则 3a 3b的最小值是最小值，解：3a和3b都是正数， 3a 3b2 3a 3b2 3a b 6当 3a3b时等号成立， 由a b 2及 3a3b 得 a b 1即当 a b 1时，3a 3b 的最小值是 63若log4 x log4 y 2，1的最小值 .并求 x,y 的值y求下列函数的最大值： y x2(32x)(0332)y2sin x cos x(0 x )2解析：02 , 32 x 0 ， yx2 (3 2x)(0x 3) x x (3 2 x)2x x (33大值是 1。 0 x可先求 y2的最大值。2x)3 1 ，当且仅当 x 32x即 x 1时，号成立，故此函数最2 ,sin x 0,cos x 0，则0 ，欲求 y 的最大值