常微分方程自测题答案复习课程

1、第七章常微分方程自测题（答案）精品文档第七章 : 常微分方程 (自测题答案 )选择题:1、 一阶线性非齐次微分方程 y P(x)y+Q(x)的通解是(C ).(A)P(x)dxye Q(x)eP(x)dxdxC；(B)P(x)dx P(x)dxy=e Q(x)e dx ；P(x)dxP(x)dxP(x)dx(C)y=e Q(x)edxC；(D)y=ce .2、方程 xy =22x2 y2y是(A ).(A)齐次方程；(B)一阶线性非齐次方程；(C) 一阶线性齐次方程； (D) 可分离变量方程3 、已知 yx 是微分方程 ln xy yxx(x)的解， y则(x) 的表达式为 y( A )222

2、2(A)xy2 ； (B)y；2；(C)x2；(D)x2.xxyy4、 dxy2dx2 0,y(1)2的特解是 (B ).xy(A) x2y2=2；(B)33 xy9；(C) x3y3=1；(D)33 xy331.5、 方程y =sin x 的通解是 ( A ).12(A) y=cosxC1x2 C2x2C3；12(B) y=sin xC1x C2x C3 ；2(C) y=cosx C1 ；(D)y=2sin 2x .6、 方程 y y =0 的通解是 (B ).(A) y sin x cos x+C1 ；(B)y C1 sinx C2 cos x+C3 ；(C) y sin x cos x+

3、C1 ；(D)y sin x C1.7、 若 y1和 y2是二阶齐次线性方程 y P(x)y Q(x)y 0的两个特解 ,则 y C1y1 C2 y2 (其中C1,C2为任意常数 )( B ).(A) 是该方程的通解；(C) 不是该方程的解；8、求方程(B) 是该方程的解；(D) 不一定是该方程的解 . yy (y )2 =0的通解时 , 可令( B ).(A) yP,则 y P ； (B) y P,则ydP=P ；dydP=P .dydPP, 则 y =P ； (D) y P, 则 y dx9 、设线性无关的函数 y1，y2，y3 都是二阶非齐次线性方程y p(x)y q(x)y f (x)

4、的解， C1,C2为任意常数，则该非齐次方程的通解(C) y是 ( D ).收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档(B)C1y1 C2y2 (1 C1 C2)y3 ； (D) y 3y 2y xex 的一个特解形式是(ax b)ex ；(B)x(ax b)exx ；(D)(A) y C1y1 C2 y2 y3；(C) y10、方程(A) y(C) yy C1y1 y C1y1 ( C x ae xx ae .).C2y2 (C1 C2)y3 ； C2 )y3 .C2 y2 (1 C1二、 求下列一阶微分方程的通解 :1、 xy ln x2 dy (y2 6x) 2y dxy ax(lnx

5、 1) ；0.；axcln3、 (1x2ey)dxxx2ey (1x y223cy3;x2yeyc.x)dy 0y三、求下列高阶微分方程的通解 y1、 yy C1ex3、 x3 yx；12x2x2yx C2 ；1；y C1解 方程中不显含未知函数 y ，令 yP，dPdx，y 2y0.C2ex C3e 2x代入原方程，得3 dP 2x x P 1 ，dxdP 1 1dP 1 P 13 ，这是关于未知函数 P(x) 的一阶线性微分方程，代入常数变易 dx x x法的通解公式，所以1x 1 1dxP(x)ex( 13 e xdxC1)x=eln x(1 lnx3elnxdxC1)= 1x (13x

6、xx由此 dy =12C1 ，dxxxy1(2xC11)dx= x1 xC1 ln xC2原方程的通解为因此，1 y=x11xdx C1 )= (C1 )=xxC1 ，xC1ln x C2 ( C1 ,C2为任意常数)4、y 4y 8y2xe sin2x收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档解对应的齐次微分方程的特征方程 r2 4r 8 0，特征根 r1,2 2 2i .于 是所对应的齐次微分方程通解为2xyc e (C1 cos2x C2sin2x) 为了求原方程 y 4y 8y e2x sin 2x的一个特解 ,先求y 4y 8y e(2 2i)x ( )的特解. 由于2 2i 是特

7、征方程的单根，且 Pm(x) 1是零次多项式。所以设特解为 y Axe(2 2i)x ，代入原方程，化简得(4 4i)A 8iAx 4A (2 2i)Ax 8Ax 1,1i 比较同类项系数，得 4Ai 1， A 1 i .4i 4 所以，方程( )的特解为xe2x(cos2x isin 2x) =41 xe2x(icos2x sin2x),4其虚部即为所求原方程的特解 yP 1 xe2x cos2x. 4 因此原方程通解为2xe (C1 cosx C2 sinx)1 xe2x cos2x.4四、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 :1. xydy dx y2dx ydy 满足条件 y x

8、0 2的特解 . 解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 y12 dy dx ，y2 1 x 1两边积分，得2y dy 1 dx ，y 1 x 1求积分得 12ln y2 1 lnx 1 C1，ln y2 1 ln(x 1)2 2C1，y2 1 (x 1)2 e2C1 ， y2 1 e2C1(x 1)2， 记 e2C1 C 0 ，得方程的解 y2 1 C(x 1)2 . 可以验证 C 0时， y 1，它们也是原方程的解，因此，式 y2 1 C(x 1)2 中的 C可以为任意常数，所以原方程的通解为 y2 1 C(x 1)2 (C 为任意常 数).代入初始条件 y x 0 2 得 C

9、 3 ，所以特解为 y2 1 3(x 1)2 .2. 2(y )2 y (y 1)满足初始条件 y x 1 2， y x 1 1的特解.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档解 方程不显含 x ，令 y P ， ydPP dP ，则方程可化为dy2P2 PdP(y 1) ，dydP 2 2当 P 0 时 dy ，于是 P C1(y 1) 2.P y 11 ，从而得到0 ，于是当 P 0根据 y x1 2，y x 1 1，知 y y 2 1 代入上式，得 C1dy 2 dx ，积分得 1 x C2，再由 yx 1 2，求得 C2(y 1)2y 1 2 x 1 2时，原方程满足所给初始条件的

10、特解为1y1x，当 P 0 时，得 y C ( 常数 ) ，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解1y1x中.故原方程满足所给初始条件的特解为 1 x ，即 y 1 1 y 1 x五、已知某曲线经过点 (1,1) ,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标 , 求 它的方程 .解 设所求曲线方程为 y f(x)， P( x , y)为其上任一点，则过 P 点的曲线的 切线方程为 Y y y (X x) ，由假设，当 X 0 时 Yx，的问题，转化为求解微分方程的定解问题从而上式成为 dydx1 yyxyx111 y 1. 因此求曲线 y y(x)x11，的特解.1P(x)dx P(x)dx由公式

11、 y e ( Q(x)e dx C ，得1dx1dxe x ( ( 1)e x dxC)= xln x Cx ，代入 y x 1 1得 C 1，故所求曲线方程为 y x(1 ln x).六、一质量为 m 的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下 沉速度成正比，求此质点的运动规律 .解 设质点的运动规律为 d2x mx x(t) . 由题意，有dt2mg kdt ,dx, t 00,dt t 0d2xk dxdt2m dtk方程变为g，t 0 00 为比例系数)齐次方程的特征方程为r20，kr(r ) 0 ， r1 m0，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档故原方程所对应的齐次方